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期中难点特训（二）二次函数综合压轴题
1．如图，直线AB与抛物线y＝ x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且
OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，
5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作
PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边
形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．3．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S AOM＝2S BOC，求点M的坐标；
△ △
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大
值．
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，求∠ABC的度数；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P到x轴的距离等于4时，求动点P的坐标．5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点A（﹣1，0）．
（I）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）D为抛物线对称轴上一点，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（Ⅲ）在抛物线上是否存在一点P，使CP恰好将以A，B，C，P为顶点的四边形的面积分为相等
的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于
点C．
（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．
7．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于
点 ，已知 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求出
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当四边形
的面积最大时，求点 的坐标．
8．已知：抛物线 ： 交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛
物线 经过点A，与x轴的另一个交点为 ，交y轴于点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式；（2）如图1， 为抛物线 的对称轴上一动点，连接PA，PC，当 时，求点 的坐标；
（3）如图2，M为抛物线 上一动点，过点M作直线 轴，交抛物线 于点N，求点M自
点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
9．已知抛物线 ，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．
（Ⅰ）求点A，B和点C的坐标；
（Ⅱ）已知P是线段 上的一个动点．
①若 轴，交抛物线于点Q，当 取最大值时，求点P的坐标；
②求 的最小值．
10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN
的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛
物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
11．二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线
上方的抛物线上一动点.
(Ⅰ)求该二次函数的解析式；
(Ⅱ)连接 ， ，将 沿 轴翻折，得到 .当四边形 为菱形时，求点 的坐标；
(Ⅲ)当四边形 的面积 最大时，求点 的坐标.
12．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S PAB=8，并求出此时P点的坐标．
△
13．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 经过点 ，点
，且交 轴于另一上点 ．
（1）直接写出点 ，点 ，点 的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线 上方的抛物线上有一点 ，求三角形 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）将线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一
个公共点，请结合函数图象，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
14．已知抛物线 ．
（1）求它的对称轴与 轴交点 的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴的交点为 ， ，与 轴的交
点为 ，若 =90°，求此时抛物线的解析式；
（3）若点 （ ， ）在抛物线上，则称点 为抛物线的不动点．将抛物线 进行平
移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线 上，请说明理由．
15．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数
的解析式；
（Ⅲ）当c＝5时，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣5，求
b的值
16．如图，已知顶点为 的抛物线 与 轴交于 ， 两点，且 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求二次函数 的解析式；
（3）作直线 ，问抛物线 上是否存在点 ，使得 ．若存在，求出
点 的坐标：若不存在，请说明理由．
