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重难点 04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用单调性比较大小】..............................................................................................................................2
【题型2 中间值法比较大小】..................................................................................................................................4
【题型3 作差法、作商法比较大小】......................................................................................................................5
【题型4 构造函数法比较大小】..............................................................................................................................7
【题型5 数形结合比较大小】..................................................................................................................................8
【题型6 含变量问题比较大小】............................................................................................................................12
【题型7 放缩法比较大小】....................................................................................................................................14
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点
问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序
比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同时，如 和 ，利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如 和 ，利用指数函数 单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其
它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判
定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用单调性比较大小】
1
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知a=0.91.1,b=log ,c=log 2，则（ ）
1 3 1
2 3
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
【解题思路】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断b,c的范
围，即可得答案.
【解答过程】因为y=0.9x为R上的单调减函数，y=log x,y=log x为(0,+∞)上的单调增函数，
2 3
1
故0<0.91.1<0.90=1,log =log 3>1,log 2=−log 2<0，
1 3 2 1 3
2 3
所以b>a>c,
故选:D.
(2) 2 (3) 2
【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知a= 5,b= 5,c=log 2，则（ ）
5 5 2
5
A．alog π=b>log 3=1，即a>b>1，
e 3 3
∵a=lnπ=ln(√π) 2 , c=√πln2=ln2√π，
下面比较(√π) 2 与2√π的大小，构造函数y=x2与y=2x，
由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈(2,4)时，x2>2x
由x=√π∈(0,2)，故(√π) 2 <2√π，故lnπb>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
10
【解答过程】因为log 3.4>log 2=1=log 4>log 3.6，log 0.3−1=log >log 3=1，
2 2 4 4 3 3 3 3
3
3 10
又因为log 3.4>log 2√2= =log 32=log 3√3>log =−log 0.3，
2 2 2 3 3 3 3 3
所以，log 3.4>−log 0.3>log 3.6，
2 3 4
所以，6log 2 3.4>6−log 3 0.3= (1) log 3 0.3 >6log 4 3.6 ，即a>c>b.
6
故选：C.
【变式2-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）已知a=2−log 3，b=2−log 4，c=log 3+log 4，
2 3 2 3
则（ ）
A．c 、11+log √2= ，
2 2 2 22 2 2
4 4 3 3
由log 4=log (3× )=1+log <1+log √3= ，则1b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b
【解题思路】利用函数单调性和中间值比较出大小.
a=log 2023<0,b=log 2024>log 2023=1,c=2023−2024 ∈(0,1)
【解答过程】 1 2023 2023 ，
3
故b>c>a.
故选：B.
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a=1.11.2,b=1.21.3,c=1.31.1，则（ ）
A．cy>z B．y>x>z C．z>y>x D．y>z>x
4
【解题思路】利用作差法结合基本不等式可得出x、y的大小关系，利用中间值 结合指数函数、对数函数
5
的单调性可得出y、z的大小关系，综合可得出x、y、z的大小关系.4
4 4
【解答过程】因为35=243<256=44，所以， 3<45，则y=log
4
30，
4 5 16 125 16×125 16×125
(3) 2 (4) 3 (3) 2 4
所以， > ，则z= 3> ，所以z>y
4 5 4 5
(ln3) 2−
(ln2+ln4) 2
因为 ln3 ln2 (ln3) 2−ln2ln4 2
y−x=log 3−log 2= − = >
4 3 ln4 ln3 ln3ln4 ln3ln4
(ln3) 2−(ln√8) 2
= >0，即y>x，因此，z>y>x.
ln3ln4
故选：C.
【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知a=log 9,b=log 16,c=e−2，则（ ）
16 25
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
a log 3 a
【解题思路】a=log 3，b=log 4，作商 = 4 =log 3⋅log 5，利用基本不等式可得 <1，得ac.
【解答过程】a=log 9=log 32=log 3>0，b=log 16=log 42=log 4>0，
16 42 4 25 52 5
a
=
log
4
3
=log 3⋅log 5 <
(log
4
3+log
4
5) 2
=
(log
4
15) 2
<
(log
4
16) 2
=
(log
4
42 ) 2
=1，
b log 4 4 4 2 2 2 2
5
所以alog 2=log 2= >e−2=c，
4 4 22 2
所以b>a>c.
故选：A.
ln2 ln3 ln5
【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若a= ，b= ，c= ，则（ ）
2 3 5
A．a0，所以b>a；
3 2 6 6
ln5 ln2 2ln5−5ln2 ln25−ln32
又因为c−a= − = = <0，所以a>c；
5 2 10 10
综上所述：c0,c>0，利用比商法结合基本不等式证明c0，c=ln2.1>0，
3.1
所以
c
=
ln2.1
=ln2.1×ln3.1<
(ln2.1+ln3.1) 2
=
(ln6.51) 2
=(ln√6.51) 2 ，
b log e 2 2
3.1
又e2≈7.389，所以√6.51e2，所以ln√8.1>1，
所以ae0−1=0，则f (x)在(0,+∞)上单调递增，f (x)>f (0)=0，
则f (√π)=e√π−√π−1>0，即e√π>√π+1，即a>b，
b=√π+1>1.7+1=2.7，
lnπ lne√e 3 3
c= +2< +2= +2< +2=2.6，则b>c.
e e 2e 5
则c0，所以 0,g(2023)= −1<0，所以1< b<2023，
2023 2023
1 1
因为c=log √6a> ，利用分母有理化判断得b< ，利用构造函数法与导数
2 2
判断得c>1，从而得解.
1
【解答过程】由0.09<0.18<0.3，可得log 0.09>log 0.18>log 0.3，即1>a> ，
0.09 0.09 0.09 22 2 1
而b=√6.2−√4.2= < = ，
√6.2+√4.2 4 2
1 x−1
设f(x)=lnx+ (0f(1)=1，即c>1，
9
所以b0，
x x2 x x
1
所以f(x)在(0,1)上单调递增，则x− −2lnx<0，即−2xlnx<1−x2，所以a0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)>g(0)⇒ex−x−1>0⇒ex>x+1，
所以(1−x)ex>1−x2，即by>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x
【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=log x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，
5
再作出图像，数形结合求解即可.
【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，
所以2x=3y=log z=t>1，
5
进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=log x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，
5
故作出函数图像，如图，
由图可知z>x>y
故选：C.
【变式5-1】（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知a+log a=4,b+log b=c+log c=3，则
2 3 4
（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>a>b
【解题思路】a,c的比较利用零点存在性定理求解零点所在区间，b,c的比较则转化为两函数图象交点的
横坐标大小比较，数形结合由图可知.
【解答过程】由题意知，a是函数f(x)=x+log x−4的零点，
2
3
因为f
(5)
=log
5
−
3
=log
5
−log 22，
2 22 2 22 2
由
(5) 2
=
25
<
(
2
3
2
) 2
=8，则f
(5)
<0，
2 4 2
3
且f(3)=log 3−1=log >0，
2 22(5 )
由零点存在性定理知，a∈ ,3 ；
2
由题意知，c是函数g(x)=x+log x−3的零点，
4
(5) 5 1 5 5
因为g =log − =log −log 2=log >0，
2 42 2 42 4 4 4
1
且g(2)=log 2−1=log 2−log 4=log <0，
4 4 4 42
( 5)
由零点存在性定理知，c∈ 2, ，
2
故a>c，
由b+log b=c+log c=3，
3 4
得log b=3−b,log c=3−c，
3 4
作出函数y=3−x,y=log x,y=log x的大致图象，
3 4
如图所示，数形结合由图可知c>b．
综上，a>c>b.
故选：A.
【变式5-2】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知f (x)=
(1) x
−x−2，
g(x)=log
1
x−x−2
，
2 2
ℎ(x)=x3−x−2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c
(1) x y=log x
【解题思路】将函数的零点，转化为函数y=x+2的图象分别与函数y= 、 1 、y=x3的图象交
2 2
点的横坐标，利用数形结合法求解．
【解答过程】解：函数f (x)=
(1) x
−x−2，
g(x)=log
1
x−x−2
，ℎ(x)=x3−x−2的零点，
2 2
(1) x y=log x
即为函数y=x+2分别与函数y= 、 1 、y=x3的图象交点的横坐标，
2 2
如图所示：由图可得a0)，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较a,b，在同一坐
x
标系中作出y=(√2) x与y=x的图象，结合图象与幂函数的性质可比较b,c，即可求解
lnx 1−lnx
【解答过程】令f (x)= ,(x>0)，则f′(x)= ,(x>0)，
x x2
由f′(x)>0，解得0e，
lnx
所以f (x)= ,(x>0)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减；
x
因为π>e，
lnπ lne
所以f (π)(√2) x，
又2<π<4，所以π>(√2) π ，
又y=xe在(0,+∞)上单调递增，且π>(√2) π
所以πe>[(√2) π] e =(√2) eπ，即b>c；
综上可知：cb>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【解题思路】构造函数f(x)=ex−x，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答
案.
【解答过程】解：设f(x)=ex−x，则f′ (x)=ex−1，
当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x) =f(0)=1>0，故ex>x，
min
所以c=ea>a，又lnb=c，
所以b=ec>c，
所以b>c>a.故选：C．
【变式6-1】（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且
lnc=alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>b B．b>c>a
C．a>b>c D．a>c>b
【解题思路】分析可知，lna、lnb、lnc同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+∞)两种情况讨论，
结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】∵lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均为不等于1的正实数，
则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna、lnb、lnc同号.
①若a、b、c∈(0,1)，则lna、lnb、lnc均为负数，
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b；
②若a、b、c∈(1,+∞)，则lna、lnb、lnc均为正数，
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b.
综上所述，a>c>b.
故选：D.
【变式6-2】（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，
b=log 3+log 6，c+log c=2，则a，b，c的大小关系为(
)
2 8 2
A．aea−e−a，即f (c)>f (a)，则c>a>0．
易知b=log 3+log √36=log 3√36>2，log c=2−c，
2 2 2 2
作出函数y=log x与函数y=2−x的图象，如图所示，
2则两图象交点横坐标在(1,2)内，即11，log a=mb=c，若a，b，c互不相等，则
m
（ ）
A．a>1 B．c≠e C．b0，可解得a>1，可判断A；当c=e时，取
m=ee>1
，可得a=b=c，不满足a，
b，c互不相等，可判断B；将a,b,c看成函数y=log x,y=mx,y=x与y=c图象的交点，可判断C，D.
m
【解答过程】由mb=c>0，可得log a>0，因为m>1，所以a>1，故A正确；
m
当c=e时，log
m
a=mb=c=e，若
m=ee
1
>1
，则a=me=e,c=e,b=log
m
e=e，
故a=b=c，不满足a，b，c互不相等，所以c≠e，故B正确，
因为m>1，log a=mb=c，
m
可将a,b,c看成函数y=log x,y=mx,y=x与y=c图象的交点横坐标，
m
当m=1.1时，图象如下图，可得：alog 2√2=1.5，故a∈(1.5,2)，
2 2 2 2
4 4
b=ln4=1+ln <1+ln =1+ln1.6=1+ln√2.56<1+ln√e=1.5，即b<1.5.
e 2.5
1
由c=0.6−1.5可得c2=0.6−3= >4，又c>0，故c>2.则b = , < = ，故b∈ , ，
√4 216 √4 256 4 √4 216 √4 81 3 4 3
2 1 1 1 1 2 1 1
c=log 3− log 5= log 27− log 25> log 25− log 27= − = ，
5 9 3 3 5 9 3 3 5 9 3 3 3 3
所以a2√log 2=2
2 9 2 32 2 3 2 3 2 2
c=log (2a+1)=2log ( 2e3 2 +1 ) <2log (22+1)=2log 5=2，
√5 5 5 5
c
log (2a+1) ln(2a+1)
= √5 =log (2a+1)= ，
a a (√5)a ln(√5) a
因为f (x)=lnx是递增函数，又因为a∈(0,2)，
作出y=ln(2a+1)和y=ln(√5) a 的图像，如图可得，当a=2时，两函数值相等；a<2时，y=ln(2a+1)图像一直在y=ln(√5) a 的上方，所以aa>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>c>a
1 1 lnx
【解题思路】由lna= ln0.7，lnb=0.7ln ，构造y= 研究单调性比较大小即可，结合指数
2023 2023 x
函数、基本不等式确定a,b,c大小.
1 1
【解答过程】由lna= ln0.7，lnb=0.7ln ，要比较a,b大小，只需比较lna,lnb大小，
2023 2023
1
ln
ln0.7 2023 lnx 1−lnx
故只需比较 , 大小，令y= 且00，
0.7 1 x x2
2023
1
ln
lnx 7 1 ln0.7 2023
所以y= 在(0,1)上递增，而 > ，即0> > ，
x 10 2023 0.7 1
2023
1 1
所以lna= ln0.7> lnb=0.7ln ，故a>b，
2023 2023
1 1 √ 1
又 a=0.72023∈(0,1) ，则c=a+ >2 a⋅ =1（等号不能成立），
4a 4a
所以c>1>a>b.
故选：A.
1．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5c=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D.
1 0.7 1
2．（2022·天津·统考高考真题）已知a=20.7，b=( ) ，c=log ，则（ ）
3 23
A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b
【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
1 0.7 1
【解答过程】因为20.7>( ) >0=log 1>log ，故a>b>c.
3 2 23
故选：C.
1
3．（2022·全国·统考高考真题）设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a−1)，因为f′ (x)= −1=− ，
1+x 1+x
当x∈(−1,0)时，f′ (x)>0，当x∈(0,+∞)时f′ (x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
1 10 1 1 10
所以f( )ln =−ln0.9，即b>c，
9 9 9 9 9
1 9 1 9 − 1 1 1 1
所以f(− )0，函数ℎ(x)=ex (x2−1)+1单调递增，
又ℎ(0)=0，
所以当00，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
0.1
解： a=0.1e0.1 ， b= ， c=−ln(1−0.1) ，
1−0.1
① lna−lnb=0.1+ln(1−0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1−x),x∈(0,0.1],
1 −x
则 f ′(x)=1− = <0 ，
1−x 1−x
故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f(0.1)0 ，
所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g′(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c.
故 cc>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解答过程】令g(x)=−(x−1) 2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为 √6 −1− ( 1− √3) = √6+√3 − 4 ，而(√6+√3) 2 −42=9+6√2−16=6√2−7>0，
2 2 2 2
√6 ( √3) √6+√3 4 √6 √3
所以 −1− 1− = − >0，即 −1>1−
2 2 2 2 2 2
√6 √3
由二次函数性质知g( )g( )，
2 2 2 2
√2 √6 √3
综上，g( )c>a.
故选：A.
a=log 0.3,b=log 0.4,c=0.40.3
5．（2021·天津·统考高考真题）设 2 1 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．alog 2=1，∴b>1，
1 2 22 2
2
∵0<0.40.3<0.40=1，∴0ln1.02=b，
所以b0，即√1+4x>(1+x)，f′(x)>0，
所以f (x)在[0,2]上单调递增，
所以f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01>√1.04−1，即a>c；
2 2 2(√1+4x−1−2x)
令g(x)=ln(1+2x)−√1+4x+1，则g(0)=0，g′(x)= − = ，
1+2x √1+4x (1+x)√1+4x
由于1+4x−(1+2x) 2=−4x2，在x>0时，1+4x−(1+2x) 2<0，
所以g′(x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)1)
2
(x−1) 2
f′(x)=- <0，即函数f(x)在（1，+∞)上单调递减
x2+1
f (√1+0.04)0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增
x2+3
g(√1+0.04)⟨g(1)=0,∴a⟩c
综上，b0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底
9
公式可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f′ (x)=mxm−1−1，
1
令f′ (x)=0，解得 x =m1−m ，由m=log 9 10∈(1,1.5) 知x 0 ∈(0,1) .
0f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log 9 10−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
