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第二十三章 旋转（知识清单）
一、学习目标
1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.
2 了解中心对称和中心对称图形的概念并理解它的基本性质.
3 掌握关于原点对称的两点的关系并应用.
重点：
1 掌握二次函数的图象特征及其性质.
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法.
难点：
1 图形旋转的基本性质的归纳与运用.
2 中心对称的基本性质的归纳与运用.
二、学习过程
【章节介绍】
让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，探索图形旋转基本性质，进一步发展空间观察，
培养运动几何的观点，增强审美意识.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内
涵，享受学习乐趣，学生运用所学知识进行图案设计活动，激发学习热情.
【知识梳理】
一 旋转的概念：
在平面内，将一个平面图形绕着_________一个__________沿某一方向转动一个__________，就叫做
图形的旋转.这个定点叫做__________.转动的角叫做__________.
二 旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离__________.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角____________旋转角.3.旋转前、后的图形____________.
三 简单旋转作图的一般步骤：
1)找出图形的__________；
2)确定______________________________________；
3)将关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到关键点的_____________；
4)按照原图形的顺序连接这些________________，所得到的图形就是旋转后的图形．
四 中心对称的概念：
把一个图形绕某一个点旋转__________，如果它能够与另一个图形__________，那么就说这两个图形
关于这个点对称或中心对称.
1）这个点叫做__________.
2）这两个图形中的__________叫做关于中心的对称点.
五 中心对称的性质：
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段____________________，而且被对称中心所__________.
2)中心对称的两个图形是__________.
六 利用中心对称的性质作图的基本步骤：
1.作点的__________：先连接____________________，然后延长__________；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的__________（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作
____________________，然后顺次__________.
七 中心对称图形的概念：
如果一个图形绕一个点旋转________后，能和___________互相重合，那么这个图形叫做中心对称图
形；这个点叫做它的______________；互相重合的点叫做______________.
八 中心对称图形的性质：
中心对称图形上每一对对应点连线都经过______________，并且被对称中心______________.
九 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号_________，即点P（x，y）关于原点O的对称点P＇(______，
____________)。
十 在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤：
1）确定____________(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出__________关于____________对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出_____________的坐标；
4）顺次连接________________，所作的图形为所求图形.【考点解读】
考查题型一 画旋转图形
1．图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将（1）中的△A B C 绕点C1逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 2 2 1 2 2 1
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别是A(−5,1)，B(−1,3)，C(−1,1)．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为(1,3)，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1
(2)将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A B C ；
2 2 2
(3)若△A B C 与△A B C 关于点P成中心对称，则点P坐标为______．
1 1 1 2 2 2
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，
1）．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的对应点C 的坐标为 ；
1 1(2)将△ABC绕原点旋转180°得到△ABC ，在图中画出△ABC ；
2 2 2 2 2 2
(3)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接MN，若MN＝1，点D（0，﹣1）为y轴上的一
点，连接DM、CN，则DM＋CN的最小值为 ．
考查题型二 旋转综合题
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针
方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
2．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转
后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是______，旋转角为______°；
（2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由；
（3）四边形DEBF的面积为 ．
3．如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三
角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．
（1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB；
（2）求∠AEB的大小．
（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和
△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
4．如图，将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到 ，射线EB与DF相交于点C，∠D=90°，求
证：四边形ABCD为正方形．5．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC、CD上，
∠EAF=45°．
（1）①如图 1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图 2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系_______时，仍有EF=BE+DF;
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2❑√2，点D、E均在边BC上，且
∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
(❑√2 )
6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形 OA<OM<OA ，∠AOB=∠MON=90°．
2
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM=BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2=2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA=4，OM=3，请直接写出线段AM的长．
7．如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别
交OB、AB于点E、F．(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；
(2)求证：△AOG≌△DOE；
(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．
考查题型三 根据中心对称的性质求面积、线段长、角度
1．如图，△ABC和△≝¿关于点O成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若AC=6，AB=5， ，求△≝¿的周长；
(3)连接 ，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
2．如图，△ABC与△≝¿关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 BC=3，AC=4，AB=5，则△≝¿的面积= ．
3．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
4．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E
成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．5．如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=6．点P从点A出发，沿折线
AB−BC以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB
以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运
动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边BC上运动时，PB=______（用含t的代数式表示）；
(2)当点P与点Q重合时，求t的值；
(3)当BQ=2PB时，求t的值；
(4)若点P关于点B的中心对称点为点P'，直接写出△PDP'和△QDC面积相等时t的值．
考查题型四 在方格纸中补画图使之成为中心对称图形
1．如图，点A、B、C都是格点（格点即每一个小正方形的顶点）．
（1）在图1中确定点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为轴对称图形（画一个即
可）；
（2）在图2中确定点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形（画一个
即可）．
2．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为
1，点A、B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．(1)在图①中画一个△ABC，使其是轴对称图形且为锐角三角形．
(2)在图②中画一个四边形ADBE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形．
(3)在图③中画一个四边形AMBN，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且四条边长均为无理数．
3．图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、
B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶
点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以AB为边画一个面积为3的三角形ABC．
(2)在图②中以AB为边画一个面积为5的中心对称四边形ABDE．
(3)在图③中以AB为边画一个面积为6的轴对称四边形ABFG．
4．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已
有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
考查题型五 已知两点关于原点对称求参数
1．已知点P（2x，y2＋4）与Q（x2＋1，﹣4y）关于原点对称，求x＋y的值．2．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点
C与点R的坐标之间的关系．
(1)直接写出AC与y轴交点的坐标 ．
(2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，
2b﹣3），则a﹣b的值为 ．
(3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形 ，画出三角形 并求三
角形P' AC的面积．
3．已知抛物线 ．
(1)求证：抛物线与x轴必有交点；
(2)若该抛物线与直线y=2x的两个交点关于原点对称，求m的值．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，△PQR是由△ABC经过某种变换后得到的图形.
⑴仔细观察点A和点P，点B和点Q，点C和点R的坐标之间的关系，在这种变换下分别写出这六个点的
坐标，从中你发现什么特征？请你用文字语言将你发现的特征表达出来；
⑵若△ABC内有一点M(2a+5,-1-3b)经过变换后，在△PRQ内的坐标为（-3，-2），根据你发现的特征，求
关于x的方程2-ax=bx-3的解.
考查题型六 图案设计
1．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角
线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称
图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完
整．
2．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，
请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
3．如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均在格点上）．(1)在图1中画一个以AB为腰的△ABC．
(2)在图2中画一个四边形ABDE，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
4．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学
过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格
纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．
