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期末复习-平行四边形核心知识必考题训练（50题）
题型一：平行四边形的性质与判定
1．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若
△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
【答案】A
【解析】【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
1
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC= ×24=8，
3故答案为：A.
【分析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，易证四边形PGBD、EPHC是平行四
边形，根据平行四边形的性质得到PG＝BD，PE＝HC，易证△PFG，△PDH是等边三
角形，则PF＝PG＝BD，PD＝DH，然后根据△ABC的周长为24进行解答即可.
2．在 ▱ABCD中，∠A=3∠B，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=3∠B，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形邻角互补可得∠A+∠B=180°，结合∠A=3∠B就可求出∠B的
度数.
3．如图，在 ▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长
线于点F，则DF=（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=5，AB=CD=3，
∴∠ABE=∠CFE.
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=CB=5，
∴DF=CF﹣CD=5﹣3=2.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可知AB∥CD，同时可求出CD，BC的长；利用平行线
的性质及角平分线的定义可证得∠CBF=∠CFB，利用等角对等边可求出CF的长；然后根据DF=CF﹣CD，代入计算求出DF的长.
4．平行四边形一定具有的性质是（ ）
A．内角和为180° B．是中心对称图形
C．邻边相等 D．对角互补
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形的内角和为360°，故A不符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，故B符合题意；
C、平行四边形的邻边不一定相等，故C不符合题意；
D、平行四边形的对角相等，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质：内角和为360°，可对A作出判断；根据平行四边形
的对称性，可对B作出判断；利用平行四边形的对边相等，对角相等，可对C，D作
出判断.
5．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的
中点，AE平分∠DAF， EF＝ 2√2 ，则△AEF的面积是（ ）
A．8√2 B．4√7 C．10√2 D．2√46
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，延长AE和BC交于点G，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE平分∠DAF，∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠G＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∴FE⊥AG，
∵BF＝6，CF＝2，
∴AD＝CG＝BC＝BF+FC＝6+2＝8，
∴FG＝FC+CG＝2+8＝10，
∵EF＝2√2，
∴AE＝EG＝√FG2-EF2=√102-（2√2）2＝2√23，
1 1
∴△AEF的面积＝ AE·EF＝ ×2√23×2√2＝2√46.
2 2
故答案为：D.
【分析】延长AE和BC交于点G，由平行四边形性质结合已知条件可证明
△ADE≌△GCE，得AE＝EG，再根据等腰三角形的性质证明FE⊥AG，通过线段和差关
系求得AD=8，FG=10，再根据勾股定理求得AE的长，代入三角形面积公式计算即可
解决问题.
6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2．将△ABC沿BC方向向
右平移得到△DEF，若四边形ACFD的周长为10，则△ABC平移的距离为（ ）
A．1 B．2 C．2√3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2
∴AC=4
根据平移可知，AD=CF，AD∥CF
∴四边形ACFD为平行四边形
∴AC=DF=4
∵四边形ACFD的周长为10
10-2×4
∴CF= =1
2
即平移的距离等于1，
故答案为：A．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=4，由平移的性质可得四边形ACFD为平行四边形，可得AC=DF=4，根据平形四边形的周长求出CF即得结论.
7．下列条件中，能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两条对角线互相垂直
D．两组对边分别相等
【答案】D
【解析】【解答】解：A、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符
合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，故本选项
不符合题意；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对
边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等 的四边形是平行四边形.
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分
别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点
O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴AO=√AE2-EO2=√52-32=4，
在△ABO和△MBO中，
{
∠ABO=∠CBO
BO=BO ，
∠AOB=∠MOB=90°
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的
性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝
∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝
∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证
明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，
据此解答.
9．下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对角相等，一组
邻角互补的四边形是平行四边形；③对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
A．①③ B．②④
C．①④ D．以上都不正确
【答案】A【解析】【解答】解： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯
形，故①符合题意；
②一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形，故②不符合题意；
③对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故③符合题意；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故④不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
10．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，连接AE，CF。
求证：AE＝CF。
【答案】证明：∵ ABCD，
▱
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E，F分别为边BC，AD的中点，
∴AF=EC且AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF.
【解析】【分析】由
▱
ABCD性质得AD∥BC，AD=BC，再由E，F分别为边BC，AD
的中点，从而得道AF=EC且AF∥EC，可证出四边形AECF是平行四边形，再由平行
四边形性质即可推出AE=CF.
11．如图所示，在 ▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形.
（2）若BE平分∠ABC，AB＝5，求平行四边形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
1 1
∴AE=DE= AD，BF=CF= BC，
2 2
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∴AD=2AE=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2×（5+10）=30.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据中点的概
1 1
念可得AE=DE= AD，BF=CF= BC，推出DE=BF，然后根据平行四边形的判定定理
2 2
进行证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠ABE=∠EBC，根据平行线的性质可得
∠AEB=∠EBC，推出AE=AB=5，则AD=2AE=10，据此不难求出平行四边形ABCD的
周长.
12．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，AO＝CO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求
∠ABC的度数．
【答案】（1）证明：∵ AD // BC ，
∴∠ADO =∠CBO
又∵∠AOD =∠BOC，OA=OC ，
∴△ADO ≌△CBO(AAS )∴ AD=BC(或OB=OD)
∴四边形 ABCD 是平行四边形
（2）解：∵OB =OD，OE⊥BD，
∴ BE=ED ，
∴∠CBD =∠BDE=15°
∵∠CDE=15°，
∴∠BDC=30°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // CD，
∴∠ABD =∠BDC=30°，
∴∠ABC =∠ABD +∠CBD=30°+15°=45°
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△ADO ≌△CBO，得出AD=BC，再根据一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证出四边形ABCD 是平行四边形；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出BE=ED，得出∠CBD =∠BDE=15°，从而得出
∠BDC=30°，再根据平行线的性质得出∠ABD=∠BDC=30°，利用∠ABC =∠ABD
+∠CBD，即可得出∠ABC的度数.
题型二：三角形的中位线
13．如图，在一平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点A、B间的距离，先确定一点
O，分别取OA、OB的中点C、D，测量得CD=50m，则A、B的距离为（ ）
A．100m B．150m C．200m D．400m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点C，D为OA，OB的中点，CD＝50m，
∴CD是△OAB的中位线，
∴AB＝2CD＝100（m），
故答案为：A．
【分析】利用三角形的中位线的性质可得AB＝2CD＝100。
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点
E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（ ）A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，
∴EF为△ACK的中位线，
1 1 1
∴EF＝ CK＝ （DC﹣DK）＝ （DC﹣AB），
2 2 2
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG＝BC，
又∵FG为△ACD的中位线，
∴FG＝AD，
1
∴EG+GF＝ （AD+BC），
2
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故答案为：B.
【分析】连接AE，并延长交CD于K，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠DKE，
∠ABD＝∠EDK，根据三角形中位线的性质得到BE＝DE，可证明△AEB≌△KED，从
1 1
而得到DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，即EF＝ CK＝ （DC﹣DK）＝
2 2
1
（DC﹣AB），再根据EG为△BCD的中位线及FG为△ACD的中位线，可得到
21
EG+GF＝ （AD+BC），再由AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，结合三角形的周长的
2
计算即可求解.
15．如图所示，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是
AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是
（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别为AP和PR的中点，
∴EF是△APR的中位线，
1
∴EF= AR，
2
∵A、R两点为顶点，
∴线段AR为定长，
∴线段EF的长不变.
故答案为：C.
1
【分析】连接AR，根据三角形中位线定理得出EF= AR，由于线段AR为定长，则可
2
得出
线段EF的长不变，即可作答.16．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3√3，AD=3，点M，N分别为线段
BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中
点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD，DN，
在Rt△ABD中，
BD=√AD2+AB2=√(3√3) 2+32=6；
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MDN的中位线，
1
∴EF= DN，
2
当点N和点B重合时，DN的长最大，
此时EF的长最大，
1
∴EF的最大值为 BD=3.
2
故答案为：A.
【分析】连接BD，DN，利用勾股定理求出BD的长；再证明EF是△MDN的中位线，
1
利用三角形的中位线定理可证得EF= DN，要使EF的值最大，则当点N和点B重合
2
时，DN的长最大，由此可求出EF的最大值.
17．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝
12，则四边形ABOM的周长为（ ）A．16 B．20 C．29 D．34
【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，
∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴AC＝√AB2+BC2=13，
1
∴OB＝OA＝OC＝ AC＝6.5，
2
∵M是AD的中点，
1 1
∴OM＝ CD＝2.5，AM＝ AD＝6，
2 2
∴四边形ABOM的周长为：AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20．
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质可得BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝
OC=OB，利用勾股定理可求出AC=13，可得OB=6.5，易得OM是△ACD的中位线，
1 1
可得OM＝ CD＝2.5，AM＝ AD＝6，从而求出四边形的周长.
2 2
题型三：矩形的性质及判定
18．如图，一块长方形场地 ABCD 的长 AB 与宽 BC 的比是 √2 ： 1 ，
DE⊥AC ， BF⊥AC ，垂足分别是 E 、 F 两点.现计划在四边形 DEBF 区域
种植花草，则四边形 DEBF 与长方形 ABCD 的面积比等于（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC ， AD=BC ， ∠ABC=90° ，
∴∠DAE=∠BCF .
∵BF⊥AC ， DE⊥AC ，∴∠AED=∠CFB=90° ， BF//DE .
在 △ADE 和 △CBF 中，
{∠DAE=∠BCF
∠AED=∠CFB ，
AD=CB
∴△ADE ≌△CBF（AAS） ，
∴DE=BF ， AE=CF ，
又 ∵BF//DE ，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
设 AD=BC=x ，则 CD=AB=√2x ，
∴AC=√AB2+BC2=√(√2x)+x2=√3x ，
∵DE⊥AC 于点 E ，
1 1
∴S = AD⋅CD= AC⋅DE ，
△ADC 2 2
∴x⋅√2x=√3x⋅DE ，
√6
∴DE= x ，
3
√ √6 2 √3
在 △ADE 中， AE= x2-( x) = x ，
3 3
√3
CF= x ，
3
√3
∴EF=AC-AE-CF= x ，
3
√3 √6 √2
∴S =EF⋅DE= x⋅ x= x2 ，
四边形DEBF 3 3 3
∵S =x⋅√2x=√2x2 ，
矩形ABCD
∴ 四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，根据平行线的性质可得
∠DAE=∠BCF，证明△ADE ≌△CBF，得到DE=BF，AE=CF，推出四边形DEBF是平
行四边形，设AD=BC=x，则CD=AB=√2x，利用勾股定理可得AC=√3x，然后根据三
角形的面积公式表示出DE，由勾股定理表示出AE，由EF=AC-AE-CF可得EF，然后
表示出四边形DEBF、ABCD的面积，据此解答.
19．有下列说法：
①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③有一
个角是直角的四边形是矩形；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤四个角都相等的四边形是矩形；
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形.其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故①错误；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故②正确；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③错误；
④有三个角是直角的四边形是矩形，故④正确；
⑤四个角都相等的四边形是矩形，故⑤正确；
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故⑥错误；
∴正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的判定定理，抓住关键词：平行四边形，对角线，四边形依次判断，
即可得到正确结论的个数.
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点
D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若BC=2，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2√3 B．√3 C．4 D．3√3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2
∴AC= √3BC=2 √3，
∵DE垂直平分AC，∠CDE=90°，
1
∴AD=DC= AC=√3，
2
∵BE⊥ED，
∴∠C=∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴四边形BCDE的面积=BC·DC=2×√3=2 √3.
故答案为：A.
【分析】先解直角三角形求得AC的长，再由垂直平分线的性质求得DC的长，再根据
有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形BCDE为矩形，再由矩形的面积计算公式
求出面积即可.21．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝
45°，证明：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：∵AD∥BC
∴∠EBC=∠AEB=45°
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC=45°
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
【解析】【分析】根据矩形的判定定理，一个角为直角的平行四边形为矩形，可进行
判断。
22．如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，AE∥BC,CE⊥AE,垂足为点E.
连接DE, 则线段DE与线段AC有怎样的数量关系？请证明你的结论。
【答案】解：结论：AC=DE,理由如下： ∵CE⊥AE ∴∠AEC=90°∵AE∥BC,
∴∠BCE=90°∵AB=AC AD是BC边上的中线∴∠ADC=90°∴四边形ADCE是矩形
∴AC=D E
【解析】【分析】由CE⊥AE得∠AEC=90°；又AE∥BC, 根据两直线平行同旁内角互
补得∠BCE=90°；再因为AB=AC AD是BC边上的中线；得出∠ADC=90°；从而得
出四边形ADCE是矩形；根据矩形得性质得出AC=D E.
23．如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6．点D在AB边上（不包括端点），
DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E和点F，连结EF．（1）判断四边形DECF的形状，并证明；
（2）线段EF是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理
由．
【答案】（1）解：四边形DECF是矩形，
理由：∵在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，
∴BC2+AC2=82+62=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形
（2）解：存在，连结CD，
∵四边形DECF是矩形，
∴CD=EF，
当CD⊥AB时，CD取得最小值，即EF为最小值，
1 1
∵S = AB•CD= AC•BC，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×10×CD= ×6×8，
2 2
∴EF=CD=4.8．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，∠C=90°，
由垂直的定义得到∠DEC=DFC=90°，于是得到四边形DECF是矩形；（2）连结CD，
由矩形的性质得到CD=EF，当CD⊥AB时，CD取得最小值，即EF为最小值，根据三
角形的面积即可得到结论．
题型四：直角三角形斜边上的中线
24．如图， △ABC 中， AB=AC=10 ， BC=8 ，AD⊥BC于点 D ，点 E 为
AC 的中点，连接 DE ，则 DE 的长为（ ）.A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB=AC=10，AD⊥BC，E为AC的中点，
1 1
∴DE= AC= ×10=5，
2 2
故答案为：B.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，据此解答.
25．如图，在△ABC中BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交
AD于F，点E是AB的中点，求证：EF∥BC
【答案】证明：∵AC=DC，
∴△ACD为等腰三角形，
又∵ CF为∠ACB的平分线，
∴AF=FD，
又∵AE=EB，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
即EF∥BC.
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出AF=FD，结合AE=EB，得出EF为
△ABD的中位线，则可证出EF∥BC.
26．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在
1
BA的延长线上，且AF= AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
2【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
1
∵DE∥AB，DE= AB.
2
1
又∵AF= AB，∴DE=AF，
2
∴四边形ADEF是平行四边形。
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线
1
定理可证得 DE∥AB，DE= AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等
2
的四边形是平行四边形，可证得结论.
27．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰
△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF.求证：DE=EF。
【答案】证明：如图，连结BN，CM.
∵AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∴∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
∴△MAC≌△BAN（SAS）.
∴MC=BN.
又∵D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，1 1
∴DE= MC，EF= BN，
2 2
∴DE=EF.
【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出
∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得
MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
28．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC的中点，
点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（ ）
5 10
A． B．3 C． D．5
3 3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=√82+62=10，
∵M为AC中点，
1
∴BM= AC=5，
2
∵BM=3MN，
5
∴MN= ，
3
又∵N是AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
5 10
∴CD=2MN=2× = .
3 3
故答案为：C.
【分析】先由勾股定理求出AC=10，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得
5
BM=5，由BM=3MN求出MN= ，再根据中位线性质可得CD=2MN，即可求得CD的
3
长.
29．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍
A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判
断
【答案】B
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设AB=2a
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
1
∴OP= AB=a，
2
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故答案为：B.
【分析】连接OP，可得到OP是Rt△AOB斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中
1
线等于斜边的一半，可得到在旋转的过程中OP= AB，即可作出判断.
2
30．如图，在 ▱ ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED是直角.求证： ▱
ABCD是矩形.
【答案】证明：连结OE∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵∠AEC=∠BED=90°，
∴AC=2OE，BD=2OE，
∴AC=BD，
∴▱ ABCD是矩形.
【解析】【分析】连接OE，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OA=OC，
OB=OD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AC=BD；然后利
用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得结论.
31．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F
为BD中点.求证：EF⊥BD
【答案】证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，
1
∴BE=DE= AC，
2
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD
【解析】【分析】 连接BE、DE， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1
BE=DE= AC，由等腰三角形的三线合一可得EF⊥BD 。
2
32．如图，等腰 △ABC 中， AB=AC ， BC=10 ，角平分线 AD=12 ，点 E 是
AC 中点，求 DE 的长.
【答案】解：∵AB="AC" ，AD 是角平分线，
1
∴AD⊥BC,且DC= BC=5，
2
∵AD=12，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= √52+122=13 ，
∵点E是AC中点，
1 13
∴DE= AC= .
2 2
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一可得CD=5,由勾股定理求出AC,再根据直
角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出DE 的长.
33．如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，
且∠AED=∠B，求证：AE=BC.
【答案】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BCD中，{
AD=BD
∠ADF=∠BDC ，
DF=DC
∴△ADF≌△BDC（SAS），
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
又∵∠AED=∠B
∴∠AED=∠BCD，
∵△ADF≌△BDC，
∴∠F=∠BCD，
∴∠AED=∠F ，
∴AE=AF，
∵BC=AF，
∴AE=BC.
【解析】【分析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，根据中线的性质可得AD=BD，
证明△ADF≌△BDC，得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形斜边上中线的性质可
得CD=BD，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BCD，结合已知条件可得
∠AED=∠BCD，根据全等三角形的性质可得∠F=∠BCD，推出AE=AF，然后结合
BC=AF进行证明.
题型五：菱形的性质及判定
34．如图菱形ABCD中， ∠BAD=120° ， AC=4 ，则该菱形的周长为（ ）
A．16√3 B．16 C．8√3 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，有AB=AC
∵∠BAD＝120°
∴∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形
即AB=AC=BC=4该菱形的周长为16
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得AB=AC，∠ABC=180°-∠BAD=60°，推出△ABC为等边
三角形，得到AB=AC=BC=4，据此不难求出菱形的周长.
35．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，
DE∥AC，CE与DE交于点E.请探索CD与OE的位置关系，并说明理由.
【答案】解：DC⊥OE.证明如下：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，∴OD=OC，∴四边形OCED是
菱形，∴DC⊥OE
【解析】【分析】由CE∥BD，DE∥AC，得到四边形OCED为平行四边形，根据矩形的
性质对角线平分且相等，得到OD=OC，由菱形定义得到四边形OCED是菱形，由菱形
的对角线互相垂直得到DC⊥OE.
36．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，
OE⊥BC，垂足为点E，求OE的长.
【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
1 1
∴AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，
2 2
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC=√32+42=5，
∵OE⊥BC，
1 1
∴ OE•BC= OB•OC，
2 2
3×4 12
∴OE= = .
5 512
故答案为 .
5
1 1
【解析】【分析】 由菱形的性质可得AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，
2 2
1 1
在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC=5，根据△OBC的面积= OE•BC= OB•OC即
2 2
可求出OE的长.
37．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点
H，连结OH.
求证：∠DHO=∠DCO.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,OD=OB,∠COD=90°.
∵DH⊥AB,
∴OH=OB,
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB//CD,
∴∠OBH=∠ODC,
∴∠OHB=∠ODC.
∵在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,
在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO.
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB∥CD，OD=OB，BD⊥AC，根据平行线的
性质得出DH⊥CD， 然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得OH=OB， 则得
∠OHB=∠OBH，然后由平行线的性质求出∠OBH=∠ODC，等量代换则可求出
∠OHB=∠ODC ，最后根据余角的性质求出∠DHO=∠DCO即可.
38．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形
的周长和面积.1 1
【答案】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，
2 2
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20；
∵菱形对角线相互垂直，
1
∴菱形面积是S= AC×BD=24.
2
综上可得菱形的周长为20、面积为24
1 1
【解析】【分析】由菱形的性质可得：AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，结合勾
2 2
股定理可得AB，进而求得菱形的周长，由菱形的对角线互相垂直可得菱形的面积.
39．如图， BD 是 △ABC 的角平分线，过点作 DE//BC 交 AB 于点E，
DF//AB 交 BC 于点F．
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（2）若 ∠ABC=60° ， ∠ACB=45° ， CD=6√2 ，求菱形 BEDF 的面积．
【答案】（1）∵DE//BC ， DF//AB
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形
∵DE//BC
∴∠EDB=∠DBF
∵BD 平分 ∠ABC
1
∴∠ABD=∠DBF= ∠ABC
2
∴∠ABD=∠EDB ，即 ∠EBD=∠EDB
∴DE=BE
∴ 四边形 BEDF 是菱形；
（2）如图，过点D作 DH⊥BC 于H，∵DF//AB ，
∴∠ABC=∠DFC=60° ，
∵DH⊥BC ，
∴∠FDH=30° ，
1
∴FH= DF ，
2
√3
∴DH=√DF2-FH2=√3FH= DF ，
2
∵∠C=45° ， DH⊥BC ，
∴∠C=∠HDC=45° ，
∴CD=√2DH ，
∵CD=6√2 ，
∴DH=6 ，
∴DF=4√3 ，
∵ 四边形 BEDF 是菱形
∴BF=DF=4√3
∴ 菱形 BEDF 的面积 =BF×DH=24√3 ．
【解析】【分析】（1）先求出四边形 BEDF 是平行四边形 ，再求出∠EBD=∠EDB，
最后证明求解即可；
√3
（2）先求出 DH=√DF2-FH2=√3FH= DF ，再菱形的面积公式计算求解即可。
2
40．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）判断：四边形ADCF是
形，说明理由；
（3）若AC=4，AB=5，求四边形ADCF的面积．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
{∠AFE=∠DBE
∠FEA=∠BED
AE=DE
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）菱形 由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形，
1
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD=DC= BC， ∴四边形
2
ADCF是菱形；
（3）连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴
四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
1 1
∴S = AC▪DF= ×4×5=10．
菱形ADCF 2 2
【解析】【分析】（1）根据题意，根据两个三角形的两个角及其一个角的对边相等，
即可证明两个三角形全等。
（2）根据全等三角形的性质，首先证明四边形ADCF为平行四边形，继续证明其为菱
形即可。
（3）根据菱形的性质，求出其面积即可。
题型六：正方形的性质和判定
41．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，AE=AF=2，连接
DE，BF，BD，则DE2+BF2=（ ）A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】D
【解析】【解答】连接BE，DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，∠EAF=90°
∴∠EAB=∠DAF，
在△AEB和△AFD中，
{ AE＝AF
∠EAB＝∠FAD，
AB＝AD
∴△AEB≌△AFD（SAS），
∴∠AFD=∠AEB，
∵∠AEF+∠AFE=90°=∠AEB+∠BEF+∠AFE=∠BEF+∠AFE+∠AFD=∠BEF+∠EFD=90°，
∴∠EOF=90°，
∴EO2+FO2=EF2，DO2+BO2=DB2，EO2+DO2=DE2，OF2+BO2=BF2，
∴DE2+BF2=EF2+DB2=2AE2+2AD2=2×22+2×42=40．
故答案为：D．
【分析】证明△AEB≌△AFD（SAS），可得∠AFD=∠AEB，从而求出∠EOF=90°，由
勾股定理知EO2+FO2=EF2，DO2+BO2=DB2，EO2+DO2=DE2，OF2+BO2=BF2，从而得出
得出DE2+BF2=EF2+DB2=2AE2+2AD2，继而得解.42．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF
的长为（ ）
A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，BC⊥CD，
∴∠BCE+∠FCD=90°，
又∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠FCD，
∴△BEC≌△CFD，
∴BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，
∴EF=EC+CF=6.5dm.
故答案为：A.
【分析】根据正方形性质得，BC=CD，BC⊥CD，根据同角的余角相等得
∠EBC=∠FCD，利用AAS可证明△BEC≌△CFD，根据全等三角形性质可得
BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，再由EF=EC+CF即可求解.
43．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G.求证：
AE=CF.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， BE⊥BF，
∴AB=BC，∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∵BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF.
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，根据等角的余角相等
得出∠ABE=∠CBF，利用SAS证出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF.
44．如图所示，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上且
∠CEF=45°.求证：矩形ABCD是正方形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AFD≌△AEB，
∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形.
【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠C=∠B=∠D=90°，根据等边三角形的性质得
出AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，从而得出∠AFD=∠AEB，利用AAS证出
△AFD≌△AEB，得出AB=AD，即可得出矩形ABCD是正方形.
45．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，
OG⊥BC于G.
（1）求证：四边形OGCF是正方形.
（2）若 ∠BAC=60° ，AC=4，求正方形OGCF的边长.
【答案】（1）证明：如图，作OH⊥AB于H点
，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC=∠OFC=90°.
∵∠C=90°，
∴四边形OGCF是矩形.
∵AD平分∠BAC，
∴OH=OF.
∵BE平分∠ABC，
∴OH=OG，
∴OF=OG，
∴四边形OGCF是正方形
（2）解：由于 ∠BAC=60° ，AC=4，
∴AB=8，BC= √82-42=4√3 ，
设正方形OGCF的边长为 x ，则AH=AF=4 -x ，BH=BG= 4√3-x ，
∴4-x+4√3-x=8 ，
∴x=2√3-2 ；
【解析】【分析】（1）作OH⊥AB于H点，易得四边形OGCF是矩形，由角平分线的
性质可得OH=OF，OH=OG，推出OF=OG，据此证明；
（2）由已知条件可得AB、BC的值，设正方形OGCF的边长为x，则AH=AF=4-x，
BH=BG=4√3-x，然后根据AH+BH=AB可求得x的值.
题型七：平行四边形综合题
46．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在
一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，
（1）试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展与延伸：
①若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他
条件不变，则DM和ME的关系为
；
②如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍
为AF的中点，猜想并证明DM和ME的关系．下面给出部分证明过程，请把推理过程
补充完整．
证明： 如图③，连结AC．
∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形，∴∠DAC=∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，
∴点E在AC上．
∴∠AEF＝∠FEC＝90°．
又∵点M是AF的中点，
1
∴ME＝ AF．
2
【答案】（1）解：猜想DM与ME的数量关系是：DM＝ME．
证明：如图①，延长EM交AD于点H．
∵四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形，
∴AD∥BG，EF∥BG，∠HDE＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠AHM＝∠FEM，
又∵AM＝FM，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴HM＝EM．
又∵∠HDE＝90°，
1
∴DM＝ EH＝ME
2
（2）解：①DM＝ME，DM⊥ME．理由： 如图，延长EM交AD于点N． ∵四边形
ABCD、四边形ECGF都是正方形， ∴AD∥BG，EF∥BG，∠NDE＝90°，EF=CE，
AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠ANM＝∠FEM， 又∵AM＝FM，∠AMN＝∠FME，
∴△AMN≌△FME， ∴NM＝EM，AN=EF=CE， ∴AD﹣AN=CD﹣CE，即DN=DE，
1
又∵∠HDE＝90°， ∴△NDE为等腰直角三角形， ∴DM＝ EH＝ME，DM⊥ME．
2故答案为：DM＝ME，DM⊥ME； ②补充证明过程：
1 1
∵∠ADC＝90°，点M是AF的中点， ∴DM＝ AF ∴DM＝ME ∵ME＝ AF＝
2 2
1
FM＝MA，DM＝ AF＝FM＝MA， ∴∠DAM＝∠ADM ，∠EAM＝∠AEM ，
2
∵∠DMF＝∠DAM＋∠ADM＝2∠DAM，∠EMF＝∠AEM＋∠EAM＝2∠MAE，
∴∠DMF＋∠EMF＝2∠DAM＋2∠MAE＝2∠DAC＝2×45°＝90°， ∴∠DME＝90°，
∴DM⊥ME， 综上，DM和ME的关系为DM＝ME，DM⊥ME．
【解析】【分析】（1）DM＝ME，理由：延长EM交AD于点H，证明△AMH≌△FME，
1
可得HM＝EM．由∠HDE＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质可得DM＝ EH＝
2
ME；
（2）①DM＝ME，DM⊥ME．理由：延长EM交AD于点N． 证明△AMN≌△FME，
NM＝EM ，可得 AN=EF=CE， 从而求出DN=DE，可得△NDE为等腰直角三角形，
1
从而得出DM＝ EH＝ME，DM⊥ME． ②连结AC，根据直角三角形斜边中线等于斜边
2
1 1
的一半，可得DM=ME，ME＝ AF＝FM＝MA，DM＝ AF＝FM＝MA，根据等腰三角形
2 2
的性质和三角形外角的性质求出∠DME＝90°，据此即得结论.
47．如图，四边形 ABCD 是正方形， E 是 BC 边所在直线上的点， ∠AEF=90°
，且 EF 交正方形外角 ∠DCG 的平分线 CF 于点 F .
⑴当点 E 在线段 BC 中点时（如图①），易证 AE=EF ，不需证明；
⑵当点 E 在线段 BC 上（如图②）或在线段 BC 延长线上（如图③）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图②或图③的一种结论给予证明.
【答案】解：图②结论： AE=EF .图③结论： AE=EF .
图②证明：如图②，在 AB 上取一点 M ，使 AM=EC ，连接 ME .
∴BM=EB .
∴∠BME=45° .
∴∠AME=135° .
∵CF 是外角 ∠DCG 的平分线，
∴∠DCF=45° .
∴∠ECF=135° .
∴∠AME=∠ECF .
∵∠AEB+∠BAE=90° ， ∠AEB+∠CEF=90° ，
∴∠BAE=∠CEF .
∴ΔAME≅ΔECF(ASA) .
∴AE=EF .
图③证明：如图③，在 BA 的延长线上取一点 N ，使 AN=CE ，连接 NE .
∴BN=BE .
∴∠N=∠FCE=45° .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD∥BE .
∴∠DAE=∠BEA .
∴∠NAE=∠CEF .
∴ΔANE≅ΔECF(ASA) .
∴AE=EF .【解析】【解答】（1）解：在 AB 上取一点 M ，使 AM=EC ，连接 ME .
∴BM=EB .
∴∠BME=45° .
∴∠AME=135° .
∵CF 是外角 ∠DCG 的平分线，
∴∠DCF=45° .
∴∠ECF=135° .
∴∠AME=∠ECF .
∵∠AEB+∠BAE=90° ， ∠AEB+∠CEF=90° ，
∴∠BAE=∠CEF .
∴ΔAME≅ΔECF(ASA) .
∴AE=EF .
【分析】（1）图①在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，证明△AME≌△BCF，
从而可得到AE=EF；（2）图②在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，证明
△AME≌△BCF，从而可得到AE=EF；图③在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连
接NE，然后证明△ANE≌△ECF，从而可得到AE=EF．
48．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣6，
0），（4，0），点D在y轴上．（1）求点C的坐标；
（2）求对角线AC的长．
【答案】（1）解：如图，过点C作x轴的垂线于点E，
∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），点D在y轴上，
∴AB=CD=AD=BC=10，
∴BE=OE-OB=CD-OB=10-4=6，
∴CE= √BC2-BE2=8 ，
∴点C的坐标为（10，8）；
（2）解：∵CE=8，AE=AB+BE=10+6=16，
在△ACE中，
AC= √AE2+CE2=√162+82=8√5 .
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和点的坐标求出 AB=CD=AD=BC=10 ，再根
据勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出AC的值即可。
49．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，
点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒.
（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？
若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形OABC为矩形，B（5，2），
∴BC=OA=5，AB=OC=2，
∵点D时OA的中点，
1
∴OD= OA=2.5，
2
由运动知，PC=2t，∴BP=BC-PC=5-2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=2.5，
∴5-2t=2.5，
∴t=1.25；
（2）解：①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=2.5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5，
∴2t=1.5；
∴t=0.75，
∴Q（4，2）；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，
同①的方法得出t=2，
∴Q（1.5，2），
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，
同①的方法得出，t=0.5，
∴Q（-1.5，2）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质结合点B的坐标可得BC=OA=5，AB=OC=2，由
线段中点的概念可得OD的值，由运动知，PC=2t，BP=5-2t，由平行四边形的性质可
得PB=OD=2.5，据此求解；（2）①当Q点在P的右边时，由菱形的性质可得OD=OP=PQ=2.5，由勾股定理得：
PC=1.5，则2t=1.5，求出t的值，进而得到点Q的坐标；②当Q点在P的左边且在BC
线段上时，③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，同理可得点Q的坐标.
50．先将一矩形 ABCD 置于直角坐标系中，使点 A 与坐标系的原点重合，边 AB ，
AD 分别落在 x 轴、 y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕
原点旋转 30∘ （如图2），若 AB=8 ， BC=6 ，求图1和图2中点 C 的坐标.
【答案】解：（1）∵AB=8 ， BC=6 ，∴图1中点 C 的坐标为 (8,6) .
（2）如图，过 C 作 CF⊥x 轴于 E ，延长 CB 交 x 轴于 E .
在 RtΔABE 中，∵AB=8 ， ∠BAE=30∘ ，
8 16
∴BE= √3 ， AE= √3 .
3 3
8
在 RtΔCEF 中，∵CE=6+ √3 ， ∠ECF=30∘ ，
3
4
∴EF=3+ √3 ， CF=3√3+4 ，
3
∴AF=AE-EF=4√3-3 .
∴C(4√3-3,3√3+4) .
【解析】【分析】（1）根据矩形的边长即可求得点C的坐标；
（2）延长CB交x轴于点E，则∠ABE=90°，∠BAE=30°，可求AE、BE的长度，作
CF⊥AE于F，解直角三角形CFE可求CF、EF的长度，从而知AF的长度，由AF，
CF的长度便知C点坐标.
