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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
A． B． C． D．
第二十二章 二次函数·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中是二次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
8．抛物线 经过 ， 两点，且 ，则下列结论错误的是（ ）
3．若二次函数 的图象经过 ， ， 三点，则 ， ， 的大小关系是
A．抛物线开口向上
（ ） B．
C．抛物线与x轴有2个交点
A． B． C． D．
D．若 为抛物线上任意一点，则
4．已知关于x的一元二次方程 无实数根，则抛物线 的顶点所在象限是（ ）
9．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
簧的初始长度为 ）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过
5．已知二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ） 程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看
作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
6．已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
A．图象的开口向下 B．图象与 轴的一个交点坐标为
C．若小球刚接触弹簧时的速度 ，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为
C．图象的对称轴是直线 D．当 时， 随 的增大而增大 D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
10．如图，已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．给出下列结论：
7．函数 与 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）① ； 17．已知二次函数 经过 和 ．
② ； (1)求该二次函数的表达式和对称轴．
③ ； (2)求该二次函数的与 轴的交点坐标．
④关于x的方程 一定有两个不相等的实数根； 18．如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
⑤ ．
其中结论正确的有（ ）
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 为该抛物线对称轴上的一点，当 最小时，求点 的坐标．
19．【问题情境】如图是喷水管 从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
物线．以点O为原点，水平方向为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为 ，喷水管 的高度为 ．
11．将 化成 的形式为 ．
12．若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
13．已知抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 ，如果 为直角三角形，则 ．
14．经过 ， 两点的抛物线 （ 为自变量）与 轴有交点， 【问题解决】
(1)求a的值；
则线段 的长为 ．
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管 要降低的高度．
15．对于一次函数 以及二次函数 （其中 、 、 均为常数，且 ），当
20．在二次函数 中， 与 的几组对应值如下表所示．
时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则 的值为 ．
… 0 1 …
16．已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，且经过 ， ．
… 1 …
（1）n的值为 ．
（2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且 ，则点P的坐标为
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛
物线的部分图象，喷水口 离地面竖直高度 为 米．上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 米，
高出喷水口 米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边
缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
(1)求二次函数的表达式．
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
任务三：实践探究
(3)将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，洒水车到绿化
5，请直接写出 的值．
带的距离 为 米．
21．第九届亚洲冬季运动会于 年 月 日 日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心
（3）当调整与绿化带距离为 米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理
（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展 亚冬会吉祥物“滨
由．
滨”和“妮妮 ”寓意“哈尔滨 欢迎您” 亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为
元，规定售价不低于进价现在售价为每个 元，每天可销售 个．经市场调查发现，若售价每降价
元，则每天的销售量将增加 个．设每个吉祥物降价 元（ 为整数），每天的销售量为 个．
(1)写出 与 之间的函数关系式；
(2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为 元，求出 与 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润 最大？最大利润是多少元？
22．二次函数 的图象经过点 ，且对称轴为直线 ．
24．已知抛物线 与 轴交于 两点（点 位于点 左侧），与 轴交于
(1)求这个二次函数的解析式．
点 ．
(2)若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若 是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求 的最大值与最小值的差．
23．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如 (1)求直线 的解析式；
何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展
(2)将抛物线 进行平移得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ．
了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．（i）如图1，若点 是抛物线 的对称轴 与直线 的交点，求抛物线 的解析式；
（ii）如图2，若点 为直线 上方抛物线 上任意一点，抛物线 与 轴交于点 ，作 轴
交 于点 ，若 ，求 的值．
25．如图 ，已知抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于 点， 点的坐标为
，且抛物线对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，连接 ， 为线段 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，作
轴交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，在直线 下方抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
