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第二十二章 二次函数知识归纳与题型突破（14 题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、二次函数的图象和性质1.二次函
y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
数的定义
知识点2：二次函数的图像和性质
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c;
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
2.解析式 ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程
（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐
标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点
式.
y y
x x
图象
O O
y=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0)
开口 向上 向下
对称轴
x＝
3.二次函
数的图象
和性质 顶点坐标
当 时，y随x的增大而增
当 时，y随x的增大而减小；当
增减性
大；当 时，y随x的增大
时，y随x的增大而增大.
而减小.
最值
，y最小＝ . ，y最大＝ .
当a＞0时，抛物线开口向上；
决定抛物线的开口
a
方向及开口大小
当a＜0时，抛物线开口向下.
3. 系 数
a、b、c a、
决 定 对 称 轴 （
的作用 b 当a，b同号， ＜0，对称轴在y轴左边；
）的位置
当b＝0时， =0，对称轴为y轴；当a，b异号， ＞0，对称轴在y轴右边．
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
决定抛物线与 y轴
c 当c＝0时，抛物线经过原点；
的交点的位置
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
决定抛物线与 x轴
b2－4ac b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
的交点个数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点3：二次函数的平移
4.平移与 y=ax2 向左(h＜0)或向右(h＞0) y=a(x－h)2 向上(k＞0)或向下(k＜0) y=a(x－h)2＋k
解析式的 的图象 平移|h|个单位 的图象 平移|k|个单位 的图象
关系
注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
二、二次函数的图象和性质
二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根.
1.二次函数
与 一 元 二 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
次方程
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x的所
2.二次函数
有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所
与不等式
对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
三、实际问题与二次函数
1、实物抛物线一般步骤
① 据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
② 据图象，结合所求解析式解决问题.
2、实际问题中求最值
① 分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
② 研究自变量的取值范围；
③ 确定所得的函数；
④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
④ 解决提出的实际问题.
3、结合几何图形① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
③ 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
④ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
03 题型归纳
题型一 列二次函数
例：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为 ），用 长的篱笆围
成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 宽的门，设 的长为 ．
(1)若两个鸡场的面积和为 ，求 关于 的关系式；
(2)两个鸡场面积和 可以等于 （ ）吗？如果可以，求出此时 的值．
2．（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研
发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（
）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加 时，正方体的表面积
增加 ，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长 ，宽
，相框边的宽为 ，相框内的面积是 ，则y与x之间的函数关系式为 ．题型二 根据二次函数定义求参数
例：（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数 ．
(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数 的一次项系数为（ ）
A． B．1 C．3 D．6
7．（23-24八年级下·云南·期末）若函数 是关于 的二次函数．则常数 的值是
．
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果 是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏
求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
题型三 的图象和性质
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数 是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
10．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B． C． D．11．（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线 的开口向上，则a的取值范围是 ．
13．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴的负半轴上，抛物线 过点
．若 ，则 ．
题型四 的图象和性质
例：（2024·广西·三模）已知点 ， 都在二次函数 的图象上，则 的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
15．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，二次函数 的图象是（ ）A． B．
C． D．
16．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点 ， ， ，
点 在 轴上，则 的值为（ ）A． B．1 C． D．2
18．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线 在y轴左侧的部分是上升
的，那么k的取值范围是 ．
19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线 （a为常数）经过了平面直角系的
四个象限，那么a的取值范围是 ．
题型五 的图象和性质
例：（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数 及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与 轴的交点坐标为 ；
④当 时，函数 有最小值，最小值为 ．
21．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当 时， 随 的增大而增大.
22．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则
的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·江苏泰州·二模）二次函数 （ ，h，k为常数）图象开口向下，当 时，；当 时， ．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
24．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，则
直线 的表达式为 ．
25．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数 ，如果函数值 随自变量 的增大而减小，那么
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 的图象和性质
例：（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ．
(1)若对于 ，有 ，求t的值；
(2)若对于 ，都有 ，求t的取值范围．
27．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；
当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数 的图象与y轴正半轴相交，其顶点
坐标为 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，
对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点
和 ，若 且 ，则 ．其中正确的是
30．（2024·四川内江·二模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的
一个交点在 和 之间，其部分图象如图所示．有下列结论：① ；② ；③
；④ （t为实数）；⑤若 ， 是该抛物线上的三点，则
．其中正确的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
31．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点 是二次函数
图像上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
32．（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线 经过点 和点 ．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足 时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足 时，y的最小值为5，求m的值．
题型七 二次函数图象与系数符号之间的关系
例：（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线 的图象，A、B、C 为抛物线与坐
标轴的交点，且 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．34．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，当 时， ，则二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
35．（23-24八年级下·四川广安·期末）二次函数 的图像如图所示，则 的取值范围
是( )
A． B． C． D．
36．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像如图所示，
以下结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．D．若 为任意实数，则
37．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数 的图象中．观察得出了下面五条信息：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，你认为其中正确信息的个数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型八 二次函数图象对称性的应用
例：（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点 ， ，且 ， ．
①当 时，直接写出 ， 的大小关系；
②若对于 ，都有 ，直接写出 的取值范围．
39．（23-24八年级下·云南·期末）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表．则这条抛物
线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
40．（23-24八年级下·北京海淀·期末）若点 ， ， 在抛物线 上，则 ，， 的大小关系为 （用“＞”连接）．
41．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线 （a，k为常数）的 与 的部分对应值如表所示；
下列四个结论：
①
②若 ，则该抛物线与 轴没有交点；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ，
其中正确的结论是 （填写序号）．
42．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图是小李同学设计的一个动画示意图，光点从点 发出，其经过
的路径为抛物线 ： 的一部分，并落在水平台子上的点 处，其达到的最大高度为
，光点在点 处被反弹后继续向前沿抛物线 ： 的一部分运行，已知台子的长 ，
，点 是 的中点．
(1)求抛物线 的对称轴及函数表达式；
(2)若光点被弹起后，落在台子上的 之间 不含端点 ，求 所有的整数值．
43．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 （
）上，设抛物线的对称轴为 ．
(1)若 ， ，求t的值；
(2)已知点 ， 在该抛物线上，若 ， ，比较 ， 的大小，并说明理由．
题型九 用待定系数法求二次函数解析式例：（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，其中 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是 的面
积的2倍，求点 的坐标．
45．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点 ，且当 时，函数有最大值是2．求
二次函数的解析式．
46．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，顶点 的抛物线与直线 相交于A，B两点，且点
A在x轴上，连接 ， ．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
抛物线的解析式为 ；
点A的坐标是 ，点B的坐标为 ．
47．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线 经过 ， 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当 的周长最小时，求点P的坐标．
48．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线 经过点 ．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
题型十 二次函数图象的平移
例：（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线 的
顶点在线段 上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），（1） ；
（2）若点C的横坐标最小值为 ，则点D的横坐标最大值为 ．
50．（24-25九年级上·全国·假期作业）将抛物线 向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B．
C． D．
51．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是
（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由 向右平移1个单位得到
52．（2024·上海·模拟预测）将抛物线 沿直线 方向平移 个单位后的解析式为
．
53．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线 是由抛物线 先向右平移2个单
位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ．
54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，
则 ．
55．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
56．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线 （a、c为常数， ）经过点 、
，顶点为P，连接 ．
(1)求 的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线 ，点A的对应点为 ，点P的对应点为 ，
当四边形 是面积为12的平行四边形，且点 在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线 的表达式．
题型十 二次函数、方程与不等式
例：（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数 （m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数 的图象有两个公共点，则
m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数 的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数 的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点，求m的
取值范围．58．（2024·山东济宁·模拟预测）已知一次函数 （ ）和二次函数 （ ）
的部分自变量和对应的函数值如下表：
… …
… …
… …
则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
59．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为
，那么关于x的一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
60．（2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学试题）如图，二次函数的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二次函数图象与 轴有两个交点且两交点距离为5
C．当 时，
D．直线 与二次函数图象有两个交点
61．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
62．（2024·广西南宁·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：（1）
；② ；③ ；④不等式 的解集为 ．其中正确的结论个数是
（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
63．（2024·浙江·一模）若在二次函数 中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x …… 0 1 3 ……
y …… 2 7 ……
则方程 的解是 ．
64．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线 与直线 交于 ，
两点，则不等式 的解集是 ．
65．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数 经过点 和点 ，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数 经过B、C两点，直接写出不等式 的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求 的面积．题型十一 二次函数应用—实物建模问题
例：（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解
到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位： ）可近似看作水平距离x（单位： ）的二次函
数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当 与
时实心球在同一高度，当 时 ，当 时 ，根据上述数据建立如图所示的平面直角
坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式．
(3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于
10 时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
67．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线
型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
68．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管 ，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为
坐标原点，水平方向为x轴， 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落
水点，若落地直径 ，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高 ．
(1)求图1中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1中的线段 上的点B处竖立一座雕像，雕像高 ，若想雕像不碰到水柱，请求出线
段 的取值范围；
(3)圆形水池的直径为 ，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图
2），若右侧抛物线顶点始终在直线 上，当喷出的抛物线水柱最大高度为 时，水柱会喷到圆
形水池之外吗？请说明理由．
69．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植
户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物
线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的
C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的
水平距离x（米）之间的关系式用 表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架 对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且 轴， 轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架 对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架 对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为 、 ，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口
处的材料损耗）
题型十二 二次函数应用—图形面积问题
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 为直径的半圆
O，下部是一个矩形 ．
(1)当 米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形 相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积 关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米 3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（ 取3.14，结果精确到0.1米）
71．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长
42m，篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
(1)求 与 与 的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
72．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有
资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为 )，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为 ，设矩形场地的长为 ， 宽为 ， 面积
为 ．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加 ，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请
说明理由．
73．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据素材回答问题：
如图1，空地上有两条互相垂直的小路 ，中间有一正方形 水池，已知水池的边
素材1
长为4米， ，且 与 的距离为10米， 与 的距离为8米．
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围
素材2 起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不
计．
任务1 小明同学按如图2的设计，若 米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在 上，当花圃的面积（不包含水池
任务2
的面积）为 时，求 的长．
学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当 的长是____________ ，围成的
任务3
花圃（不包含水池）的最大面积是____________ ．
题型十三 二次函数应用—营销问题
例：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x
（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克） 2 4 10
市场需求量q/（百千克） 12 10 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克
(1)求q与x的函数关系式；
(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；
(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废
弃，若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润 售价 成
本）
75．（2024·四川达州·模拟预测）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、
烧火龙等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种
汤圆的金额是800元，购进的甲、乙两种汤圆共180袋，甲种汤圆每袋的进价比乙种汤圆每袋进价多2元．
如果甲种汤圆以每袋24元的价格出售，每天可售出40袋，通过调查发现，甲种汤圆每袋的售价每降低0.5
元，每天可多售出10袋．
(1)求甲种汤圆每袋的进价是多少元；
(2)当甲种汤圆销售单价多少元时，甲种汤圆每天销售利润最大，并求出最大利润．
76．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设
备，该设备的生产成本为10万元 件．设第 个生产周期设备的售价为 万元/件，售价 与 之间的函数
解析式是 ，其中 是正整数．当 时， ；当 时， ．
(1)求 ， 的值：
(2)设第 个生产周期生产并销售完设备的数量为 件，且 与 满足关系式 ．则工厂第几个生
产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
77．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用 （万元）
与年产量 （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额
（万元） 预售总额（万元） 波动总额（万元），预售总额 每件产品的预售额（元）×年销售量 （万
件），波动总额与年销售量 的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为 万元．（年毛利润 总销售额 生产费用）
年销售量 （万件） 20 40
104
总销售额 （万元） 560
0
(1)求 与 以及 与 之间的函数解析式；
(2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？
(3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围．
78．（2024·浙江·模拟预测）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐
园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超
过1人，票价就减少2元，（例如：闭体人数20人，票价降价： 元，就按每人180元付
款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人．
问题：
(1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？
(2)求购票费用 （元 与团体人数 的函数关系式．
疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反
而少，这不合理 合理的应该是购票费用 （元 随团体人数 的增大而增大．
分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上 是
随 的增大而减少的 ，原来如此
解决：
(3)延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用 （元 随团体人数 的增大而增大，那么把最
低票价至少提高到多少才能符合要求？
题型十四 二次函数应用—其它应用问题
例：（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，
司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为 )路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，
它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.
已知车流速度 v(单位： )是车流密度K(单位：辆 )的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象
如图所示.
当车流密度 时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度 时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大
值270时，则 .已知v关于K 的函数图象经过 .
(1)若 辆 时，求对应v的值.
(2)点 是图象 上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形
所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
80．（24-25九年级上·全国·假期作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力 与提出概念所用的时间
（分钟）之间满足函数 ， 值越大，表示接受能力越强．
(1) 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第 分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
81．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后
将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流
密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时
间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路
交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测
算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
82．（2024·湖北武汉·模拟预测）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持
安全车距是预防交通事故的关键，某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速会降低，该型号汽车
刹车时速度为 刹车后速度为 行驶的距离为 与刹车后汽车的行驶时间 之间的关
系如表所示：其中s与t满足的关系式为 (p，q为常数)．
t … 1 1.5 2 2.5
v … 16 15 14 13
s 17 24.75 32 38.75
(1) ，v与t的函数关系式为 ，s与t的函数关系式为 ．
(2)假设汽车在行驶的过程中安全车距为 ．现有一人驾驶这种型号的汽车以 的速度行驶在公
路上，突然发现前方 处沿同一方向有一辆车以 的速度匀速行驶，此人随即开始刹车，请问能否
确保安全？
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是 （ ）一位普通司机驾驶
该型号汽车以 的速度行驶，突然发现导航提示前面 处路面变窄，需要将车速降低到 以下安全通过，司机紧急刹车，能够在到达窄路时将车速降低到 以下吗？请通过计算说明．
83．（2024·广西南宁·二模）【项目式学习】项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图． 垂
直于水平底面 ，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知 ， ，且点B处于跳台滑道的
最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面 上方竖直距离 处达到最高点P
③落点Q在底面 下方竖直距离 ．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离 ；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α；
③在平面直角坐标系中，设射线 的解析式为 ，俯角 与其比例系数k成正比例关系，
并且当 时， ．若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角 至少多少度
（精确到个位）？
84．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践
南宁轨道交通5号线（ ），是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路，于
2017年9月7日全线开工建设，于2021年12月16日开通运营一期工程（国凯大道站至金桥客运站），南
宁轨道交通5号线是广西首条采用全自动无人驾驶模式运行的地铁线路．数学小组成员了解到5号线地铁
列车准备进入某站时在距离停车线256米处开始减速．他们想了解列车从减速开始，经过多少秒在停车线
处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离 （米）与时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．
【建立模型】
①收集数据
2
（秒） 0 4 8 12 16 20
4
1
（米） 256 196 144 100 64 36
6
②建立平面直角坐标系：为了观察 （米）与 （秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
④猜想模型
（1）请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的______函数图象（选填“一次”、“二次”或
“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式（不要求写出自变量取值范围）；
【问题解决】
（3）地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？
【拓展应用】已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如上图：站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次
启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线
的距离 （米）与时间 （秒）的函数关系变为 ．
（4）请结合以上信息，求出该地铁站的长度．
