文档内容
人教版九年上数学期末测试卷（B 卷）
（测试时间：90分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．设x ，x 是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则 的值是（ ）
1 2
A． ﹣6 B． ﹣5 C． ﹣6 或﹣5 D． 6 或5
4．把抛物线 向右平移2个单位，然后向下平移6个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
[来源:学|科|网]
C． D．
5．如图，Rt 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方
向旋转90°得△A到BCRt ，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )
△A′B′C′
[来源:Zxxk.Com]
A． 6 B． 9 C． 6 D． 9
6．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（ ）A． 100° B． 50° C． 70° D． 130°
7．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接
PQ，则PQ的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 8
8．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取
两张，则这两张卡片正面数字之 和为正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为（ ）
A． π B． π C． 6﹣π D． 2 ﹣π
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直
线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根
为﹣ ，其中正确的结论个数是（ ）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
[来源:学§科§网]
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0的根，则该三角形的周长为_____．
12．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，且
∠AED=27°，则∠BCD的度数为_______．
13．赵州桥是抛物线形，建立如图所示的坐标系，其函数解析式为 ，当水位线在 位置时，水面宽
，这时水面离桥顶的高度 是________ ．
14．如图，已知菱形 的顶点 ， ，若菱形绕点 逆时针旋转，每秒旋转 ，则第 秒时，菱形
的对角线交点 的坐标为________．
15．小明把 个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率
分别为 、 和 ，试估计黄、蓝、红三种球的个数分别是________．16．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x+ ）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，
且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为_____．
17．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0（m＞0），当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两
个根分别记为α 、β，α 、β，…，α 、β ，则： 的值为_____．
1 1 2 2 2018 2018
18．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3 ，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的
长度为_____．
19．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4， ABC
是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____． △
20．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将 沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的 上一动点，连
接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边
三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）[来源
三、解答题（共60分）
21．解方程：
； （2） ；
（3） ．
22．如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．
请直接写出与点 关于坐标原点 的对称点 的坐标；
将 绕坐标原点 逆时针旋转 ，画出对应的 图形；
请直接写出点 、 、 的坐标．
23．已知关于 的方程 ．
求证：方程总有两个实数根；
已知方程有两个不相等的实数根 ， ，且满足 ，求 的值．
[来源:学科网]
24．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售
量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W元．
（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利
润最大？最大利润是多少元？
25．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为
α（0°＜α≤45°），得到△ABC′.①当α为多少度时，AB∥DC？
②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？
③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明.
26．九（3）班“2017年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面
有2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，求小
芳获奖的概率．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻
开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由．
27．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S =S 时，求动点M所经过的弧长，并写
MAO CAO
△ △
出此时M点的坐标．
28．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在
右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t
的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，
求此时点P的坐标．（测试时间：90分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
3．设x ，x 是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则 的值是（ ）
1 2
A． ﹣6 B． ﹣5 C． ﹣6 或﹣5 D． 6 或5
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到 + =2， =-1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵ , 是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，
∴ + =2， =-1，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握两根之和等于- 、两根之积等于 ．
4．把抛物线 向右平移2个单位，然后向下平移6个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求解．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函
数解析式．
5．如图，Rt 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方
向旋转90°得△到ABRCt ，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )
△A′B′C′
A． 6 B． 9 C． 6 D． 9
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，先计算出AB=2AC=12，则BD=6，再根据旋转的性质得B′D′=BD=6，则在Rt BDM中可计算出DM=2
△
，BM=2MD=4 ，所以B′M=B′D-DM=6-2 ，接着在Rt B′MN中计算出MN= B′M=3- ，所以BN=3+3
△
，在Rt BNG中计算NG= BN=3+ ，然后利用S阴影部分=S BNG-S BDM进行计算即可．
△ △ △
【详解】
如图，【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋
转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．
[来源:学科网ZXXK]
6．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（ ）
A． 100° B． 50° C． 70° D． 130°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
四边形ABCE内接于⊙O，
，
由圆周角定理可得， ，故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
（就是和它相邻的内角的对角）.
7．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接
PQ，则PQ的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OP、OA，根据垂径定理求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
8．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片正面数字之 和为正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先找出全部两张卡片正面数字之和情况的总数，再先找出全部两张卡片正面数字之和为正数情况的总数，两
者的比值即为所求概率.
【点睛】
本题主要考查概率的求法，熟练掌握概率的求法是解题的关键.
9．如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为（ ）
A． π B． π C． 6﹣π D． 2 ﹣π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积是 BCD的面积减去 BOE和扇形OEC的面积．
【详解】 △ △
由题意可得，
BC=CD=4，∠DCB=90°，
连接OE，则OE= BC，∴OE∥DC，
∴∠EOB=∠DCB=90°，
∴阴影部分面积为：
=
=6-π，
故选C．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形
结合的思想解答．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直
线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根
为﹣ ，其中正确的结论个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由对称轴
=2可知a= ，由图象可知当x=1时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把- 代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
∴a+b+c＞0，∴4a+4b+4c>0，∴4 ( )+4b+4c>0，
∴3b+4c>0，故②错误.
∵由图象可知OA＜1，且OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，故③正确.
∵假设方程的一个根为x=- ，把x=- 代入方程可得 +c=0，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，
∴方程有一个根为x=-c，
由③可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确.
综上可知正确的结论有三个：③④.
故选B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解
题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键.
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0的根，则该三角形的周长为_____．
【答案】13
【解析】【分析】
利用因式分解法求出解已知方程的解确定出第三边，即可求出该三角形的周长．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，且
∠AED=27°，则∠BCD的度数为_______．
【答案】117°
【解析】
【分析】
连接AD，BD，利用圆周角定理解答即可．
【详解】
连接AD，BD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠AED=27°，
∴∠DBA=27°，
∴∠DAB=90°-27°=63°，
∴∠DCB=180°-63°=117°，
故答案为：117°
【点睛】
此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．
13．赵州桥是抛物线形，建立如图所示的坐标系，其函数解析式为 ，当水位线在 位置时，水面宽
，这时水面离桥顶的高度 是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，把x=15直接代入解析式即可解答．
【点睛】
本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
14．如图，已知菱形 的顶点 ， ，若菱形绕点 逆时针旋转，每秒旋转 ，则第 秒时，菱形
的对角线交点 的坐标为________．【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．
15．小明把 个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率
分别为 、 和 ，试估计黄、蓝、红三种球的个数分别是________．
【答案】 、 、
【解析】
【分析】
根据得到各小球的概率以及小球的总个数，分别求出晓求得个数即可.
【详解】
∵小明把 个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率分
别为 ，∴黄、蓝、红三种球的个数分别是：80× ＝40(个)，80× ＝28（个），80× ＝32（个）.故答案为
20、28、32.
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据概率的意义求出小球的个数是解题关键.16．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x+ ）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，
且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得线段AB的长度，从而可以求得正方形ABCD的周长．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是找出所求问题需要的条件．
[来源:学科网]
17．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0（m＞0），当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两
个根分别记为α 、β，α 、β，…，α 、β ，则： 的值为_____．
1 1 2 2 2018 2018
【答案】 ．
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到α +β =-2，α β=-1×2；α +β =-2，α β=-2×3；…α +β =-2，α β =-2018×2019．把
1 1 1 1 2 2 2 2 2018 2018 2018 2018原式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】
∵x2+2x-m2-m=0，m=1，2，3，…，2018，
∴由根与系数的关系得：α +β =-2，α β=-1×2；
1 1 1 1
α +β =-2，α β=-2×3；
2 2 2 2
…
α +β =-2，α β =-2018×2019．
2018 2018 2018 2018
∴原式=
=
=2×（ ）
=2×（1- ）
= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=- ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
18．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3 ，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的
长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接CE，作EF⊥BC于F，根据旋转变换的性质得到∠CAE=60°，AC=AE，根据等边三角形的性质得到
CE=AC=4，∠ACE=60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】
解：连接CE，作EF⊥BC于F，
由勾股定理得，CF= = ，
∴BF=BC-CF= ，
由勾股定理得，BE= = ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转变换对应点到旋转中心的距离相等、对
应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
19．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4， ABC
是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____． △[来源:Z*xx*k.Com]
【答案】（ ， ）
【解析】
【分析】
连接AC，根据题意易证△AOC∽△COB，则 ，求得OC=2，即点C的坐标为（0，2），可设抛物线解析
式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将C点坐标代入求解，最后将解析式化为顶点式即可.
[来源:Z|xx|k.Com]
∴∠CAB=∠BCO，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴ ，
即 = ，
解得OC=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
把点C的坐标代入得，a（0+1）（0﹣4）=2，解得a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ （x2﹣3x﹣4）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴此抛物线顶点的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，抛物线的顶点式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，利用相似
三角形的性质求得关键点的坐标.
20．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将 沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的 上一动点，连
接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边
三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是
否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．
【详解】
如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．由题知： 沿着弦AB折叠，正好经过圆心O
∴OF=OA= OB
∴∠AOF=∠BOF=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）
∠D= ∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）
故，①②正确
下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE和EF
∵△ACD是等边三角形，E是CD中点
∴AE⊥BD（三线合一）
又∵OF⊥AB
∴F是AB中点
即，EF是△ABE斜边中线
∴AF=EF=BF
即，E点在以AB为直径的圆上运动．
所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小
此时，AE=EF，AE⊥EF
【点睛】
考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．三、解答题（共60分）
21．解方程：
； （2） ；
（3） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；
【解析】
【分析】
（1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用配方法求出解即可.
【详解】
解： 方程整理得： ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
方程整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， ；
方程整理得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.
22．如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．请直接写出与点 关于坐标原点 的对称点 的坐标；
将 绕坐标原点 逆时针旋转 ，画出对应的 图形；
请直接写出点 、 、 的坐标．
【答案】(1) ;(2)见解析；（3） ， ，
【解析】
【详解】
解： 由图象可知， ．
（2） 绕坐标原点 逆时针旋转 ，对应的 如图所示，
即为所求．
由图象可知 ， ， ．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中图形旋转的概念.
23．已知关于 的方程 ．
求证：方程总有两个实数根；
已知方程有两个不相等的实数根 ， ，且满足 ，求 的值．
【答案】 证明见解析； ．
【解析】
【分析】
（1）求得方程根的判别式，证明其总大于或等于0即可；（2）利用根与系数的关系求得 ，代入可得到关于m的方程，求解即可．
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键.
24．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售
量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W元．
（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利
润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；（2）192元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出等式求出答案；
（2）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出函数关系式，利用二次函数增减性求出答案．∴抛物线开口向下，当x＜30时，y随x的增大而增大，
又由于这种农产品的销售价不高于每千克28元
∴当x=28时，W =﹣2×（28﹣30）2+200=192（元）．
最大
∴销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确应用二次函数增减性是解题关键．
25．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α
（0°＜α≤45°），得到△ABC′.
①当α为多少度时，AB∥DC？
②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？
③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明.
【答案】（1）当α＝15°时，AB∥DC；（2）α＝45°；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，
（3）连接CC′，BD，BO，在 BDO和 OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′
△ △+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．
∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC
＝∠2＋∠α＋∠1
＝180°―∠ACD―∠AC′B
＝180°―45°―30°
＝105°
∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不变
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
26．九（3）班“2017年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面
有2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，求小
芳获奖的概率．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻
开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由．
【答案】（1） ；（2）他们获奖机会不相等，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正面有2张笑脸、2张哭脸，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）根据题意分别列出表格，然后
由表格即可求得所有等可能的结果与获奖的情况，再利用概率公式求解即可求得他们获奖的概率．（2）他们获奖机会不相等，理由如下：
小芳：
笑1 笑2 哭1 哭2
笑1 笑1，笑1 笑2，笑1 哭1，笑1 哭2，笑1
笑2 笑1，笑2 笑2，笑2 哭1，笑2 哭2，笑2
哭1 笑1，哭1 笑2，哭1 哭1，哭1 哭2，哭1
哭2 笑1，哭2 笑2，哭2 哭1，哭2 哭2，哭2
∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有12种情况，
∴P（小芳获奖）= ；
小明：
笑1 笑2 哭1 哭2
笑1 笑2，笑1 哭1，笑1 哭2，笑1
笑2 笑1，笑2 哭1，笑2 哭2，笑2
哭1 笑1，哭1 笑2，哭1 哭2，哭1
哭2 笑1，哭2 笑2，哭2 哭1，哭2
∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有10种情况，
∴P（小明获奖）= ，
∵P（小芳获奖）≠P（小明获奖），
∴他们获奖的机会不相等．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S =S 时，求动点M所经过的弧长，并写
MAO CAO
△ △
出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M（2，﹣2 ）、M（﹣2，﹣2 ）、M（﹣2，2 ）、M
1 2 3 4
（2，2 ）．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直
角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．
（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M
点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M （2，﹣2 ）；
1
劣弧MA的长为： ；
②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M （﹣2，﹣2 ）；
2
劣弧MA的长为： ；
③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M （﹣2，2 ）；
3
优弧MA的长为： ；
④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M （2，2 ）；
4
优弧MA的长为： ；
综上可知：当S =S 时，动点M所经过的弧长为 对应的M点坐标分别为：M（2，﹣2 ）、M
MAO CAO 1 2
△ △
（﹣2，﹣2 ）、M （﹣2，2 ）、M （2，2 ）．
3 4
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
28．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在
右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作
PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t
的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，
求此时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）d=﹣t2+4t﹣3；（3）P（ ， ）．
【解析】
（3）首先，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK
于点R，记QE与DK的交点为N，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT≌△ECH，再根据全等三角形的性
质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t﹣1+（3﹣t），即可求得答案．
∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（3，0）
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，延长PE交x轴于点H，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将点C（3，0）、D（1，4）代入，得：
[来源:Z。xx。k.Com]
，
解得： ，
∴y=﹣2x+6，
∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），
∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，
∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；
（3）如图2，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作
ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，
∵ER⊥DK，
∴∠NER=45°，
∴∠MEQ=∠MQE=45°，
∴QM=ME，
∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH，
∴△DQT≌△ECH，
∴DT=EH，QT=CH，
∴ME=4﹣2（﹣2t+6），
QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+（3﹣t），
4﹣2（﹣2t+6）=t﹣1+（3﹣t），
解得：t= ，
∴P（ ， ）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.
