文档内容
重难点 09 五种空间向量与立体几何数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ，若线段 上存在一点 ，
使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， ，
，且 为 的中点， 于 ，当 变化时，则三棱锥 体积的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足
之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 ，点 到 ，
的距离都是3，点 是 上的动点，满足 到 的距离与 到点 的距离相等，则点 的轨迹上的点到
的距离的最小值是（ ）A． B．3 C． D．
4．（2019·全国·高三阶段练习（理））已知四棱锥 ，底面 为正方形，
且四棱锥 的体积为 ，若其各个顶点都在球 表面上，则球 表面积的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足
则 的最小值为___________.
6．（2021·四川省泸县第二中学高三阶段练习（理））如图，正方体 的棱长为1， ，
分别是棱 ， 的中点，过直线 的平面分别与棱 ， 交于 ， .设 ， ，给
出以下四个结论：①平面 平面 ； ②当且仅当 时，四边形 的面积最小； ③四
边形 的周长 ， 是单调函数；④四棱锥 的体积 在 上先减
后增.其中正确命题的序号是__________．7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，将△
沿 翻折到△ 的位置，在翻折过程中， 不在平面 内时，记二面角 的平面角
为 ，则当 最大时， 的值为______．
8．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球
定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之
比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与
圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．
9．（2020·全国·高三（文））在棱长为1的正方体 中，点 分别为线段 、 的
中点，则点 到平面 的距离为______.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（文））在矩形ABCD中， ，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿
BM折叠，使平面 与平面 互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习） ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题中真命
题的个数为（ ）
①若 ， ，则 与 所成的角等于 与 所成的角；
②若 ， ， ，则 与 是异面直线；③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·青海西宁·高三期末（文））我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．
他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体
“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如
果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱 展开，
得到的平面图如图所示.其中 ， ， ，M是BB 上的点，则（ ）
1
A．AM与AC 是异面直线 B．
1 1
C．平面ABC将三棱柱截成两个四面体 D． 的最小值是
1
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形， ，
点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）A．当 时，存在点P满足
B．当 时，存在唯一的点P满足
C．当 时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为
D．当 时，满足 的点P轨迹长度为
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，O为正方体的中心，M
为 的中点，F为侧面正方形 内一动点，且满足 平面 ，则（ ）
A．若P为正方体表面上一点，则满足 的面积为 的点有12个
B．动点F的轨迹是一条线段
C．三棱锥 的体积是随点F的运动而变化的
D．若过A，M， 三点作正方体的截面 ，Q为截面 上一点，则线段 长度的取值范围为三、填空题
7．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥 中， ，
，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的
最短距离是___________.
8．（2022·广西·高三阶段练习（文））在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为矩
形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在 边上存在点 ，使得
为钝角三角形”的充分条件______.
① ，② ，③ ，④ .（写出符合题意的一组即可）
9．（2022·湖南·临澧县第一中学二模）已知三棱锥 的棱AP，AB，AC两两互相垂直，
，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则
最长弧的弧长等于___________.
10．（2022·北京四中高三开学考试）正方体 棱长为3，对角线 上一点P（异于A，
两点）作正方体的截面 ，且满足 ，有下列命题：①截面多边形只可能是三角形或六边形；②截面多边形只可能是正多边形；③截面多边形的周长L为定值；④设 ，截面多边形的面积为S，则函
数 是常数函数．其中所有正确命题的序号是______．
11．（2022·北京·北大附中高三开学考试）在棱长为1的正方体 中，E为侧面 的中
心，F在棱AD上运动.若点P是平面 与正方体的底面ABCD的公共点，则所有满足条件的点P构成图
形的面积为___________.
12．（2021·河北邯郸·高三期末）已知 为正方体 表面上的一个动点， ， 是棱
延长线上的一点，且 ，若 ，则动点 运动轨迹的长为___________.
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 棱长为 是棱 上一点，点 在棱 上
运动，使得对任意的点，直线 与正方体的所有棱所成的角都大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海·高三专题练习）如果点 是两条异面直线 、 外一点，则过点 且与 、 都平行的平
面个数的所有可能值是（ ）
A．1 B．2 C．0或1 D．无数
3．（2021·全国·高三专题练习）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）A．1 B．4 C．7 D．8
4．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 为等边三
角形，线段 的中点为 .若 ，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）直线AB与直二面角 的两个面分别交于A，B两点，且A，B都不
在棱l上，设直线AB与 所成的角分别为 和 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在正方体 中， 、 分别在 和 上
（异于端点），则过三点 、 、 的平面被正方体截得的图形不可能是（ ）
A．正方形 B．不是正方形的菱形
C．不是正方形的矩形 D．梯形
二、填空题
7．（2021·全国·模拟预测（理））如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正
方体棱长的一半，在该正方体侧面 上有一个小孔 ，小孔 (孔的大小不计)到 的距离为0.75米，
现将该正方体水槽绕 倾斜（ 始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上
的投影面积大小为_______平方米．三、解答题
8．（2021·全国·高三专题练习）已知斜三棱柱 的底面是直角三角形， ，且
， ， ，侧棱与底面成60°，求它的体积.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·四川泸州·三模（理））已知三棱锥 的底面 为等腰直角三角形，其顶点P到底面
ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为
（ ）
A．6π B．30π
C． D．
2．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知正三棱锥 的底面边长为 ，
外接球表面积为 ， ，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM
上的动点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·广西·高三阶段练习（理））如图，四棱柱 的底面是边长为2的正方形，侧棱
平面ABCD，且 ，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段 上的一个动点（不含端点），
过P、E、F的平面记为 ，Q在 上且 ，则下列说法正确的个数是（ ）．
①三棱锥 的体积是定值；
②当直线 时， ；
③当 时，平面 截棱柱所得多边形的周长为 ；
④存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的所有棱长为1． 是底面 内部一个动点（包
括边界），且 到三个侧面 ， ， 的距离 ， ， 成单调递增的等差数列，记 与 ，
， 所成的角分别为 则下列正确的是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，
同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线 平面 ，直线 平面 ，F是棱BC上一
动点，现有下列三个结论：
①若 分别为棱 的中点，则直线 平面 ；
②在棱BC上存在点F，使 平面 ；
③当F为棱BC的中点时，平面 平面 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．③ B．①③ C．①② D．②③
二、多选题
6．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和
一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂
直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（ ）A．直线AD与平面DEF所成的角为
B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为
D．球上的点到底面DEF的最大距离为
三、填空题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 为正方体 表面上的一动点，且满足
，则动点 运动轨迹的周长为__________.
8．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体 中，点 是线段 的中点， 是
正方形 （包括边界）上运动，且满足 ，则 点的轨迹周长为________.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2021·江西·三模（理））设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
2．（2021·浙江·模拟预测）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且直线 ，直线，下列命题为真命题的是
A．“ ”是“ ”的充分条件
B．“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件
C．“ ”是“ ”的充要条件
D．“ ”是“ ”的必要条件
3．（2020·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（理））已知圆锥 的底面半径为 ，当圆锥的体积为
时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·重庆八中高三阶段练习（理））已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则
下列说法正确的是
A．若 与 所成的角等于 与 所成的角，则
B．若 与 所成的角等于 与 所成的角，则
C．若 ， ，则 与 所成的角等于 与 所成的角
D．若 ，则 与 所成的角不可能等于 与 所成的角
5．（2020·河北·石家庄二中模拟预测（理））过正方体 的顶点 作平面 ，使每条棱在
平面 的正投影的长度都相等，则这样的平面 可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中，
是 的中点，点 是侧面 上的动点，且 截面 ，则线段 长度的取值范围是
（ ）.A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·陕西·二模（理））在内接于球 的四面体 中，有 ， ，
，若球 的最大截面的面积是 ，则 的值为______．
8．（2021·全国·高三专题练习（文））已知四边形 是等腰梯形， ， ， ，
，梯形 的四个顶点在半径为 的球面上，若 是球面上任意一点，则点 到平面
的距离的最大值为____________．
