文档内容
重难点 11 九种直线和圆的方程的解题方法（核心考点讲与
练）
能力拓展
题型一：直接法求直线方程
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过两条直线 和 的交点，且平行于直线
，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点 的直线与圆 相切，则该直线在y轴上
的截距为( )
A． B．5 C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆 、 在第一象限，且与 轴，直线 均相切，则圆
心 、 所在直线的方程为（ ）
A． B．C． D．
4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线 交圆 于 、 两点，且弦 的中点为
，则 方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A．直线 与线段 有公共点
B．直线 的倾斜角大于
C． 的边 上的中线所在直线的方程为
D． 的边 上的高所在直线的方程为
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点P（－1，1），且与直线 以及x轴围成一个
底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l 的斜率互为相反数 B．所围成的等腰三角形面积为1
1
C．直线l关于原点的对称直线方程为 D．原点到直线l的距离为
8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段 及点 ，任取 上一点 ，称线段 长度的最小值为点
到线段 的距离，记作 .已知线段 ， ，点 为平面上一点，且
满足 ，若点 的轨迹为曲线 ， ， 是第一象限内曲线 上两点，点 且 ，，则（ ）
A．曲线 关于 轴对称 B．点 的坐标为
C．点 的坐标为 D． 的面积为
题型二：待定系数法求直线方程
一、单选题
1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线 ： 的焦点 的坐标为
，准线与 轴交于点 ，点 在第一象限且在抛物线 上，则当 取得最大值时，直线 的方
程为（ ）
A． B．
C． = +2 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与 互相平行，且 过点 ，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 在 轴与 轴上的截距相等，则实数 的值是
（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2或1
4．（2022·全国·高三专题练习）过点 作直线 ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 有
（ ）条.
A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题
5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角是
B．若直线 ： ，则
C．点 到直线 的距离是
D．过 与直线 平行的直线方程是
6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知点 ， ，若直线 与线段 有交点，则 或
B． 是直线 ： 与直线 ： 垂直的充分不必要条件
C．经过点 且在 轴和 轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线 ， ： ， ，和两点 ， ，如果 与 交于点 ，
则 的最大值是 .
7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．若直线 与直线 互相垂直，则
B．直线 的倾斜角的取值范围是
C． 四点不在同一个圆上
D．经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
8．（2021·全国·高三专题练习）直线 与圆 相切，且 在 轴、 轴上的截距相等，则直线
的方程可能是A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线 的焦点为F，过焦点F的直线C交于 ，
两点，若 ，则直线AB的方程为______．
10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点 的直线 将圆 的周长
分为 两部分，则直线 的斜率为___________.
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，直线 ： .
(1)过点 ，作圆 的切线 ，求切线 的方程；
(2)判断直线 与圆 是否相交，若相交，求出直线 被圆截得的弦长最短时m的值及最短弦长；若不相交，
请说明理由.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 ， ，且
，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切的
圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围
一、单选题
1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线 ， ，且 ，点 到直线
的距离 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·辽宁·二模）己知直线 ，直线 ，则 的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则“ ”是“ ： 与 ： 平行”的充要条件
B．当圆 截直线 ： 所得的弦长最短时，
C．若圆 ： 与圆 ： 有且仅有两条公切线，则
D．直线 ： 的倾斜角为139°
4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线 过点 且与圆 ： 相切，直线 与 轴交于
点 ，点 是圆 上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点 的坐标为
B． 面积的最大值为10C．当直线 与直线 垂直时，
D． 的最大值为
三、填空题
5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线 的一条渐近线 与直线
平行，则直线 ， 间的距离为______．
6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线
经过点 ，若对任意的实数 ，直线 被圆 截得的弦长都是定值，则直线 的方程为___________.
四、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线 平行于直线 ，且点
在第三象限．
(1)求 的坐标；
(2)若直线 ，且l也过切点 ，求直线l的方程．
8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 ，
圆 ，A是第一象限内的一点，其坐标为 ．（1）若 ，求t的值；
（2）过A点作斜率为k的直线l，
①若直线l和圆 ，圆 均相切，求k的值；
②若直线l和圆 ，圆 分别相交于 和 ，且 ，求t的最小值．
题型四：求解直线的定点
一、单选题
1．（2022·山东滨州·二模）已知直线 ，圆 ，则直
线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系 中，已知圆 ，
若曲线 上存在四个点 ，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 为坐标原点，点 在直线 上，
是圆 的两条切线， 为切点，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 为正三角形时，
C．当 时， 的取值范围为
D．当 时， 的最大值为
4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l： ，交圆C： 于A，B两
点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．弦AB长的最小值为4
C．当 时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：
D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为
5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆 ，若曲线 上存在
四个点 ，过动点 作圆O的两条切线，A，B为切点，满足 ，则k的值可能为
（ ）
A．-7 B．-5 C．-2 D．–1
三、双空题
6．（2022·北京房山·二模）已知圆 和直线 ，则圆心坐标为
___________；若点 在圆 上运动， 到直线 的距离记为 ，则 的最大值为___________.
四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知 是定义在 上的奇函数，其图象关于点 对称，当
时， ，若方程 的所有根的和为6，则实数 的取值范围是______．
五、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习） 为坐标原点，动点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足
为 ，点 满足 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 在直线 上，且 ，直线 过点 且垂直于 ，求证：直线过定点.
9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 、
，右焦点为 ，设过点 的直线 、 与此椭圆分别交于点 ， 、 ， ，其中 ，
，
(1)设动点 满足 ，求点 的轨迹方程；
(2)设 ， ，求点 的坐标；(3)若点 在点 的轨迹上运动，问直线 是否经过 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，
说明理由.
题型五：直线相关的对称问题
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为 .若集合
， ， 则下列说法中不正确的有
（ ）
A．若 ，则实数 的取值范围为 B．存在 ，使
C．无论 取何值，都有 D． 的最大值为
2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 .若对区间 内的三
个任意的实数 ,都有 ,则向量 与 夹角的最大值的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知直线 ，过直线上任意一点M作圆 的两条切
线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B． 最大度数为60°
C．直线AB过定点 D． 的最小值为4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l： 与圆C： 相交于A，B两
点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若 ，则 或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点 ， ，点 满足 ．设 到
直线 的距离的最大值为 ，若数列 的前n项和 恒成立，则实数m能取的最
小值是______．
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆 和圆 交于
两点，直线 与直线 平行，且与圆 相切，与圆 交于点 ，则 __________．
7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点 ， ，若 ，则点P到直线l： 的
距离的最小值为____________．
四、解答题
8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参
数)．
(1)求C与坐标轴交点的直角坐标；
(2)以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，
求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线 ，圆
，圆
(1)若 ，求直线 的倾斜角；
(2)设直线 截两圆的弦长分别为 ，当 时，求 的最大值并求此时 的值.
10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为 的等边 （ 是坐标原点）的三个顶点都在抛物
线 上，过点 作抛物线 的两条切线分别交 轴于 ， 两点.
(1)求 的值；
(2)求 的外接圆的方程.
题型六：几何法求圆的方程
一、多选题
1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆 的圆心在
的欧拉线 上， 为坐标原点，点 与点 在圆 上，且满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．圆 的方程为
B． 的方程为
C．圆 上的点到 的最大距离为
D．若点 在圆 上，则 的取值范围是二、填空题
2．（2022·河北·模拟预测）圆心为 ，且截直线 所得弦长为 的圆的方程为
___________.
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆 ： 的离心率为 ， 和 是 的
左右焦点，M是 上的动点，点N在线段 的延长线上， ，线段 的中点为P，则
的最大值为______．
4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C过点 两点，且圆心C在x轴上，经过点 且
倾斜角为钝角的直线l交圆C于A，B两点，若 (C为圆心)，则该直线l的斜率为________．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点
P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝ |PT|，则实数k的取值范围是______________．
三、解答题
6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： 交C
于P，Q两点，且 ．已知点M的坐标为 ， 与直线l相切．
(1)求抛物线C和 的标准方程；
(2)已知点 ，点 ， 是C上的两个点，且直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的
位置关系，并说明理由．
7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O为坐标原点，抛物线E： （p＞0），过点C
（0，2）作直线l交抛物线E于点A、B（其中点A在第一象限）， 且 （ ＞0）.(1)求抛物线E的方程；
(2)当 =2时，过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程
8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点 到点 的距离是点 到点
的距离的 倍．
（1）求点 的轨迹方程：
（2）若点 与点 关于点 对称，求 、 两点间距离的最大值；
（3）若过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 、 两点， ，则是否存在直线 ，使 取得最
大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
题型七：待定系数法求圆的方程
一、单选题
1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆 的半径为1，若此圆同时与 轴和直线
相切，则圆 的标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数 .过点 作曲线两条切线，两切线与曲线 另外的公共点分别为B、C，则 外接圆的方程为
___________.
3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线 ，过点 作抛物线 的两条切线 ，
，切点分别为点A，B，以 为直径的圆交x轴于P，Q两点，则 _______．
4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上一点 位于第一象限，
且满足 ，则以点 为圆心， 为半径的圆的方程为______.
三、解答题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且
直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为 .点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于
点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A，A 两点，求 ；
1 2
(3)求证：|AN|·|BM|为定值.
6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆 过点 ， ， ．
(1)求 的标准方程；
(2)若点 在 上运动，求 的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点 在抛物线 ： 上，过点 作圆 ：
的两条切线，切点为 ， ，延长 ， 交抛物线于 ， .
（1）当直线 抛物线焦点时，求抛物线 的方程与圆 的方程；
（2）证明：对于任意 ，直线 恒过定点.
8．（2019·云南·二模（理））已知 是坐标原点，抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为1的直线
交抛物线 于 、 两点， 为抛物线 的准线上一点，且 .
（1）求 点的坐标；
（2）设与直线 垂直的直线与抛物线 交于 、 两点，过点 、 分别作抛物线 的切线 、 ，设
直线 与 交于点 ，若 ，求 外接圆的标准方程.
题型八：几何法求弦长
一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点 ，则直线 l 被圆O： 截得的弦长的最小
值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）过点 ，作倾斜角为 的直线l，则直线l被圆 截得
的弦长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东·模拟预测）已知圆 和圆 ，过圆 上任意一点 作圆
的两条切线，设两切点分别为 ，则（ ）
A．线段 的长度大于
B．线段 的长度小于
C．当直线 与圆 相切时，原点 到直线 的距离为
D．当直线 平分圆 的周长时，原点 到直线 的距离为
三、填空题
4．（2022·河北唐山·三模）直线 与圆 交于A、B两点，且
，则实数 _______．
四、解答题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ，不垂直于x轴的直线l与椭圆 相交
于 ， 两点.(1)若M为线段AB的中点，证明： ；
(2)设C的左焦点为F，若M在∠AFB的角平分线所在直线上，且l被圆 截得的弦长为 ，求l
的方程.
6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O：x2＋y2=2，过点A（1，1）的直线交圆O所得
的弦长为 ，且与x轴的交点为双曲线E： =1的右焦点F（c，0）（c＞2），双曲线E的离心率
为 ．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线y=kx＋m（k＜0，k≠﹣ ，m＞0）交y轴于点P，交x轴于点Q，交双曲线右支于点M，N两点，
当满足关系 时，求实数m的值．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，直线 过E的上顶点A
和左焦点 .
(1)求E的方程；
(2)设直线l与椭圆E相切，又与圆 交于M，N两点（O为坐标原点），求 面积的最大
值，并求出此时直线l的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题
一、单选题
1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线 ，圆 .则“ ”是“ 与
相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆 上仅存在一个点到直线 的距离
为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B． C．-1 D．0
3．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O： 上点P到直线l： 距离的最小值为
（ ）
A． B．
C．2 D．0
4．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线 上一动点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，则四边形 的面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A．点 到直线 的距离最大值为
B．满足 的点 有2个
C．过点 作圆 的两切线，切点分别为 ､ ，则直线 的方程为
D． 的最小值是
6．（2022·重庆·二模）已知点 是圆 上的任意一点，直线
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与圆 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆 的圆心到直线 距离的最大值为
C．点 到直线 距离的最小值为
D．点 可能在圆 上
三、填空题
7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线 上动点P作圆
的一条切线，切点为A，若使得 的点P有两个，则实数m的取值范围为___________．
8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆 上点P到直线 距离的最小值为__________．
四、解答题
9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线C交于A，B两
点.
（1）求 的面积；（2）过抛物线C上一点Р作圆 的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点
P的两点D，E.证明：直线DE与圆M相切.
