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【满分秘诀】专题 10 分式（满分突破）
1．已知m2﹣4m+1＝0，则 ＝ ．
【答案】4
【解答】解：∵m2﹣4m+1＝0，
∴m﹣4+ ＝0，
∴m+ ＝4，
故答案为：4．
2．若关于x的分式方程 无解，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝3 D．a＝4
【答案】A
【解答】解：去分母得：x﹣4＝a，
解得：x＝a+4，
∵分式方程无解，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
∴a+4＝5，
解得a＝1．
故选：A．
3．已知关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
【答案】D
【解答】解： ，
去分母，得m+3＝2x﹣1．
移项，得2x＝m+3+1．
合并同类项，得2x＝m+4．
x的系数化为1，得x＝ ．∵关于x的分式方程 的解为正数，
∴ ＞0且 ≠ ．
∴m＞﹣4且m≠﹣3．
故选：D．
4．若分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴可判断增根为使得分母为0的x的值，即x＝4；
分式方程两边同时乘以（x﹣4），得3﹣x+m＝（x﹣4），
整理得m＝2x﹣7，
当x＝4时，m＝2×4﹣7＝1．
故选B．
5．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解： ，
去分母，得x﹣1＝5（x﹣3）+m．
去括号，得x﹣1＝5x﹣15+m．
移项，得x﹣5x＝﹣15+m+1．
合并同类项，得﹣4x＝﹣14+m．
x的系数化为1，得x＝ ．
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ ＝3．
∴m＝2．
故选：A．6．张老师和李老师同时从学校出发，步行 15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小
时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每
小时走x千米，依题意，得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：李老师所用时间为： ，张老师所用的时间为： ．所列方程为：
﹣ ＝ ．
故选：B．
7．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学
生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，
结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（
）
A． + ＝ B． ﹣ ＝ C． +10＝ D． ﹣10＝
【答案】B
【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
﹣ ＝ ．
故选：B．
8．若关于x的方程 无解，则a的值是 ．
【答案】 ﹣ 1 或 2 ．
【解答】解： ，
去分母，得2＝ax+x﹣1．
移项，得ax+x＝2+1．
合并同类项，得（a+1）x＝3．∵关于x的方程 无解，
∴a+1＝0或 ．
∴a＝﹣1或a＝2．
故答案为：﹣1或2．
9．已知关于x的分式方程 ＝1的解是非正数，则a的取值范围是 ．
【答案】 a ≤﹣ 1 且 a ≠﹣ 2
【解答】解：去分母，得a+2＝x+1，
解得：x＝a+1，
∵x≤0，x+1≠0，
∴a+1≤0，x≠﹣1，
∴a≤﹣1，a+1≠﹣1，
∴a≠﹣2，
∴a≤﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2．
10．如果记y＝ ＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝ ＝
；f（ ）表示当x＝ 时y的值，即f（ ）＝ ＝ ，那么f（1）+f（2）+f（
）+f（3）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）＝ ．（结果用含n的代数式表示，n为
正整数）．
【答案】 n +【解答】解：∵f（1）＝ ＝ ；f（ ）＝ ＝ ，f（2）＝ ＝ ；
∴f（1）+f（2）+f（ ）＝ +1＝2﹣ ．
故f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）＝ +1+1+…+1＝ ．
（n为正整数），
解法二：由题意f（2）+f（ ）＝1，
f（3）+f（ ）＝1，
f（n）+f（ ）＝1，
∴（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）＝ +1+1+…+1＝n﹣ ．
11．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果
然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2
倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全
部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，
依题意有
+10＝ ，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x＝3×120＝360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
12．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共
用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款
型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一
半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批 T恤衫商店
共获利多少元？
【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，
依题意有
+30＝ ，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2） ＝160，
160﹣30＝130（元），
130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）
＝4680+1920﹣640
＝5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
13．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P
点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时
少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，
甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为 50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，
甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？【解答】解：设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的速度为1.2x米/秒，
根据题意，得 ，
解得x＝2.5．
经检验，x＝2.5是方程的解，且符合题意．
∴甲同学所用的时间为： （秒），
乙同学所用的时间为： （秒）．
∵26＞24，
∴乙同学获胜．
答：乙同学获胜．
14．通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书
中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该
工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程
预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工
程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明
理由．
【解答】解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，
则乙队单独完成这项工程需要2x天，（1分）
根据题意，得 （4分）
解得x＝30（5分）
经检验，x＝30是原方程的根，
则2x＝2×30＝60（6分）答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（7分）
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有 ，
解得y＝20（9分）
需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）（10分）
∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．
