文档文本内容
第 01 讲 二次根式及其性质
考点1：二次根式的定义与有意义条件
考点2：双重非负性的应用
考点3：二次根式性质的正向与逆向运用
考点4： 的化简
❑√a2
考点5：性质条件的辨析
重点：
（1）双重非负性
（2）4条核心性质的灵活运用
（2） 与（ 的区别
❑√a2 ❑√a） 2
难点：
（1）含的字母 的化简
❑√a2
（2）非负性的综合应用
知识点1：二次根式的定义及有意义的条件
1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为
二次根号．如 都是二次根式。
【总结】二次根式满足条件：
（1）必须含有二次根号
（2） 被开方 数必须是非负数2.有意义的条件
①单个二次根式：被开方数a≥0。
②多个二次根式：所有被开方数均≥0。
③含分母：被开方数≥0且分母≠0
【题型1 二次根式的识别】
【典例1】下面是二次根式的是（ ）
1
A． B．√32 C．❑√2 D．❑√−4
3
【变式1】下列式子中，属于二次根式的是（ ）
√1
A．√38 B．❑√−5 C．❑√x2+1 D．❑
x
【变式2】下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√−6 ❑√x2+2x+3 ❑√a √3 9
【变式3】下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有（ ）
❑√(x−1) 2 ❑√−3 √37 ❑√a2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 求二次根式的值】
1
【典例2】已知实数x，y满足y=❑√x−2025+❑√2025−x− ，求x2024 y2025的值．
2025
【变式1】当x=5时，二次根式❑√9−x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以
1
乘正广”，就是说：“S = ×底×高”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九
三角形 2
章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式
子可表示为： S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )（其中a、b、c为三角形的三条边长，S
4 2
为三角形的面积）．在△ABC中，AB=❑√6,AC=❑√3,BC=❑√5，则△ABC的面积为．
【变式3】已知x，y是实数，且满足y=❑√x−6+❑√6−x+1．
(1)求x和y的值；
(2)求❑√x+2y的值．
【题型3 求二次根式中的参数】
【典例3】n为正整数，且❑√18n是整数，那么n的最小值是 ．
【变式1】已知❑√13−m是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【变式2】已知❑√a−6+|b−3)=0，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
【变式3】已知❑√13−x是整数，则自然数x的所有取值为 ．
【题型4 二次根式有意义的条件】
❑√x+2
【典例4】若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x
A．x≠0 B．x≥−2 C．x>−2且x≠0 D．x≥−2且x≠0
【变式1】若式子❑√2x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．x≥− B．x>− C．x≠− D．x≥
2 2 2 2
【变式2】当 时，二次根式❑√2x−6无意义．
❑√3−x
【变式3】若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
x+1
知识点2：二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性 : (主要用于二次根式的计算)（3）转化性：
【题型5 利用二次根式的性质化简】
【典例5】已知 ，化简： ．
−1<x<5 ❑√(1+x) 2+|x−5)=
【变式1】当 时，化简： ．
1≤x≤3 ❑√x2−2x+1+|x−3)=
【变式2】已知 ，化简： ．
−2<x<4 ❑√(x+2) 2+❑√(x−4) 2=
【变式3】当 时，代数式 的值是 ．
1<a<2 ❑√(a−2) 2+a
【题型6 数轴与二次根式的化简】
【典例6】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：
（ ）
❑√a2+❑√(a−b) 2+❑√b2=
A．2a B．0 C．2a−2b D．2b
【变式1】如图，已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是
a ❑√(a−2) 2
．
【变式2】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 的结果是
|a−1)+❑√(a−2) 2
（ ）
A．2a−3 B．−1 C．1 D．3−2a【变式3】如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简
❑√a2+|a−b)
后结果正确的是（ ）
A．−b B．b C．2a+b D．−2a+b
1．二次根式❑√x−3有意义的条件是（ ）
A．x>3 B．x>−3 C．x≥−3 D．x≥3
2．化简
(−❑√7) 2
的结果为（ ）
A．±7 B．±49 C．7 D．−7
3．计算 的结果为（ ）
❑√(−3) 2
A．±3 B．3 C．9 D．❑√3
4．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
√5
A．❑√3 B．2❑√2 C．❑√a D．❑
6
5．已知❑√2025−a是正整数，则整数a的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
6．已知 ，化简 的结果为（ ）
1<x<2 ❑√(x−1) 2+|x−2)
A．−1 B．1 C．3−2x D．2−3x
√1
7．化简：❑ = ．
4
8． ，其中 ，则 ．
y=a+❑√1−2a+a2 a=99 y=
9．已知y=❑√3−x+❑√x−3−2，则xy= ．
10．已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ．
a |b−a|−❑√a2=11．化简：
(1) (❑√9) 2 ； (2) ❑ √ ( 8 ) 2； (3) ❑√121 ； (4)( ❑ √ 4 ) 2 ．
17 25
12．已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简： ．
|a−b)+❑√a2−❑√(b−c) 2
