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第一课时——圆的有关性质（1）
知识点一：与圆有关的概念：
1. 圆的概念：
定义①：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。
特别说明：定点O叫做圆心，定长r叫做半径。
定义②：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
转 ，另一个端点A所形成的 叫做圆．固定的端点O叫
做 ，线段OA叫做 。以O点为圆心的圆，记作 ，
读作 。
特别说明：固定端点是圆心，线段OA是半径。
2. 弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做 。如图中有弦
CD与弦AB。
3. 直径：过 的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。
4. 弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
5. 半圆： 的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做 。
6. 优弧： 半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为 。读作 。
7. 劣弧： 半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为 。读作 。
特别说明：表示优弧必须用三个字母，即在弧的两个端点中间加圆心或弧上一点。如
只有两个端点则默认表示劣弧
8. 等圆：能够 的两个圆或半径 的两个圆叫做等圆。
9. 等弧：在同圆或等圆中，能够 的两条弧叫做等弧。特别说明：等弧只在同圆或等圆中存在。
知识点二：圆的对称性：
圆既是 图形，有 条对称轴。又是 图形，对称中心是圆
的 。
【类型一：基本概念的认识与理解】
1．到定点O的距离等于2cm的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆．
2．如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以A为端点的弧中，优弧有
，劣弧有 ．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 第2题
4．下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是
弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
6．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．圆有无数条对称轴
C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D．度数相等的弧是等弧
7．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
8．下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点一：垂径定理：
1. 垂径定理的内容：垂直于弦的 ， 弦，平分弦所对的 和 。
2. 垂径定理的推论：
五个条件：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。
特别说明：这里的弦不能是直径。
知二推三：即知道其中两个另外三个一定成立。
推论1：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的 。
推论2：弦的垂直平分线经过 ，并且 弦所对的 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的 。
3. 垂径定理的应用：
垂径定理与勾股定理相结合，可解决与圆有关的线段计算问题。
即：
如图：
特别说明：弦心距是圆心到弦的距离，半弦长即弦长的一半。
【类型一：利用垂径定理求半径】
9．如图， O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝ ，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙第9题 第10题
10．如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则 O的
半径为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．5 B． C．3 D．
11．如图所示，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP：PB＝1：5，则 O的半径为
cm．
⊙ ⊙
第11题 第12题
12．如图，在 O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，若
AC＝2cm，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙
A．1 cm B．2 cm C． cm D．4 cm
13．如图所示，在 O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则 O的半径长为（ ）
⊙ ⊙
第13题 第14题
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【类型二：利用垂径定理求弦长】
14．如图，在 O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若 O的半径为2，则弦AB的长为 ．
⊙ ⊙15．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（ ）
第15题 第16题
A．4 B．5 C．6 D．8
16．如图， O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝ cm．
⊙
17．如图， O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB
的长为 ．
⊙
第17题 第19题
18．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2
C．6或2 D．以上说法都不对
【类型三：利用垂径定理求弦心距】
19．如图，弦CD垂直于 O的直径AB，垂足为H，且OB＝13，CD＝24，则OH的长是（ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
20．过 O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 3 cm ．
⊙
21． O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是 ．
⊙
22．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则
AE＝（ ）cm．
⊙A．8 B．5
C．3 D．2
23．如图， O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
⊙
第23题 第24题
【类型一：垂径定理的应用】
24．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF＝CD＝4cm，则球的半径
长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
25．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB宽为8cm，水的最大深度为
2cm，则该输水管的半径为（ ）
第25题 第26题
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
⌒ ⌒
26．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB的
中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
27．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为 O的直
径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为 寸．
⊙第27题 第28题
28．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为 米．
29．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为
80cm，则水位上升 cm．
30．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽 AB为16m（如图），桥拱最高
处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？一、选择题（10题）
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
2．在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长
度相等的弧是等弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图， O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
⊙第3题 第4题
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4．如图所示，MN为 O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．如图，点E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），
则线段AB的长度为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，
⌒
设AB所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD
＝15cm，则OA的长度是（ ）
第6题 第7题
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
7．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则 O的直径为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．8 C．5 D．3
8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为 O的直径，弦AB⊥DC于
E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
⊙
第8题 第10题
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
9．已知 O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为（
）cm．
⊙
A．14或2 B．14 C．2 D．6
10．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作
EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（6题）
11．如图，AB是 O的直径，点C在 O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3， O的直径长
是 ．
⊙ ⊙ ⊙
第11题 第12题
12．如图， O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 度．
⊙
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
第13题 第15题 第16题
14．过 O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm．
⊙
15．如图， O的直径为10cm，弦AB＝8cm，点P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是 ．
⊙
16．如图， O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有
个．
⊙
三、解答题（4题）
17．如图，D是 O弦BC的中点，A是 O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
⊙ ⊙
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝ BE时，求DE的长．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水
面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？19．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．
（1）求这座拱桥所在圆的半径．
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经
过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
20．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是 O的直径，∠AOD＝80°，B
⊙⌒
是AD的中点．
（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．
