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第 03 讲 二次根式的加法与减法
考点1：同类二次根式识别
考点2：加减运算法则应用
考点3：含字母的加减化简
考点4：加减与乘除混合运算
重点：
（1）最简二次根式化简：这是加减运算的前提，步骤为“去分母→分解因数→开方移
出”。
（2）同类二次根式合并：核心是“只变系数，根式不变”，非同类根式不能合并。
难点：
（1）同类二次根式的判断误区：易直接对比未化简的根式，需牢记“先化简，再看被开方
数”。
（2）含字母的根式加减：化简后结合绝对值判断字母符号，再合并。
（3）混合运算的顺序混乱：易忽略 “先乘除后加减”，或去括号时漏变号
知识点1：同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合
并的依据式乘法分配律，如
【题型1 同类二次根式】
【典例1】下列各式中，与❑√5是同类二次根式的是（ ）A．❑√75 B．❑√25 C．❑√0.5 D．5❑√5
【变式1】下列二次根式中，能与❑√3合并的是（ ）
A．❑√6 B．❑√9 C．❑√12 D．❑√18
【变式2】若最简二次根式❑√5−2a与❑√27能合并，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】已知最简二次根式❑√m−1与❑√8可以进行加减运算，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
知识点2：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
【题型2 二次根式的加减运算】
【典例2】计算下列各式：
(1) ； (2)( √2) (√1 )．
❑√18−(2❑√75−❑√27) ❑√24−2❑ − ❑ −❑√6
3 8
√1
【变式1】计算：❑√12−❑√48+6❑ ．
3【变式2】（2025·浙江台州·二模）计算： ．
(π−5) 0+❑√8−|−❑√2)
【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
1
(1)3❑√6− ❑√6 (2)❑√48+3❑√12
3
(3) √1 (4) (√1 )
❑√27−6❑ +❑√75 ❑√24+❑√0.5− ❑ −❑√6
3 8
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【题型3 二次根式的混合运算】
【典例3】计算
(1) ❑√12+❑√48−❑√27 ； (2) (❑√3−2) 2+❑√12÷❑√3 ；√1
(3)(❑√48−❑√27)÷❑√3+❑√6×2❑ ．
3
【变式1】计算：
(1) ❑√27−3❑√12+❑√48 ； (2) (2+❑√5)(2−❑√5)−(❑√3−2) 2 ；
【变式2】计算：
(1)2❑√12−6❑
√1
+❑√48； (2)❑√18×❑
√2
−(❑√3−1) 2 ．
3 3
【变式3】计算：
(1) ； (2) ❑√3 ( √1)．
❑√3×❑√6−❑√8 2❑√12× ÷3❑√2− ❑√8−3❑
4 2
【题型4 分母有理化】
5 2
【典例4】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， 一样的式子，其实我们
❑√3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
还可以将其进一步化简： = = ❑√3．
❑√3 ❑√3×❑√3 3
2
=
2×(❑√3−1)
=
2×(❑√3−1)
=❑√3−1 ．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题：
2
(1)化简： ；
❑√5+❑√31 1 1 1
(2)化简： + + +⋅⋅⋅+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【变式1】观察下列等式：
1
第1个等式：a = =❑√2−1；
1 1+❑√2
1
第2个等式：a = =❑√3−❑√2；
2 ❑√2+❑√3
1
第3个等式：a = =2−❑√3；
3 ❑√3+2
……
(1)第n个等式：a = ______．
n
(2)根据以上规律，计算a +a +a +⋯⋯+a 的值．
1 2 3 11
【变式2】阅读下列运算过程，并完成各小题：
1 ❑√3 ❑√3 2 2❑√5 2❑√5
= = ； = = ．数学上把这种将分母中的根号去掉的
❑√3 ❑√3×❑√3 3 ❑√5 ❑√5×❑√5 5
过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此
时也可以进行分母有理化，如：
1 ❑√2−❑√1 ❑√2−1 ；
= = =❑√2−1
❑√1+❑√2 (❑√2+❑√1)×(❑√2−❑√1) 2−1
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ；
= = =❑√3−❑√2
❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)×(❑√3−❑√2) 3−2
模仿上例完成下列各小题：1
(1) =____________；
❑√2
1
(2) =____________；
❑√n+1+❑√n
1 1 1 1
(3)请根据你得到的规律计算： + + +…+ ．
❑√1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√80+❑√81
【变式3】阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把
该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母．
1 1×❑√2 ❑√2
例：① = = ；
❑√2 ❑√2×❑√2 2
② 1 = 1×(❑√3+❑√2) = ❑√3+❑√2 = ❑√3+❑√2 =❑√3+❑√2 ；
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)×(❑√3+❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2 3−2
1
(1)分母有理化： ；
❑√7−❑√5
1
(2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化： ；
❑√a+❑√b
1
(3)请尝试对下列式子进行分母有理化： ．
3❑√2−2❑√3
【题型5 已知字母的值，化简求值】
【典例5】先化简，再求值：(x+2)(x−2)+3(1−x),其中x=❑√2．【变式1】先化简，再求值：( 2a−1) 1−a2，其中 ．
a− ÷ a=❑√3−1
a a2+a
【变式2】已知x=2+❑√3，y=2−❑√3，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+ y2
(2)x2−y2．
【变式3】先化简，再求值： ，其中 ．
a+❑√1−2a+a2 a=1007
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
m+2❑√m2−6m+9 m=−2021
【题型6 已知条件式，化简求值】
【典例6】已知x+ y=2❑√5,x−y=4．求】下列各式的值：
(1)x2+2xy+ y2；
(2)x2−y2．【变式1】已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求代数式x2+xy+ y2的值．
【变式2】已知 x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+ y2
y x
(2) −
x y
【变式3】已知a=❑√11+4，b=❑√11−4，求下列代数式的值.
(1)a2−b2；
(2)a2+b2+ab.
【题型7 比较二次根式的大小】
【典例7】比较大小： 3❑√2 2❑√3．（选填“>”“<”或“=”）
【变式1】比较大小：5❑√3 3❑√5（填“<”“ =”“>”）
【变式2】比较大小❑√14−❑√13 ❑√13−❑√12．【变式3】若a=❑√2+❑√3，b=1+❑√6，c=❑√5，则关于a，b，c的大小，以下说法正确
的是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a
【题型8 二次根式的应用】
【典例8】如图，长方形空地ABCD的长BC为❑√18m，宽AB为❑√8m，现准备在空地中划
出长 为 ，宽 为 的小长方形 （图中阴影部分）作为花
FG (❑√3+1)m EF (❑√3−1)m EFGH
卉实验田．
(1)求长方形空地ABCD的周长（结果化为最简）；
(2)求长方形花卉实验田EFGH的面积（结果化为最简）．
【变式1】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为18dm2和
32dm2的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)求剩余木料的周长．
【变式2】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是
古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三
a+b+c
边长分别为a、b、c，记p= ，则三角形的面积为s=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，
2
因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下
△ABC的面积为 ．【变式3】如图，将一个长为(20+2❑√2)cm，宽为(20−2❑√2)cm的长方形纸片的四个角
都剪去一个边长为❑√2cm的正方形，求纸片剩余部分的面积．
【题型9 复合二次根式的化简】
【典例9】观察下列等式：
；
❑√3+2❑√2=❑√(❑√1+❑√2) 2=1+❑√2
；
❑√5+2❑√6=❑√(❑√2+❑√3) 2=❑√2+❑√3
；
❑√7+2❑√12=❑√(❑√3+❑√4) 2=❑√3+2
根据以上的等式回答问题：
(1)填空：❑√13+2❑√42=_______；
(2)化简❑√10−4❑√6，并写出化简过程．
【变式1】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
，则
3+2❑√2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=(1+❑√2) 2 ❑√3+2❑√2=1+❑√2
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若❑√16−8❑√3=a❑√3−b则a= ，b= ．
【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答．
形如❑√m±2❑√n的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如
；
❑√3+2❑√2=❑√ (❑√2) 2+2❑√2+1=❑√ (❑√2+1) 2=❑√2+1
(1)填空❑√10+4❑√6=____________；
(2)化简❑√29−8❑√13，并写出化简过程．
【变式3】观察、思考、作解答：
，
(❑√2−1) 2=(❑√2) 2 −2×❑√2×1+12=2−2❑√2+1=3−2❑√2
反过来， ．
3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2−1) 2
， ．
∴3−2❑√2=(❑√2−1) 2 ❑√3−2❑√2=❑√2−1
(1)仿照上述过程，化简：❑√5−2❑√6；
(2)若❑√m+2❑√n=❑√a+❑√b，直接写出m,n与a,b之间的关系．
1．下列二次根式中能与❑√2合并的是（ ）
√2
A．❑√8 B．❑√4 C．❑√10 D．❑
52．计算： （ ）
(❑√2+1)(❑√2−1)=
A．1 B．2 C．−1 D．3
3．下列计算正确的是（ ）
A．❑√3+❑√2=❑√5 B．3❑√2−2❑√2=❑√2
C．❑√3−❑√2=1 D．❑√3+❑√3=❑√6
4．如图，矩形ABCD中，相邻两个正方形EFGH和MNCD的面积分别为2和4，则图中
阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4−2❑√2 C．2❑√2−2 D．2❑√2
5．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据
加密方式，若以下运算为数据加密方式： ，那
a⊕b=❑√a2+b2−(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
么4⊕3的值为（ ）
A．1 B．4 C．−2 D．9
6．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，
老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完
成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现
错误的是 （ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红
7．计算：❑√27−❑√3= ．
8．比大小：2❑√5 3❑√2（填写“＞”、“=”、或“＜”）．
1
9．分母有理化： = ．
❑√5+2
10．已知最简二次根式❑√a+3与❑√18是同类二次根式，则a的值为 ．11．计算：
❑√12
(1)❑√2×❑√6−
❑√3
(2) ．
(❑√3+2)(❑√3−2)+❑√(−2) 2
12．已知x=4+❑√5，y=4−❑√5．求：
(1)x+ y的值；
(2)求x2−2xy+ y2的值．
13．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为(❑√35+2)米．现在要在正方形绿
地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为(❑√7+1)米、宽为
(❑√7−1)米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积．
