文档内容
第 03 讲 勾股定理的逆定理及其应用
考点1：勾股定理逆定理的定义
考点2:勾股定理逆定理的应用
重点：
（1）掌握逆定理的内容，明确“先找最长边，再验证平方和”的核心判定流程，能准确判
断三角形是否为直角三角形。
（2）能将实际场景（如检测垂直）转化为数学问题，用逆定理解决实际问题
难点：
（1）突破“定理是直角三角形的性质（由直角得边的关系），逆定理是直角三角形的判定
（由边的关系得直角）”的逻辑混淆，理解二者的互逆关系
（2）引导学生理解 “参数可能为最长边”的情况，掌握分类讨论的思想，避免漏解。
（3）学会结合其他几何知识（如等腰三角形、四边形性质）构造边长关系，再利用逆定理
判定直角，突破“找边长—判直角—求未知量”的综合解题逻辑。
（4）理解并运用数形结合思想（边的数量关系与直角的几何关系）、分类讨论思想（含参
数问题）、建模思想（实际问题转化为数学模型）
知识点：勾股定理的逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三
角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否
为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的
c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐
c
角三角形，其中 为三角形的最大边.
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
【典例1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．❑√2，❑√3，❑√5 D．❑√7，❑√3，4
【变式1】下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．5，5，3 C．6，7，8 D．5，12，13
【变式2】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．c2=b2−a2 B．a:b:c=3:4:5
C．∠C=∠A−∠B D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【变式3】若△ABC的三个顶点A、B、C所对的边分别为a，b，c， 则下列条件中能
判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A=25°，∠B=75°
C．a=1，b=2，c=3 D．a=❑√2，b=❑√5，c=❑√3
【题型2 在网格中判断直角三角形】
【典例2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则
△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C均在网
格线的交点上．
(1)直接写出△ABC三边的长度．
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【变式2】如图，每个网格正方形的边长为1cm，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点
上，求：
(1)求△ABC的周长．
(2)判断△ABC的形状，并求其面积．
(3)求边AC上的高．
【变式3】如图，在边长为1的正方形网格图中有一个△ABC．
(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△≝¿（不写画法）．(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】
【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,∠B=90°,AD=5,CD=5❑√2，求
四边形ABCD的面积．
【变式1】已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．
求四边形ABCD的面积．
【变式2】如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，
AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．
(1)请说明AD⊥BC．
(2)求△ABC的面积．【变式3】如图，一块硬纸板，测得AB=12,BC=3,CD=4,DA=13,∠BCD=90°．求
这块硬纸板的面积．
【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】
【典例4】口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小形状多样、具有一定
游憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等，如图，四边形ABCD是某
市一口袋公园的平面示意图．经测量，桃李园B在入口A的正南方向40m处，入口C
在桃李园B的正东方向30m处，玫瑰园D与入口C相距120m，玫瑰园D与入口A相距
130m．求这个口袋公园的面积．
【变式1】如图，CD为某种帐篷支架的立柱，BC和AC分别为两侧坡柱．安装时要求A，
D，B三点固定在地面上，CD⊥AB于点D，且∠ACB≤90°．如果按AC=20m，
BC=15m，CD=12m进行设置，请判断此支架是否合格．【变式2】某公园是人们健身散步的好去处，从A点到D点有两条路线，分别是A−B−D
和A−C−D．经测量AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，点D
在点C的正北方50米处．
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算，请你求出点C到路线BD的最短距离．
【变式3】为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，
某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角
处清理出一块四边形空地ABCD如图）进行绿化，经测量∠ABC=90°,AB=14米，
BC=48米，CD=40米，AD=30米．
(1)求证：∠ADC=90°．
(2)求空地ABCD的面积．1．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5
2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA，BC两条路可到达公路，经测
量BC=60m，BA=80m，AC=100m．现需修建一条小路从学校B到公路，则这条小
路的最短距离为（ ）
A．24m B．30m C．48m D．50m
4．在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a2=b2−c2，则△ABC的形状是 ．
5．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），
则图中∠ABC的度数为 ．6．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
(1)直接写出下列线段的长度：AB= ，AD= ；
(2)连接BD，判断△ABD形状，并证明你的结论．
7．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知∠C=90°，AB=200m，
AD=150m，BC=70m，CD=240m．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方
米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．
8．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AB的垂直平分线，DE分别交
AC、AB于点E、D．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)求AE的长．9．如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知
∠ABC=90°,AB=5,AC=13．根据规划要求AE=4,BE=3．
(1)试判断△AEB的形状，并说明理由；
(2)计算图中阴影部分的面积．
