文档内容
第03讲 矩形的性质和判定
考点1：矩形的定义
考点2：矩形的性质
考点3：矩形的判定
考点4：直角三角形斜边上的中线
重点：
（1）矩形性质的应用
（2）矩形的判定
（3）斜边的中线等于斜边的一半的运用
难点：
（1）矩形性质与判定的综合证明
（2）动态几何中的平行四边形存在性问题
（3）想不到 “延长中线构造矩形” 的辅助线，不理解直角三角形→矩形的转化思想
知识点1：矩形的性质
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
【题型1 利用矩形的性质求角度】【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果∠ADB=28°，那么∠AOB的度
数为（ ）
A．52° B．54° C．56° D．58°
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB=18°，则∠AOB的度数是
（ ）
A．72° B．54° C．36° D．32°
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若
∠ODA=30°，则∠EAO的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知
∠EAD=2∠BAE，则∠EAO=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．35°
【题型2 根据矩形的性质求线段长】
【典例2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，BD=8，则DC长为
（ ）A．4❑√3 B．4 C．3 D．5
【变式1】在平面直角坐标系中，矩形OBAC的位置如图，点A的坐标是(−2,4)，则矩形对角线BC的长是
（ ）
A．3 B．2❑√2 C．4 D．2❑√5
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，，对角线AC与BD交于点O，则△AOB的周长为
（ ）．
A．14 B．15 C．16 D．17
【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=4，
AC=10，则ED的长为（ ）
A．❑√5 B．3 C．2 D．4
【题型3 根据矩形的性质求面积】
【典例3】如图，长方形ABCD的面积为60cm2，那么三角形ABE的面积是（ ）cm2．A．18 B．20 C．30 D．36
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点
E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
【变式2】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（ ）
A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积
C．一样大 D．无法确定
【变式3】如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD=8，AB=6，将△ABO向右平移得到
△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是 ．
【题型4 矩形与折叠问题】
【典例4】如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，在DC上存在一点E，将△AED沿直线AE折叠，使点D
落在BC边上的点F处，若CF=1cm，则AD的长为 cm．【变式1】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠EFB=60°，则∠AED=
．
【变式2】如图，矩形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′
处，折痕为EF， 若AB=6，AD=8， AE的长是 ．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点E是线段BC上一点，将矩形ABCD沿AE翻折，
点B恰好落在DC边上的点F处，则线段FC的长为 ．
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
如图：在Rt△ABC中，D为AB中点，CD= .【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】
【典例5】如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC的长为1km，
BC的长为2.4km，则点M，C之间的距离是 km．
【变式1】小红将一个直角三角板ABC放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，
D为AB上一点，它对应的数字为5，则CD的长为 ．
【变式2】如图，在等腰△ABC中，∠BAD=∠CAD，E是AC的中点．若AB=5，则DE的长为
．
【变式3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF=FE
，若BD=5，CD=8，则AD= ．
知识点3：矩形的判定※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【题型6 添一条件使四边形是矩形】
【典例6】如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．OA=OB D．∠1=∠2
【变式1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是
（ ）
A．∠A+∠B=180° B．∠B+∠C=180°
C．∠A=∠B D．∠B=∠D
【变式2】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法
不正确的是（ ）
A．AC=BD B．AB⊥BC C．OB=OD D．OA=OD
【变式3】如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 ．
【题型7 矩形的判定】
【典例7】点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：四边形OCED
是矩形．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，且BE=CE，求证：四边形ABCD是矩形．
【变式2】如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点O是AC中点，延长DO到E，使
OE=OD，连接AE，CE．求证：四边形ADCE是矩形．
【变式3】如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得EF=DE．求证：四边形ADCF是矩形．
【题型8 矩形的性质与判定综合】
【典例8】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD是等边三角形．
(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)如果AB=2，求平行四边形ABCD的面积．
【变式1】如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°．(1)求证：AC=BD；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8，求BE的长．
【变式2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接BE，若AC=10，BC=12，求BE的长．
【变式3】如图，四边形CDBE为平行四边形，且CD⊥AB，AC=BC．
(1)求证：四边形CDBE是矩形；
(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长．
1．如图，在矩形ABCD中，若AC=4，则BD的长为（ ）
A．4 B．2❑√3 C．2 D．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．若CD=6，则AB的长为（ ）
A．3 B．2 C．12 D．6
3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
4．如图，小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个 ▱ABCD，若∠1=70°，则∠2的度数是
（ ）
A．20° B．70° C．80° D．110°
5．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小
亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验
两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
6．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB=4，将△ABC沿AC翻折，得到△AEC，其中，AD与CE相交于
点F，则DF为（ ）3 3 ❑√5
A． B．1 C． D．
4 2 5
7．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=55∘，则∠EGF的度数为 ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立
平面直角坐标系，则点D的坐标为 ．
9.如图，AC、BD是矩形ABCD的两条对角线，E是AB的延长线上一点，连接DE，若BE=AC，
∠E=29°，则∠BDC的度数是 °．
10．如图，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，则矩形的对角线AC= ，点P是边AD上的一个
动点，点P到矩形两条对角线的距离PE与PF之和为 ．11．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．对角线AC、BD相交于点O，OA=OB．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠CAD=30°，AB=❑√3，求四边形ABCD的面积．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=90∘,E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F，
连接AF．
(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程．
①AE=DE；②BF=BC．
(2)在（1）的条件下，若AB=3,AD=5，求四边形ABCF的面积．
