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第 05 讲 三角形的外角
课程标准 学习目标
①三角形的外角定义 1. 掌握三角形外角的定义，能够判断三角形的外角。
②三角形的外角定理 2. 能够利用三角形的外角的性质进行相关的计算。
知识点01 三角形的外角
1. 三角形外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的 构成的夹角叫做三角形的外角。
知识点02 三角形的外角定理
1. 三角形的外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于 。
即∠1= 。
②三角形的一个外角 不相邻的任意一个内角。
③三角形的外角与相邻的内角 。
④三角形的外角和都等于 。
【即学即练1】
1．如图，已知点D是△ABC的BC边延长线上一点，且满足∠A＝85°，∠B＝25°，则∠ACD的度数为（）
A．100° B．110° C．40° D．70°
【即学即练2】
2．如图，BD为△ABC的角平分线，∠C＝80°，∠ADB＝105°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80
【即学即练3】
3．下列图形中，∠2大于∠1的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．已知三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形三个外角的比为（ ）
A．2：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1
题型01 利用三角形的外角性质进行计算
【典例1】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【变式1】如图，图中x的值为 ．【变式2】某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的∠3＝110°，则∠1比∠2大（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式3】如图，l ∥l ，△ABC的顶点B，C分别在l ，l 上，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠A的大小为（
1 2 1 2
）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【变式4】如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，CD是△ABC的角平分线，
∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝ ，∠EFC＝ ，∠ADC＝ ，则 、 、 三者间的数量关系是
．
α β γ α β γ
题型02 三角形的外角与直角三角板
【典例1】将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于 ．
【变式1】如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
A．75° B．95° C．100° D．105°【变式2】在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两个特殊的直角
三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有 30°的直角三角板，一副三角板如图摆放，其中
A、D、B共线，此时∠BEF的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【变式3】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是（ ）
α
A．75° B．60° C．65° D．55°
【变式4】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．15°
题型03 三角形的内外角与角平分线
【典例1】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若
∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【变式2】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：① ；② ；
③ ；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平
分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；② ；③DH∥AB；
④ ；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个1．如图，点 D在线段BC的延长线上，过点 B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是
（ ）
A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF
2．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是（ ）
A．140° B．120° C．110° D．100°
3．如图，已知∠ACD＝119°，∠B＝19°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．119° C．90° D．30°
4．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
5．在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三
角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有 30°的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示
摆放，其中A，D，B三点共线，此时∠FEB的度数为（ ）
A．150° B．100° C．135° D．120°
6．一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你!这
个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是
（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°
7．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容：
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※于点F，
则∠BEC＝◎+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．
故AB∥CD（@相等，两直线平行）．
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
8．如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A、B和D在同一条直线上，
∠B＝73°，∠DAC＝126°，则∠ACB的度数为（ ）
A．73° B．53° C．107° D．54°
9．如图，已知MB∥EF，BD与EF相交于点C，连接MC．则下列结论：①∠1＝∠3；②∠2＝∠B；
③∠M与∠MCB是同旁内角；④∠MCD＝∠M+∠B；⑤若CE平分∠MCD，则∠MCD＝2∠M．其中
正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④⑤ C．①③④ D．②④⑤
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以
下结论：① AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③ ④ 2∠ADB+∠CDB＝90°；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝
50°，则∠P＝ °．
12．如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 度．
13．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD
＝138°，他断定这个零件 （填“合格”或“不合格”）．
14．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，
∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝ °．
15．如图，在△ABC 中，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG 分别平分三角形的两个外角
∠EBC、∠FCB，∠G＝48°，则∠D＝ °．16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，
（1）若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数．
（2）探究∠BAC，∠B，∠E的关系，并说明理由．
17．数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AE是△ABC的外角∠CAD的角平分线．
求证：AE∥BC．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD＝∠B+∠C（ ）．
∵∠B＝∠C，
∴ ．
……
18．如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数．
（2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B＝2∠E，∠ECD＝2∠FAC，求∠EAC的度数．19．在△ABC中，∠A＝n°
（1）设∠B，∠C的平分线交于点O．求∠BOC的度数：
（2）设△ABC的外角∠CBD．∠BCE的平分线交于点O′，∠BO′C的度数：
（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？
20．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
（1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相
交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
（2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和
∠CFE的度数；
（3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD
于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE
的度数．
