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第14章 《整式的乘法与因式分解》单元检测
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x3＝x5 C．（﹣x2）4＝x6 D．x6÷x5＝x
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底
数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
B．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（﹣x2）4＝x8，故本选项不合题意；
D．x6÷x5＝x，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟
记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a） B．（﹣a﹣1）（1+a）
C．（﹣y﹣x）（﹣x+y） D．（﹣x+1）（x﹣1）
【分析】能利用平方差公式的条件：这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项
完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同
项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的特点是解此题的关键，注意：
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
3．（3分）如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．9或﹣9
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．
【解答】解：∵x2+2ax+9是一个完全平方式，
∴2a＝±（2×3），
则a＝3或﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（3分）若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（ ）
A．25 B．5 C．10 D．15【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵m2﹣n2＝5，
∴（m+n）2（m﹣n）2＝（m2﹣n2）2＝25，
故选：A．
【点评】此题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的法则．
5．（3分）把x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4）
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含
有公因式，必须先提公因式．
6．（3分）在下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A．y﹣x＝+（x﹣y） B．（y﹣x）2＝﹣（x﹣y）2
C．（y﹣x）3＝（x﹣y）3 D．（y﹣x）4＝（x﹣y）4
【分析】根据提公因式法和有理数乘方的法则得出答案．
【解答】解：y﹣x＝+（y﹣x），因此选项A不符合题意，
（y﹣x）2＝（x﹣y）2，因此选项B不符合题意，
（y﹣x）3＝﹣（x﹣y）3，因此选项C不符合题意，
（y﹣x）4＝（x﹣y）4，因此选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查提公因式法和有理数乘方，掌握有理数乘方的计算法则是正确计算的
前提．
7．（3分）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（x+y） B．（x﹣y）（x﹣y）
C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x+y）（y﹣x）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2对各选项分别进行判断．
【解答】】解：A、（x+y）（x+y）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计
算，故本选项不符合题意；
B、（x﹣y）（x﹣y）中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本
选项不符合题意；
C、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y）两项都是相同，不能用平方差公式计算，故
本选项不符合题意；
D、（x+y）（y﹣x）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，
其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
8．（3分）计算（a3）2÷a2的结果是（ ）
A．a3 B．a4 C．a7 D．a8
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可．
【解答】解：（a3）2÷a2＝a3×2÷a2＝a6﹣2＝a4，
故选：B．
【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前
提．
9．（3分）（﹣0.5）99×2100的计算结果正确的是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣0.5）99×2100
＝（﹣0.5）99×299×2
＝（﹣0.5×2）99×2
＝（﹣1）99×2
＝（﹣1）×2
＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了积的乘方，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
10．（3分）如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置
在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据
图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
【分析】图二中阴影部分的面积运用整体方法和和差方法表示，就可得到此题结果．
【解答】解：由题意得，图二中阴影部分的面积可表示为：（a﹣b）2和a2﹣2ab+b2，
故选：C．【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：﹣2+50＝ ．
【分析】先化简零指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式＝﹣2+1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查零指数幂，理解a0＝1（a≠0）是解题关键．
12．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝ ；﹣x2+4xy﹣4y2＝ ．
【分析】原式提取公因式y，再利用平方差公式分解即可；原式提取﹣1，再利用完全平
方公式分解即可．
【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣
4xy+y2）＝﹣（x﹣2y）2；
故答案为：y（x+2）（x﹣2）；﹣（x﹣2y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本
题的关键．
13．（3分）计算：（4x2y3+8x2y2﹣2xy2）÷2xy2＝ ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2xy+4x﹣1，
故答案为：2xy+4x﹣1．
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础
题型．
14．（3分）已知a6÷am＝a2，m的值为 ．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a6÷am＝a2，
∴a6﹣m＝a2，
∴6﹣m＝2，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（3分）（1）如果x2+10x+k是一个整式的平方，那么常数k的值是 ．
（2）如果y2﹣ky+9是一个整式的平方，那么常数k的值是 ．
【分析】（1）根据已知和完全平方式的特点得出k＝52，求出即可；
（2）根据已知和完全平方式的特点得出﹣ky＝±2•y•3，求出即可．
【解答】解：（1）∵x2+10x+k＝x2+2•x•5+k，
∴k＝52＝25，
故答案为：25；（2）∵y2﹣ky+9＝y2﹣ky+32，
∴﹣ky＝±2•y•3，
解得：k＝±6，
故答案为：±6．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完
全平方公式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
16．（3分）若实数x、y满足x﹣3＝y，则代数式2x2﹣4xy+2y2的值为 ．
【分析】由x﹣3＝y可得x﹣y＝3，再把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：由x﹣3＝y可得x﹣y＝3，
∴2x2﹣4xy+2y2
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2
＝2×32
＝2×9
＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
17．因式分解：
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）；
（2）8x2﹣2（x﹣y）2．
【分析】（1）通过提取公因式（a﹣b）进行因式分解；
（2）先提取2，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）；
（2）8x2﹣2（x﹣y）2
＝2[4x2﹣（x﹣y）2]
＝2（3x﹣y）（x+y）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣提公因式法．找准公因式，一次要提净；全家都搬
走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
18．分解因式：18a3b+14a2b﹣2abc．
【分析】确定公因式2ab，然后提公因式即可．
【解答】解：原式＝2ab（9a2+7a﹣c）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
提公因式法．
19．把一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为 xdm的
大正方形，两块是边长都为ydm的小正方形，另外五块长、宽分别是xdm、ydm的小长
方形，且x＞y．
（1）用含x、y的代数式表示长方形大铁皮的周长；
（2）若每块小长方形的面积为15.5dm2，四个正方形的面积和为100dm2，求该切痕的总
长度．
【分析】（1）先根据题意列出算式，再求出即可；
（2）根据已知求出xy＝15.5，x2+y2＝50，根据完全平方公式求出x+y，再求出答案即可．
【解答】解：（1）长方形大铁皮的周长为2（2x+y+x+2y）＝（6x+6y）dm；
（2）∵每块小长方形的面积为15.5dm2，四个正方形的面积和为100dm2，
∴xy＝15.5，2x2+2y2＝100，
∴x2+y2＝50，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝50+2×15.5＝81，
∵x、y为正数，
∴x+y＝ ＝9，
∴该切痕的总长度是2x+2y+2x+2y+2y+2x＝6x+6y＝6×9＝54．
【点评】本题考查了长方形的性质，整式的混合运算和列代数式，能够正确列出代数式
是解此题的关键．
20．例题：若x2+y2﹣2x+6y+10＝0，求x和y的值．
解：∵x2+y2﹣2x+6y+10＝x2﹣2x+1+y2+6y+9＝（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0．
∴x＝1，y＝﹣3．
问题①：已知x2+5y2+4xy﹣2y+1＝0，求2x﹣3y的值．
问题②：已知a、b、c是等腰△ABC的三边，且满足5a2+b2＝6a+4ab﹣9，求等腰三角
形的周长．
【分析】阅读例题，运用其方法解决问题：
问题①：仿照例题配方，利用若干个非负数和为0，则所有非负数均等于0，即可；
问题②：先仿照例题求得a和b的值，再根据等腰三角形性质和三角形三边关系分类讨论．
【解答】解：问题①：由x2+5y2+4xy﹣2y+1＝0，得（x+2y）2+（y﹣1）2＝0，解得x＝
﹣2，y＝1，
当x＝﹣2，y＝1时，2x﹣3y＝﹣4﹣3＝﹣7．
问题②：由5a2+b2＝6a+4ab﹣9，得（2a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，解得a＝3，b＝6．
∵△ABC是等腰三角形，
∴可分两种情况：a为腰，b为底或b为腰，a为底；
当a为腰，b为底时，
∵3+3＝6，不能构成三角形
∴这种情况不成立
当b为腰，a为底时，
∵3+6＞6，成立
∴等腰三角形的周长＝6+6+3＝15
故△ABC的三边长只能是6，6，3，故其周长为15．
【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，等腰三角形性质，三角形三边关系
等，在等腰三角形问题中要注意分类讨论．
21．问题背景：
在学习了完全平方公式后，老师布置了一道作业题：如图，长方形ABCD的长为a，宽
为b，面积为4，周长为10，分别以a，b为边作正方形ABEF及ADGH，求两个正方形
面积之和．小燕同学认真思考后，发现利用现有知识不能求出 a，b的值，但可以用完
全平方公式通过适当的变形求a2+b2的值，从而求得两个正方形面积之和．
（1）问题解决：请你依据上述内容填写已知条件和结果：
a+b＝ ，ab＝ ，a2+b2＝ ．
（2）已知x+y＝7，xy＝10，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）由周长可得a+b，由面积可得ab，利用完全平方公式，将a+b，ab的值
代入可得结论；
（2）由两个完全平方公式的关系变形后可得．
【解答】解：（1）∵长方形ABCD的周长为10，
∴a+b＝5．∵长方形ABCD的面积为4，
∴ab＝4．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣8＝17．
故答案为：5，4，17．
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy．
∴（x﹣y）2＝72﹣4×10＝9．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确使用完全平方公式是解题的关键．
