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第14章 整式的乘法与因式分解 培优卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是
（ ）
A. 490＜x＜510 B. 490≤x≤510 C. 490＜x≤510 D. 490≤x＜510
【答案】 B
【考点】有理数的加法
【解析】【解答】解：根据题意得：500﹣1≤x≤500+10，即490≤x≤510，
故答案为：B
【分析】由题意用有理数的加法法则可得490≤x≤510。
2. ( 3分 ) 方程3x（x﹣1）＝4（x﹣1）的根是（ ）
4 4 4
A. B. 1 C. 和1 D. 和﹣1
3 3 3
【答案】 C
【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】原方程变形整理后得：（x﹣1）（3x﹣4）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣4＝0，
4
解得：x＝1，x＝ ，
1 2
3
故答案为：C．
【分析】将方程移项后进行因式分解，即可得到方程的两个根。
3. ( 3分 ) 下列说法错误的是（ ）
A. 两条射线组成的图形叫角 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一
条直线 D. 0是单项式
【答案】 A
【考点】单项式，直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，角的概念
【解析】【解答】解：A、两条有公共端点的射线组成的图形叫角，此选项符合题意；
B、两点之间线段最短，此选项不符合题意；
C、两点确定一条直线，此选项不符合题意；
D、数字0是单项式，此选项不符合题意；
1故答案为：A．
【分析】根据角的定义、两点之间距离、直线的性质以及根据单项式的定义逐一判断即可．
4. ( 3分 ) 任意给定一个非零数 x ，按下列箭头顺序执行方框里的相应运算，得出结果后，再进行下一方
框里的相应运算，最后得到的结果是（ ）
x→ 平方 →+x→÷x→−2→ 结果
A. x B. x2 C. x+1 D. x−1
【答案】 D
【考点】整式的混合运算
【解析】【解答】根据题意得：
（x2+x）÷x-2=x2÷x+x÷x-2
=x+1-2
=x-1，
故答案为：D.
【分析】根据程序先列出算式，然后计算即可.
5. ( 3分 ) 下列各式计算正确的是（ ）
A. （a+1）2=a2+1 B. a2+a3=a5 C. a8÷a2=a6 D. 3a2﹣2a2=1
【答案】 C
【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；
B、a2+a3≠a5 ， 故本选项错误；
C、a8÷a2=a6 ， 故本选项正确；
D、3a2﹣2a2=a2 ， 故本选项错误；
故选C．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可得出
答案．
1
6. ( 3分 ) 已知多项式x2+kx+ 是一个完全平方式，则k的值为（ ）
4
1
A. ±1 B. ﹣1 C. 1 D. ±
2
【答案】 A
【考点】完全平方公式及运用
1
【解析】【解答】解：∵多项式x2+kx+ 是一个完全平方式，
4
21 1
∴x2+kx+ =（x± ）2 ，
4 2
∴k=±1，
故答案为：A
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2 ， 得到k=±1.
7. ( 3分 ) 关于 x、y 的多项式 x2−4xy+5 y2+8 y+15 的最小值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】 A
【考点】完全平方公式及运用，偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原式＝ x2−4xy+5 y2+8 y+15
=x2−4xy+4 y2+ y2+8 y+16-1
=(x−2y) 2+(y+4) 2-1
∵ ， ，
(x−2y) 2≥0 (y+4) 2≥0
∴原式≥－1，
∴原式的最小值为－1，
故答案为：A.
【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可.
8. ( 3分 ) 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. x2+5x-1=x（x+5）-1 B. x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C. x2-9=（x+3）（x-3）
D. （x+2）（x-2）=x2-4
【答案】 C
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】A.右边不是积的形式，故A错误；
B.右边不是积的形式，故B错误；
C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正确．
D.是整式的乘法，不是因式分解
选C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解
39. ( 3分 ) 式子 化简的结果为（ ）
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)
A. 21010−1 B. 21010+1 C. 22020−1 D. 22020+1
【答案】 C
【考点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)
∴（2—1）S=（2—1）
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)
∴S=
(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)
=
(24−1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)
=
(21010−1)(21010+1)
= 22020−1 ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
10. ( 3分 ) 的计算结果的个位数字是（ ）
2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
A. 8 B. 6 C. 2 D. 0
【答案】 D
【考点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)
=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)
=(34−1)(34+1)…(316+1)
=332−1
∵31=3 ， 32=9 ， 33=27 ， 34=81 ， 35=243 ， 36=729 ， 37=2187 ， 38=6561 ， …
∴ 3n 的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
∵ 32÷4=8 ，故 332 与 34 的个位数字相同即为1，
∴ 332−1 的个位数字为0，
4∴ 的个位数字是0．
2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
二、填空题
11. ( 4分 ) 若ma=2，mb=3，mc=4，则m2a+b﹣c=________．
【答案】 3
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ma=2，mb=3，mc=4，
∴m2a+b﹣c=（ma）2•mb÷mc=4×3÷4=3．
故答案为：3．
【分析】根据同底数幂的乘法与除法法则则及幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
12. ( 4分 ) 比较大小: 2√2 ________ √7 . (填“>”、“<"或“=")
【答案】 >
【考点】实数大小的比较
【解析】【解答】解： ， ，
(2√2)
2=8
(√7)
2=7
∵8>7 ，
∴2√2>√7 ．
故答案为： > ．
【分析】首先分别求出两个数的平方的大小；然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出两个
数的大小关系即可．
13. ( 4分 ) 若x＋y＝1，xy＝－7，则x2y＋xy2＝________．
【答案】 -7
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵x＋y＝1，xy＝－7，
∴原式＝xy(x＋y)＝－7，
故答案为：－7
【分析】先将多项式提取公因式xy，将多项式分解成xy(x+y)，再将已知条件中的值代入计算出即可。
14. ( 4分 ) 定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8，则（x-1）※x的结果为________。
【答案】 x²-1
【考点】平方差公式及应用
5【解析】【解答】解：根据题意得：
（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
15. ( 4分 ) 如图，正方形ABCD由四个矩形构成，根据图形，写出一个含有a和b的正确的等式________．
【答案】 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
【考点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】等式为：（a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
【分析】根据题意可知，正方形的面积可以有两种表达方式，分别写出两种方式，作相等即可。
16. ( 4分 ) 若 ，则x=________．
(x−1) x+1=1
【答案】 2或-1
【考点】0指数幂的运算性质，乘方的定义
【解析】【解答】当x+1=0，即x=-1时，原式=（-2） 0 =1；
当x-1=1，x=2时，原式=1 3 =1；
当x-1=-1时，x=0，（-1） 1 =-1，舍去．
故答案为：2或-1．
【分析】根据乘方的意义及零指数的意义分类讨论：当x+1=0，即x=-1时 ；当x-1=1，x=2时 ；当x-1=-1
时，x=0，（-1） 1 =-1，舍去．再将x的值代入计算即可。
17. ( 4分 ) 若（t-3）t-2=1，则t=________.
【答案】 2或4
【考点】0指数幂的运算性质，有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵任意非0实数的0次幂都为1，1的任何次方都是1，-1的偶次幂为1，
∴①当t-2=0，t-3≠0时，
解得：t=2；
6②当t-3=1时，
解得：t=4；
③当t-3=-1，t-2为偶数时，
解得：t=2，
故答案为：2或4
【分析】根据零指数幂的性质可得t-2=0，t-3≠0；根据1的任何次方都是1可得t-3=1；根据-1的偶次幂为1
可得t-3=-1，t-2为偶数，进而可得t的值.
18. ( 4分 ) 如果 (x+3)(x+a)−2 可以因式分解为 (x+m)(x+n) （其中 m ， n 均为整数），则 a
的值是________．
【答案】 2或4
【考点】多项式乘多项式，因式分解的定义
【解析】【解答】∵ (x+3)(x+a)−2 可以因式分解为 (x+m)(x+n) ，
∴ (x+3)(x+a)−2=(x+m)(x+n) ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ a+3=m+n，3a−2=mn ，
∴a=m+n-3，
∴ mn=3m+3n−11 ，
整理得： (m−3)(3−n)=2 ，
∵其中 m ， n 均为整数，
∴ m−3=±1 或 ±2 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ a 的值是 2 或 4 ，
故答案为 ：2 或 4
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）
=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
三、计算题
19. ( 5分 ) 已知 |m|=4 ， |n|=6 ，且 |m+n|=m+n ，求 m−n 的值.
【答案】 解：∵ |m|=4 ， |n|=6
∴ m=±4 ， n=±6
7又∵ |m+n|=m+n
∴ m+n≥0
当 m=4 时， n=6 ， m−n=4−6=−2
当 m=−4 时， n=6 ， m−n=−4−6=−10
故答案为 −2 或 −10 .
【考点】绝对值及有理数的绝对值，代数式求值，有理数的减法
【解析】【分析】由绝对值的性质可算出 m 和 n 的值，再由 |m+n|=m+n 可判断 m+n≥0 ，分情
况讨论即可.
20. ( 5分 ) 计算： 的结果.
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
【答案】 解：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=
(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=
(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=
(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
= =264−1+1
=264
【考点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先把所求的式子变形成 ，再
(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
利用平方差公式计算即可.
21. ( 5分 ) 计算：
【答案】 解：
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
8【解析】【分析】灵活运用幂的乘方与积的乘方及逆向使用公式进行计算
四、解答题
22. ( 8分 ) 已知 a 的相反数是5， b 的绝对值是3，求a+b的值.
【答案】 解：由题意可知 a 的相反数是5，
所以a=-5,
b 的绝对值是3，
所以b =±3，
a+b=-5+3=-2，-5-3=-8，
【考点】相反数及有理数的相反数，绝对值及有理数的绝对值，代数式求值
【解析】【分析】-5的相反数是5，绝对值是3的数有两个，是±3，由此可得a、b的值.
23. ( 8分 ) 下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由.
①a（x+y）=ax+ay；
②x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
③ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
1 1 2
④x2+2+ = (x+ )
x2 x
⑤2a3＝2a·a·a.
1 1
【答案】 解：因为①②的右边都不是整式的积的形式，所以它们不是分解因式；④中 ， 都不是
x2 x
整式，⑤中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有③的左边是多项式，右边是整式的积的形
式，所以③是分解因式.
【考点】因式分解的定义
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式。化简后的结果为几个
1
整式的乘积，所以 可以判断 ①②选项错误；在 ④ 中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合题
x
意；在 ⑤ 中，2a 3为单项式，不符合题意；在 ③中，左侧为多项式，右侧为几个整式的积，所以符合
题意。
24. ( 12分 ) 用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如
图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积
为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，请求出其阴影部分的面积为多少．
9【答案】 解：设矩形的长为a，宽为b，根据图①得：（a-b）2=12，根据图②得：（a-2b）2=8，
∴{a−b=2√3 ) ， 解得{a=4√3−2√2) ，
a−2b=2√2 b=2√3−2√2
由图③知阴影部分面积=（a-3b）2=（4√3-2√2-6√3+6√2）2=（-2√3+4√2）2=44-16√6。
【考点】完全平方公式的几何背景，解二元一次方程组
【解析】【分析】根据图中面积关系可列出关于a、b的代数式，并分别求出a、b，代入后即可计算。
25. ( 15分 ) 如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方
形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；
（1）填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数
（2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？
（3）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？
（4）观察图形，你还能得出什么规律？
【答案】 （1）解：结合图形，不难发现：在4的基础上，依次多3个．即剪n次，共有4+3（n﹣1）
=3n+1．
填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数 4 7 10 13 16
10（2）解：根据图形，还可以发现：每个小正方形的边长都是上一次的一半，面积是上一次的正方形的面
1
积的 ．
4
如果剪了100次，共剪出3×100+1=301个小正方形
（3）解：如果剪了n次，共剪出3n+1个小正方形
1
（4）解：观察图形，还能得出的规律是：剪了n次，小正方形的边长为原来的 ，面积是原来的
2n
1 2
( )
2n
【考点】探索图形规律
【解析】【分析】（1）结合图形，可以查出前5次，每剪一次正方形的个数。
（2）根据前5次的数据，可以找出规律，求出第100次正方形的个数。
（3）根据前5次的数据，可以总结出规律为：在4的基础上，依次多3个．即剪n次，共有4+3（n﹣1）
=3n+1。
（4）观察图形，还能得出剪了n次，边长和面积的变化规律。
11
