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第 04 讲 角的平分线的性质
课程标准 学习目标
1. 掌握角平分线的吃规作图步骤，能够熟练作图以及根据作图
①角的平分线的定义与性质 痕迹判断出角平分线并解决问题。
②角平分线的尺规作图 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题
③角平分线的判定 目。
④证明几何文字命题的一般步骤 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证
明。
知识点01 角平分线的定义与性质
1. 角平分线的定义：
角的内部把角分成两个 的角的射线这是个角的角平分线。
2. 角平分线的性质：（1）性质1：平分角。
如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 。且他们都等于∠AOB的 。
（2）性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 。
即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（
）
A．18 B．12 C．15 D．不能确定
【即学即练2】
2．如图，已知△ABC的周长是 22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，
△ABC的面积是 ．
知识点02 角平分线的尺规作图
1. 作已知角的角平分线：
步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。
步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。
步骤三：连接OP即为角平分线
步骤一 步骤二 步骤三
2. 证明上图中的OP是角平分线：
连接MP，NP由作图过程可知，OM ON，MP NP。
在△OMP与△ONP中
∴△OMP≌△ONP
∴∠MOP＝
∴OP是∠AOB的角平分线。
【即学即练1】
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，
再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若
CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
【即学即练2】
4．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂
M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
知识点03 角平分线的判定
1. 角平分线的判定的内容：
角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。
2. 数学语言：
点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P
在∠AOB的 上。
即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD
∴∠AOC＝∠BOC
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是
△ABC的角平分线．知识点04 证明几何文字命题的一般步骤
1. 证明几何文字命题的一般步骤：
（1）根据命题明确命题中的 与 。
（2）根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 与 。
（3）经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。
【即学即练1】
6．证明：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题．
题型01 利用角平分线的性质求线段长度
【典例1】如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝8cm，则OM长为
（ ）
A．8cm B．4cm C．5cm D．不能定
【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么
AE+DE等于（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式2】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，BD＝2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距
离等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若
△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10 B．16 C．8 D．5
【变式4】如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC
的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC
边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型02 利用角平分线的性质求面积
【典例1】如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB
＝20，则△AOB的面积是（ ）A．20 B．30 C．50 D．100
【变式1】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝
4，△ABC的面积是 ．
【变式2】如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为
cm，则△ABC的面积为 cm2．
【变式3】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别
为60和35，则△EDF的面积为（ ）
A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5
【变式4】如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC．则S△ABD ：S△ACD ＝ ．
【变式5】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC
分为三个三角形，S△ABO ：S△BCO ：S△CAO 等于（ ）A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4
题型03 根据作图痕迹解决角平分线的问题
【典例1】如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作
PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．5
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为
AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分
别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，
以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，
BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝（ ）
A．29° B．30° C．38° D．39°
【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一
点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧交点与点 A作直线，与边BC交于点D．
若AC＝8，BD＝3，则△ADC的面积是 ．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为
圆心，大于 AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC＝2∠AFB，则AF的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
题型04 角平分线的判定
【典例1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
【变式1】如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【变式2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，有∠BAD＝100°，∠ABC的平分线BE交AC
于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE．求证：DE平分∠ADC．题型04 角平分线在生活中的实际应用
【典例1】如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修
建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
【变式1】如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭
中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
1．如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三
条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点
B．△ABC三个内角的角平分线的交点
C．△ABC三角形三条边上的高的交点D．△ABC三角形三条中线的交点
2．如图，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA，OC＝5，CD＝3，则点C到射线OB的距离是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．无法计算
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（
）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P
到BC的距离是（ ）
A．5 B． C．6 D．
5．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，
PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在
∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
6．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了
500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1300m B．800m C．500m D．300m
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD ＝12，则△ABC面积为（ ）A．24 B．28 C．32 D．48
8．如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为S ，△ACO的面积记为S ，△BCO的面
1 2
积记为S ，关于S ，S ，S 之间的大小关系，正确的是（ ）
3 1 2 3
A．S +S ＝S B．S +S ＜S C．S +S ＞S D．S •S ＝S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，
再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD
＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，
PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；
④S△PAC ＝S△MAP +S△NCP ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝
2CD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是 ．
12．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面
积是 ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为 ．
14．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝6，若点Q是
射线OB上一点，OQ＝5，则△ODQ的面积为 ．
15．如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，
则BE+PF PB．
16．已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
（1）求证：点F在∠DAE的平分线上．
（2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小．17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°．
（1）若∠ABC与∠DCB的角平分线交于点O．求∠BOC的度数；
（2）若∠ABO＝2∠OBC，∠DCO＝2∠OCB，求∠BOC的度数．
18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．19．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一
条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，
求AB的长．
20．如图，点D是△ABC外角∠CBF的平分线与∠CAB的平分线的交点．
（1）如图①，若∠C＝88°，则∠D＝ 度；
（2）如图②，∠CBA的平分线与AD相交于点E，若∠BED＝∠D，求∠C的度数？
（3）如图③，在（2）的条件下，过E作AB的垂线分别交BC、AB于点M、N，MH平分∠CMN，交
AC于点H．请判断MH与AD的位置关系，并说明理由．
