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第17讲 相似三角形
一、 知识清单梳理
知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 列比例等式时，注意四条线段的大小
1.
比 顺序，防止出现比例混乱.
例 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线
线段
段．
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
(1)基本性质： ⇔ ad＝bc；（ 、 ≠ ） 常用引入参数法，将所有的量都统一用含同
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
b d 0 可以用给出的字母中 的一个表示出其他的
2. (2)合比性质： ⇔ ＝ ；（ 、 ≠ ） 字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再
比例 代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b
的 基 代入求解.
b d 0
本 性
(3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0)
例：若 ，则 .
质
⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
l1 l2
利用平行线所截线段成比例求线段长
段成比例 .即如图所示，若 l 3 ∥l 4 ∥l 5 ，则 A D l3 或线段比时，注意根据图形列出比例
等式，灵活运用比例基本性质求解.
. B E l4 例：如图，已知D，E分别是△ABC的边
C F l5
BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边
3. A B
平 行
的延长 线)，所得的对应线段成比例. DE∥AB，那么BC：CD应等于 .
线 分 线 O
段 成 比 即如图所示，若AB∥CD，则 .
例定理
C D
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
A
所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
D E
B C
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线 例：把长为10cm的线段进行黄金分
4.
黄 金 段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC 割，那么较长线段长为5( － 1 )cm．
分割
与AB的比叫做黄金比．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
如 图 ， 若 ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ B ＝ ∠ E ， 则 A D 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
△ABC∽△DEF. B CE F 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
D
5. 三角形相似． 如图，若∠A＝∠D， A 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
相 似
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
三角形 ，则△ABC∽△DEF. B CE F 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
的判定 或找底、腰对应成比例.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．
D
A
如 图 ， 若 ， 则
B CE F
△ABC∽△DEF.
6. (1)对应角相等，对应边成比例． 例：(1)已知
相似
△ABC∽△DEF，△ABC的
三角形的 (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
第 1 页 共 2 页(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等 周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与
于相似比． △DEF的面积之比为 9 ： 4 .
性质 (2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知
S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= 1 ： 2 .
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，
可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常
把等积式化为比例式，把比例式的四条线
7.相似三 段分别看做两个三角形的对应边.然后，
通过证明这两个三角形相似，从而得出结
角 形 的
果.
基 本 模
型
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