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专题 18.3 分式方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 解分式方程的一般方法】.......................................................................................................................1
【题型2 换元法解分式方程】...............................................................................................................................2
【题型3 裂项法解分式方程】...............................................................................................................................3
【题型4 根据分式方程的解求值】.......................................................................................................................4
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】.......................................................................................................4
【题型6 已知分式方程有增根求参数】...............................................................................................................5
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】...........................................................................................................5
【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】........................................................................................6
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】.........................................................................................................6
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】...................................................................................................8
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方
程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型1 解分式方程的一般方法】
1 4
【例1】（2024·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程： +3= 的解是_________.
x-2 x-2
【变式1-1】（2024·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
2x x
(1) - =1；
x+2 x-11 2 12
(2) - = ．
x+3 3-x x2-9
x-8 1
【变式1-2】（2024·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式 与分式 互为
x-7 7-x
相反数．
x+5 x+2 x+3 x+4
【变式1-3】（2024·上海·上外附中七年级期末）解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
【知识点2 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为
某个字母，而是直接整体求解。
【题型2 换元法解分式方程】
【例2】（2024·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
x-1 4x
解方程： - =0．
x x-1
x-1 4
解：设y= ，则原方程化为：y- =0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y
x y
4
＝±2都是方程y- =0的解，
y
x-1 x-1 1
∴当y＝2时， =2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时， =-2，解得：x= ．
x x 3
1
经检验：x＝﹣1或x= 都是原分式方程的解，
3
1
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：x-1 x 5
(1)若在方程 + = 中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
x x-1 2
x-1 3
(2)模仿上述换元法解方程： - -1＝0．
x+2 x-1
【变式2-1】（2024·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1 x ，
- +1=0
x 3(x2+1)
x2+1
如果设 = y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
x
A．3 y2+3 y-1=0 B．3 y2-3 y-1=0
C．3 y2- y+1=0 D．3 y2- y-1=0
16 8 4
【变式2-2】（2024·上海·八年级课时练习）如果 - +1=0，那么 的值是（ ）
x2 x x
A．1 B．-1 C．±1 D．4
【变式2-3】（2024·上海·九年级专题练习）解方程组：¿ ．
【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】（2024·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= – ； = – ； = – ；……
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4
解答下面的问题：
1
(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将 写成上面式子形式；
n(n+1)
(2)说明你（1）中式子的正确性；
1 1 1 1
(3)直接写出 + + + … + 的结果；
1×2 2×3 3×4 2021×2022
(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：
1 1 1 1 n+100
+ + +⋅⋅⋅+ = ．
1×3 3×5 5×7 (2n-1)(2n+1) 2n+202
【变式3-1】（2024·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1- , = - , = - , = - ，…，回答问题：若 +
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5 (x+1)×(x+2)
1 1 1 1
+ +…+ ＝ ，则x的值为 _____．
(x+2)×(x+3) (x+3)×(x+4) (x+99)×(x+100) x+100
【变式3-2】（2024·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = - , = = - , = = - .......
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5
1
(1)由此可推断： =___；
42
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；
3 1
(3)仿照以上方法解方程： =
(x-1)(x-4) x-1
【变式3-3】（2024·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：
1 1 1 1
= = -
6 2×3 2 3
1 1 1 1
= = -
12 3×4 3 4
1 1 1 1
= = -
20 4×5 4 5
……
1
(1)填空： ＝ ＝ ；
42
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
1 1 1 1
(3)请用（2）中的规律解方程： + +⋯+ = ．
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+9)(x+10) (x+10)
【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型4 根据分式方程的解求值】
2ax 8
【例4】（2024·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程 = 的解为x=1，则a等于
a-x 3
（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．83 x+a
【变式4-1】（2024·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程 = 的增根是x=1，
x-1 x(x-1)
则字母a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2x-m
【变式4-2】（2024·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程 =3的解，则m的值为
x-3
________．
ax 3 3
【变式4-3】（2024·全国·八年级专题练习）若关于x的方程 + + =2有增根x=-1，则2a-3的
x+1 x+1 x
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】
1-ax 1
【例5】（2024·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程 +2= 有解，则a的取值范围是________．
x-2 2-x
1 x+m 3
【变式5-1】（2024·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为(
x-2 x2-4 x+2
)
A．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10
x 2m
【变式5-2】（2024·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程 + =3m无解，
x-2 2-x
则m的值是（ ）
1 1
A．1或 B．1或3 C． D．1
3 3
【变式5-3】（2024·重庆·二模）若关于x的不等式组¿有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程
my-4 3 y-2
=2- 有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
y-2 2- y
A．7 B．10 C．13 D．21
【知识点5 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为 0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求
解出其他字母的值。
【题型6 已知分式方程有增根求参数】
5x-4 2x+k
【例6】（2024·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程 = 有增根，则k是
2x-4 3x-6_______________．
2-x a
【变式6-1】（2024·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程 = -2时会产生
x-3 3-x
增根，则a的值是__________．
x k x
【变式6-2】（2024·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程 - = 不会产生增根，
x-1 x2-1 x+1
则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．k≠2且k≠-2 D．无法确定
m 2 1
【变式6-3】（2024·全国·八年级）若关于x的方程 + = 有增根，则增根是多少？并求方程
x2-9 x+3 x-3
产生增根时m的值．
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】
【例7】（2024·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组¿，有且仅有四个
a 2y-1
整数解，且使关于y的分成方程 = +1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
y+2 y+2
A．−2 B．3 C．5 D．10
8-ax x
【变式7-1】（2024·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程 ﹣2＝ 有整数解，则符
2-x x-2
合条件的所有a之和为（ ）
A．7 B．11 C．12 D．13
【变式7-2】（2024·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组¿有解且至多有4个整数解，关于y的分
3 y+15 2ay
式方程 + =2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
3- y y-3
A．4 B．8 C．11 D．15
x-3(x-2)>-2
【变式7-3】（2024·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{ a+x 有解，关于y的分式方程
1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18 B．16 C．12 D．6
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】
2 1×2
【例9】（2024·山东聊城·八年级期末）已知：①x+ ＝3可转化为x+ ＝1+2，解得x＝1，x＝2，
1 2
x x
6 2×3
②x+ ＝5可转化为x+ ＝2+3，解得x＝2，x＝3，
1 2
x x
12 3×4
③x+ ＝7可转化为x+ ＝3+4，解得x＝3，x＝4，……
1 2
x x
n2+n
根据以上规律，关于x的方程x+ ＝2n+4的解为_____．
x-3
【变式9-1】（2024·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程
1 2
① = -1的解是x=0；
x+1 x+1
2 4
② = -1的解是x=1；
x+1 x+1
3 6
③ = -1的解是x= ；
x+1 x+1
4 8
④ = -1的解是x= ；
x+1 x+1
（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．
【变式9-2】（2024·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x=1，
x+1 x x-2 x-3
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x=2，
x x-1 x-3 x-4
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x=3，
x-1 x-2 x-4 x-5
1 1 1 1
(1)请直接写出方程 - = - 的解为________；
x-4 x-5 x-7 x-8
(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为-5的分式方程：________；
(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；
________．
【变式9-3】（2024·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
1 1 1
通过计算，发现：方程x+ =2+ 的解为x ＝2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x ＝3，x = ；
x 3 1 2 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x ＝4，x = ；…
x 4 1 2 4
1 1
(1)观察猜想：关于x的方程x+ =n+ 的解是 ；
x n
1 1
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+ =a+ ；
x-3 a-3
1 1
(3)实践运用：对关于x的方程x- =m- 的解，小明观察得“x =m”是该方程的一个解，则方程的另
x m 1
x2-x-1 1
一个解x = ，请利用上面的规律，求关于x的方程 =m- 的解．
2 x-1 m-1
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例10】（2024·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=¿，例如：
2 2×4 8
F(3,1)= =1，F(-1,4)= = ．
3-1 4-(-1) 5
（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)-F(2,m)=1，求出m的值．
1 1
【变式10-1】（2024·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝ - ，
b a
若2⊕(2x-1)＝0，则x的值为（ ）
5 5 3 1
A． B． C． D．-
6 4 2 6
【变式10-2】（2024·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝
1 a-b 1 2-1
- ，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝ - ＝0.
a a 2 2
(1)求5*4的值；
(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．
【变式10-3】（2024·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，
并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于
一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，
②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
2x+1 4
（1）判断一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方程 -1= 是否是“相似方程”，并说明理由；
2x-1 4x2-1
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
