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专题 18.2 分式的运算【十大题型】
【人教版】
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】...............................................................................................................2
【题型2 分式的加减混合运算】...........................................................................................................................4
【题型3 整式与分式的相加减运算】...................................................................................................................7
【题型4 分式加减的实际应用】.........................................................................................................................10
【题型5 比较分式的大小】.................................................................................................................................14
【题型6 分式的混合运算及化简求值】.............................................................................................................16
【题型7 分式中的新定义问题】.........................................................................................................................19
【题型8 分式运算的规律探究】.........................................................................................................................24
【题型9 整数指数幂的运算】.............................................................................................................................29
【题型10 科学计数法表示小数】.........................................................................................................................30
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
a n an
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ ）=
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c ca d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
(a+b) 2 (a+b) 2 a+b
【例1】（2024·全国·八年级课时练习） ÷ × 的结果是（ ）
a-b a-b a-b
a-b a+b (a+b) 2
A． B． C． D．1
a+b a-b a-b
【答案】B
【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解．
(a+b) 2 (a+b) 2 a+b
【详解】解： ÷ ×
a-b a-b a-b
(a+b) 2 (a-b) 2 a+b
= × ×
(a-b) 2 (a+b) 2 a-b
a+b
=
a-b
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
n2 4m2
【变式1-1】（2024·全国·八年级课时练习）（1）- ⋅ = ________；
2m 5n3
a2 5 b2 6 1 7
（2）( ) ⋅( ) ⋅( ) =________；
-b -a ab
3b2c 3
（3）(-3ab3c2 ) 2÷(- ) =________；
a
y 2 3x 3 3x 2
（4）(- ) ⋅(- ) ÷(- ) =________；
2x 2y 2ay
c3 2 c4 2 a 4
（5）( ) ÷( ) ÷( ) = ________．
a2b a3b c
2m 1 a5c 3 ya2 c2
【答案】 - - - -
5n a3 3 8x a2
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
n2 4m2 2m
【详解】解：（1）- ⋅ =-
2m 5n3 5n
a2 5 b2 6 1 7 a10 b12 1 1
（2）( ) ⋅( ) ⋅( ) =- ⋅ ⋅ =- ；
-b -a ab b5 a6 a7b7 a3
27b6c3 a3 a5c
（3）原式= 9a2b6c4÷(- )=9a2b6c4·(- )=- ；
a3 27b6c3 3
y2 27x3 9x2 y2 27x3 4a2y2 3 ya2
（4）原式= ⋅(- )÷ = ⋅(- )⋅ =- ；
4x2 8y3 4a2y2 4x2 8y3 9x2 8x
c3 2 c4 2 a 4 c6 c8 a4 c6 a6b2 c4 c2
（5）( ) ÷( ) ÷( ) = ÷ ÷ = · · = ；
a2b a3b c a4b2 a6b2 c4 a4b2 c8 a4 a2
2m 1 a5c 3 ya2 c2
故答案为：- ， - ，- ，- ，
5n a3 3 8x a2
【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
a7b2 (a2-b2 ) 4 a2 (b-a) 3
【变式1-2】（2024·全国·八年级专题练习）[- ]⋅ ÷[ ]
3(a+b) a2 2
8(a+b) 3b2 (a-b)
【答案】
3a❑
【分析】先计算乘方，再把除法转化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后约分得结果．
a7b2 (a2-b2 ) 4 a2 (b-a) 3
【详解】[- ]⋅ ÷[ ] ，
3(a+b) a2 2
a7b2 (a+b) 4 (a-b) 4 8
=- • • ，
3(a+b) a2 a6 (b-a) 3
8(a+b) 3b2 (a-b)
= .
3a❑
【点睛】本题考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解决本题的关键．【变式1-3】（2024·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且
a2b2 b2c2 c2d2 abcd a2 b2 c2 d2
= = = ，则 + + + 的值为______ ．
a2y2+b2x2 b2z2+c2y2 c2w2+d2z2 xyzw x2 y2 z2 w2
【答案】2
a2b2 b2c2 c2d2 abcd 1
【分析】设 = = = = ，即有：
a2y2+b2x2 b2z2+c2y2 c2w2+d2z2 xyzw k
a2y2 b2x2 b2z2 c2y2 c2w2 d2z2 xyzw y2 x2 z2 y2 w2 z2 xyzw
+ = + = + = =k，化简： + = + = + = =k，则
a2b2 a2b2 b2c2 b2c2 c2d2 c2d2 abcd b2 a2 c2 b2 d2 c2 abcd
x2 z2 y2 w2 xyzw x2 z2 y2 w2 a2 c2 1 b2 d2 1
有： = ， = ， =k，设 = =m， = =n，即 = = ， = = ，
a2 c2 b2 d2 abcd a2 c2 b2 d2 x2 z2 m y2 w2 n
z2 w2 xyzw
m+n= + =k， k= =mn，则问题即可得解．
c2 d2 abcd
【详解】结合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数进行下述运算，
a2b2 b2c2 c2d2 abcd 1
设 = = = = ，
a2y2+b2x2 b2z2+c2y2 c2w2+d2z2 xyzw k
a2y2+b2x2 b2z2+c2y2 c2w2+d2z2 xyzw
则有： = = = =k，
a2b2 b2c2 c2d2 abcd
a2y2 b2x2 b2z2 c2y2 c2w2 d2z2 xyzw
即有： + = + = + = =k，
a2b2 a2b2 b2c2 b2c2 c2d2 c2d2 abcd
y2 x2 z2 y2 w2 z2 xyzw
化简： + = + = + = =k，
b2 a2 c2 b2 d2 c2 abcd
x2 z2 y2 w2 xyzw
则有： = ， = ， =k，
a2 c2 b2 d2 abcdx2 z2 y2 w2
设 = =m， = =n，
a2 c2 b2 d2
a2 c2 1 b2 d2 1 z2 w2
即 = = ， = = ，m+n= + =k，
x2 z2 m y2 w2 n c2 d2
x2 z2 y2 w2
则有：m2=
⋅
，n2=
⋅ ，
a2 c2 b2 d2
xyzw
即有：k= =mn，
abcd
a2 b2 c2 d2 2 2 2(m+n) 2k
则有： + + + = + = = =2，
x2 y2 z2 w2 m n mn k
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关键．
【题型2 分式的加减混合运算】
2x+7 M N
【例2】（2024·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有 = + ，则M，N值为（
x2+x-2 x+2 x-1
）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【答案】B
M N (M+N)x+(-M+2N)
【分析】先计算 + = ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组¿ ，解
x+2 x-1 x2+x-2
之可得．
M N
【详解】解： +
x+2 x-1
M(x-1)+N(x+2)
=
(x+2)(x-1)
(M+N)x+(-M+2N)
=
x2+x-2
2x+7 (M+N)x+(-M+2N)
∴ =
x2+x-2 x2+x-2∴¿，
解得：¿，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于
M、N的方程组．
【变式2-1】（2024·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：
2y2+3 y+2 y2- y-5 3 y2-4 y-5 2y2-8 y+5
- - +
y+1 y+2 y-2 y-3
-8 y+4
【答案】
y4-2y3-7 y2+8 y+12
【分析】先对每一个分式进行拆分化简，然后再进行分式的加减计算即可.
2y2+3 y+2 (2y2+2y)+(y+1)+1 1
【详解】解： = =2y+1+ ，
y+1 y+1 y+1
y2- y-5 (y2+2y)-(3 y+6)+1 1
= = y-3+ ，
y+2 y+2 y+2
3 y2-4 y-5 (3 y2-6 y)+(2y-4)-1 1
= =3 y+2- ，
y-2 y-2 y-2
2y2-8 y+5 (2y2-6 y)-(2y-6)-1 1
= =2y-2- ，
y-3 y-3 y-3
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
∴原式=2y+1+ - y-3+ - 3 y+2- + 2y-2-
y+1 y+2 y-2 y-3
1 1 1 1
=2y+1+ - y+3- -3 y-2+ +2y-2-
y+1 y+2 y-2 y-3
1 1 1 1
= - + -
y+1 y+2 y-2 y-3
( 1 1 ) ( 1 1 )
- + -
=
y+1 y-3 y-2 y+2
-4 4
+
=
(y+1)(y-3) (y-2)(y+2)
-8 y+4
=
(y+1)(y-3)(y-2)(y+2)-8 y+4
= .
y4-2y3-7 y2+8 y+12
【点睛】本题考查分式的加减计算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.
【变式2-2】（2024·全国·中考模拟）计算下列各式：
1 1 2a 4a3
（1） + + + ；
a-b a+b a2+b2 a4+b4
x2+ yz y2-zx z2+xy
+ +
（2） ；
x2+(y-z)x- yz y2+(z+x)y+zx z2-(x- y)z-xy
x3-1 x3+1 2(x2+1)
（3） + -
x3+2x2+2x+1 x3-2x2+2x-1 x2-1
(y-x)(z-x) (z- y)(x- y) (x-z)(y-z)
（4） + + ．
(x-2y+z)(x+ y-2z) (x+ y-2z)(y+z-2x) (y+z-2x)(x-2y+z)
8a7
【答案】（1） （2）0（3）0（4）1
a8-b8
【详解】试题分析：（1）先根据异分母的分式的加减法，先把前两个分式通分，再求和，依次计算下去
即可；
（2）先把分子添项，构成能分组分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展开，然后把分母分子分解因
式，利用同分母的分式相加减的逆运算约分化简即可；
（3）根据立方差和立方和公式进行分子分母的因式分解，然后再约分化简即可；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，利用换元法进行约分化简即可.
试题解析：（1）
= + +
= +
= ；（2）
= + +
= + + ﹣ ﹣ ﹣
=0；
（3）
= + ﹣
= + ﹣
=0；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，则
=﹣ ﹣ ﹣
=﹣
=
=1．
1 1 1 7
【变式2-3】（2024·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且
x+ y y+z z+x 6
z x y
+ + ＝11，则x+y+z的值为（ ）
x+ y y+z z+x
72
A．12 B．14 C． D．9
7
【答案】Az x y x+ y+z x+ y+z x+ y+z
【分析】把 + + =11两边加上3，变形可得 + + =14，两边除以
x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x
1 1 1 14 14 7
(x+ y+z)得到 + + = ，则 = ，从而得到x+ y+z的值．
x+ y y+z z+x x+ y+z x+ y+z 6
z x y
【详解】解：∵ + + =11，
x+ y y+z z+x
z x y
∴1+ +1+ +1+ =14，
x+ y y+z z+x
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
即 + + =14，
x+ y y+z z+x
1 1 1 14
∴ + + = ，
x+ y y+z z+x x+ y+z
1 1 1 7
而 + + = ，
x+ y y+z z+x 6
14 7
∴ = ，
x+ y+z 6
∴x+ y+z=12．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出
x+ y+z.
【题型3 整式与分式的相加减运算】
1
【例3】（2024·贵州铜仁·八年级期末）计算： -1-x的结果是________．
1-x
x2
【答案】 ．
1-x
【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
1
【详解】解： -1-x
1-x
1 1-x x(1-x)
= - -
1-x 1-x 1-x
1-1+x-x+x2
=
1-x
x2
=
1-xx2
故答案为 ．
1-x
【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键．
5 2a-4
【变式3-1】（2024·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+ ）⋅ =_______．
2-a a+3
【答案】2a﹣6
【分析】先计算括号，进行通分，后按同分母加减计算，再计算乘除，约分即可．
a2-4 5 2a-4
【详解】原式=( - )⋅
a-2 a-2 a+3
a2-9 2(a-2)
= ⋅
a-2 a+3
(a+3)(a-3) 2(a-2)
= ⋅
a-2 a+3
=2（a﹣3）
=2a﹣6．
故答案为2a﹣6．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有
括号的先算括号里面的．
4x
【变式3-2】（2024·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= ．
x+1
(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
3 Q
(2)设y= - ，若x是整数，求y的整数值．
P 2
【答案】(1)P-Q≥0，理由见解析；
(2)y的整数值为：-7，-3，-1，3．
【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；
（2）先表示y，再求y的整数值．
(1)
解：P-Q≥0，理由如下：
4x (x+1) 2 4x
P-Q= x+1- = -
x+1 x+1 x+1
x2+2x+1-4x
=
x+1(x-1) 2
= ，
x+1
∵x＞0，
∴x+1＞0，（x-1）2≥0．
∴P-Q≥0；
(2)
3 2x 3-2x -2(x+1)+5
解：y= - = =
x+1 x+1 x+1 x+1
5
=-2+ ，
x+1
∵x，y是整数，
∴x+1是5的因数．
∴x+1=±1，±5．对应的y值为：
∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．
∴y的整数值为：-7，-3，-1，3．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
(1+c 1) 1+c 1
【变式3-3】（2024·河北·中考真题）由 - 值的正负可以比较A= 与 的大小，下列正确的是
2+c 2 2+c 2
（ ）
1 1
A．当c=-2时，A= B．当c=0时，A≠
2 2
1 1
C．当c<-2时，A> D．当c<0时，A<
2 2
【答案】C
(1+c 1) (1+c 1) 1
【分析】先计算 - 的值，再根c的正负判断 - 的正负，再判断A与 的大小即可．
2+c 2 2+c 2 2
1+c 1 c
【详解】解： - = ，
2+c 2 4+2c
当c=-2时，2+c=0，A无意义，故A选项错误，不符合题意；
c 1
当c=0时， =0，A= ，故B选项错误，不符合题意；
4+2c 2
c 1
当c<-2时， >0，A> ，故C选项正确，符合题意；
4+2c 2c 1 c 1
当-20，A> ，故D选项错误，不符合题意；
4+2c 2 4+2c 2
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行
准确判断．
【题型4 分式加减的实际应用】
【例4】（2024·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行
器的速度为v，往返所需时间为t ；如果风速度为p(00，
2(a+b)
∴甲糖的单价较高．
（3）
由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数
线代替．
【变式4-2】（2024·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为(100-ax)
100-ax
千米，乙距离终点为(100-bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满
100-bx
足的条件．
【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．
【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；
100-ax
（3）设 =k，从而可得100-100k+(kb-a)x=0，再根据无关型问题求解即可得．
100-bx
100 100
【详解】（1）由题意得：t= ÷20+ ÷25，
2 2
=2.5+2，
=4.5（小时），
答：走完全程所用的时间为4.5小时；
100 100
2 2 100 25 125
（2）甲走完全程所用的时间为 + = + = ，
1 2V V V V
V
2
100
乙走完全程所用的时间为 ，
V
100 125
因为 < ，
V V
所以乙先到；
100-ax
（3）设 =k，则100-ax=k(100-bx)，
100-bx
整理得：100-100k+(kb-a)x=0，
100-ax
∵分式 对一切有意义的x值都有相同的值，
100-bx
∴k的值与x的取值无关，∴kb-a=0，即a=kb，
∴100-100k=0，
解得k=1，
∴a=b，
故a，b应满足的条件是a=b．
【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比
B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵4819=79×61，7比6大1，1+9=10，∴4819是“分解数”；
又如：∵1496=44×34，4比3大1，4+4≠10，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数M=A×B为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为P(M)，A的个位数字与B的十
P(M)
位数字的和F(M)，令G(M)= ，当G(M)为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被
F(M)
2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
【答案】(1)325不是“分解数”， 851是“分解数”，理由见解析
(2)899，891，8099
【分析】（1）325=25×13，851=37×23，根据定义进行求解判断即可；
（2）令B=10x+ y，A=10(x+1)+10- y，（1≤x≤8，1≤ y≤9，且x，y为整数），可得
x+ y+1 x
P(M)=x+ y+1，F(m)=x- y+10，G(M)= ，由 为整数，可知x=2，4，6，8，然后分情况，
x- y+10 2
求出符合题意的x,y的值，计算M即可．
(1)
解：∵325=25×13，2比1大1，5+3≠10，∴325不是“分解数”；
∵851=37×23，3比2大1，7+3=10，∴851是“分解数”．
(2)
解：令B=10x+ y，A=10(x+1)+10- y，（1≤x≤8，1≤ y≤9，且x，y为整数）
∵P(M)=x+ y+1，F(M)=x- y+10
x+ y+1
∴G(M)=
x- y+10x
∵ 为整数
2
∴x=2，4，6，8
y+3 15
当x=2时，G(M)= =-1+ 为整数
- y+12 - y+12
∴- y+12的值为3或5
∴解得y=9或7
∴M =31×29=899
1
M =33×27=891
2
∵x=4或x=6时，不存在G(M)为整数
∴舍去
y+9 27
当x=8时，G(M)= =-1+ 为整数
- y+18 - y+18
∴- y+18=9
∴解得y=9
∴M =91×89=8099
3
综上所述，M的值为899，891，8099．
【点睛】本题考查了新定义下的是实数运算．解题的关键与难点在于理解题意并根据要求进行求解．
【题型5 比较分式的大小】
y+1 y
【例5】（2024·全国·七年级单元测试）设M= ，N= ，当x>y>0时，M和N的大小关系是（ ）
x+1 x
A．M>N B．M=N C．My>0可判断M、N的大小.
x+1 x
y+1 y
【详解】M-N= -
x+1 x
x(y+1)- y(x+1)
=
x(x+1)
xy+x-xy- y
=
x(x+1)
x- y
=
.
x(x+1)
∵x>y>0∴x(x+1)>0，x−y>0
∴M−N>0
故M>N.选A.
【点睛】本题考查分式加减的实际应用.异分母分式相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算.
还需注意本题最终计算结果是分式，可分别判断分子和分母的符号，根据两数相除，同号为正，异号为负
判断结果的符号.
n n-1 n
【变式5-1】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）已知n>1，M= ，N= ，P= ，则
n-1 n n+1
M、N、P的大小关系为_____________．
【答案】M>P>N
【分析】根据n>1可得M>1,01，
∴n-1>0,n>n-1，
∴M>1,00，
n+1 n n(n+1)
∴P>N,
∴M>P>N，
故答案为：M>P>N．
【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小，作差法比较大小的方法是：如果
a-b>0，那么a>b；如果a-b=0，那么a=b；如果a-b<0，那么ab,b>c，那么a>b>c．
【变式5-2】（2024·全国·九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+ y2+z2，
1 1 1 1 1 1
b=xy+ yz+zx，c= + + ，d= + + ．则a与b的大小关系是_______；c与d的大小关系是
x2 y2 z2 xy yz zx
______．
【答案】 a>b c>d
【分析】根据题意利用作差法进行整式与分式的加减运算，并将结果与0比较大小即可确定两数间的大小
关系.
【详解】解：∵x，y，z是三个互不相同的非零实数，1
∴a-b=x2+ y2+z2-(xy+ yz+zx)= [(x- y) 2+(y-z) 2+(z-x) 2]>0．
2
∴a>b．
1 1 1 ( 1 1 1 ) 1[ (1 1) 2 (1 1) 2 (1 1) 2]
又c-d= + + - + + = - + - + - >0，
x2 y2 z2 xy yz zx 2 x y y z z x
∴c>d．
故答案为：a>b和c>d.
【点睛】本题考查式子的大小比较，用作差法得到代数式，运用完全平方公式配成完全平方的形式，根据
x，y，z是互不相等的非零实数，证明代数式大于0，得到a与b，c与d的大小关系．
a+1 a+2
【变式5-3】（2024·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M= ，N= ．
a+2 a+3
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
4 5
【答案】（1）M＝ ，N＝ ；（2）M＜N；证明见解析.
5 6
【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
3+1 4 3+2 5
【详解】（1）当a=3时，M= = ，N= = ；
3+2 5 3+3 6
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
a+1 a+2 (a+1)(a+3)-（a+2）2 -1
M﹣N= - = = ．
a+2 a+3 (a+2)(a+3) （a+2）（a+3）
-1
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴ ＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
（a+2）（a+3）
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
M a+1 a+3 a2+4a+3
= ⋅ = ．
N a+2 a+2 a2+4a+4
a2+4a+3 M
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴ ＜1，∴ ＜1，∴M＜N．
a2+4a+4 N
【点睛】本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2024·天津东丽·八年级期末）计算
4a b (1) 2
（1） ⋅ ÷
3b 2a4 a
a a2-a 1
（2） ÷ -
a-1 a2-1 a-1
2 a
【答案】（1） ；（2）
3a a-1
【分析】（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；
（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.
4a b 2
【详解】（1）原式＝ ⋅
⋅a2
＝ ；
3b 2a4 3a
a (a+1)(a-1) 1 a+1 1 a
（2）原式＝ ⋅ - = - = .
a-1 a(a-1) a-1 a-1 a-1 a-1
【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.
x-2y x2-4xy+4 y2
【变式6-1】（2024·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中x＝﹣2，y
x+ y x2- y2
1
＝ ．
2
y 1
【答案】﹣ ， ．
x-2y 6
【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后
将x、y代入计算即可求得答案．
x-2y (x+ y)(x- y) x- y y
【详解】解：原式＝1﹣ ⋅ =1- ＝﹣ ，
x+ y (x-2y) 2 x-2y x-2y
1 1
当x＝﹣2，y＝ 时，原式＝ ．
2 6
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注
意式子的整理和约分．
3 a2-4a+4
【变式6-2】（2024·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A (a+1- )÷
a-1 a-1（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来
分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
a+2
【答案】（1） ；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11
a-2
【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；
a+2 a+6 16
（2）根据题意列出算式A-B= - ，化简可得A-B= ，结合a的范围判断结果与
a-2 a+2 (a-2)(a+2)
0的大小即可得；
a+2 4
（3）由A= =1+ 可知，a-2=±1、±2、±4，结合a的取值范围可得．
a-2 a-2
3 a2-4a+4
【详解】解：（1）A=(a+1- )÷
a-1 a-1
a2-1-3 a-1
= ×
a-1 (a-2) 2
(a+2)(a-2) a-1
= ×
a-1 (a-2) 2
a+2
= ；
a-2
（2）变小了，理由如下：
a+2
∵A= ，
a-2
a+6
∴B= ，
a+2
a+2 a+6 16
∴A-B= - = ；
a-2 a+2 (a-2)(a+2)
∵a>2，
∴a-2>0，a+2>4，
∴A-B>0，
∴分式的值变小了；
（3）∵A是整数，a是整数，a+2 4
则A= =1+ ，
a-2 a-2
∴a-2=±1、±2、±4，
∵a≠1，
∴a的值可能为：3、0、4、6、-2；
∴3+0+4+6+(-2)=11；
∴符合条件的所有a值的和为11．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式6-3】（2024·全国·八年级单元测试）已知 x,y 为整数，且满足
(1 1)( 1 1 ) 2( 1 1 )
+ + =- - ，求 x+ y 的值．
x y x2 y2 3 x4 y4
【答案】x+y的值为0或±1.
【分析】根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
1 1 1 1 2 1 1
【详解】解：∵( + )( + )=- ( - )，
x y x2 y2 3 x4 y4
1 1 1 1 2 1 1 1 1
∴( + )( + )=- ( + )( - )，
x y x2 y2 3 x2 y2 x2 y2
1 1 2 1 1
∴( + )=- ( - )，
x y 3 x2 y2
1 1 [ 2 1 1 ]
∴( + ) 1+ ( - ) =0，
x y 3 x y
1 1 2(1 1)
∴ + =0或1+ - =0，
x y 3 x y
1 1 3
∴x+ y=0或 - =- ，
x y 2
2y 2
1 1 3 x= =
由 - =- ，得 2-3 y 2 ，
x y 2 -3
y
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
2
当y=-1时，x为- ，不是整数，不符合题意，舍去；
5
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；1
当y=-2时，x为- ，不是整数，不符合题意，舍去；
2
综上，x+y的值为0或±1．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2024·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
x+1 x-1+2 x-1 2 2 x+1
的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ，则 是“和谐
x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x-1
分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
x+3 x-5 x-1 x+1
① ② ③ ④
3 x x+2 x2
x2+6x+3
(2)请将“和谐分式” 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
x+3
( x ) x2-3x x+1
(3)应用：先化简 x- ÷ ⋅ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
x+1 x2-9 x2+6x
【答案】(1)②③
6
(2)x+3- ，过程见解析
x+3
3
(3)1- ，当x=-5,-7,-9，该式的值是整数，
x+6
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得；
（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；
3
（3）将原式变形为1- ，根据题意求得x的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解．
x+6
x+3 x
【详解】（1）解：① =1+ ，不是“和谐分式”，
3 3
x-5 5
② =1- ，是“和谐分式”，
x x
x-1 x+2-3 3
③ = =1- ，是“和谐分式”，
x+2 x+2 x+2x+1 1 1
= +
④ ，不是“和谐分式”，
x2 x x2
故答案为：②③；
x2+6x+3
（2）解：
x+3
(x+3) 2-6
=
x+3
6
=x+3- ；
x+3
( x ) x2-3x x+1
（3）解： x- ÷ ⋅
x+1 x2-9 x2+6x
x(x+1)-x (x+3)(x-3) x+1
= · ·
x+1 x(x-3) x(x+6)
x2(x+1)(x+3)(x-3)
=
x2(x+1)(x-3)(x+6)
x+3
=
x+6
x+6-3
=
x+6
3
=1- ，
x+6
3
∵1- 为整数，
x+6
∴x+6 =±1,±3，
3
∴当x=-3,-5,-7,-9时，1- 是整数，
x+6
又∵x≠0,-1,3,-3,-6．
∴x=-5,-7,-9时，原式的值是整数．
【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对
和谐分式的定义的理解．
【变式7-1】（2024·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶
3 3x
分式”，例如分式 与 互为“3阶分式”.
x+1 1+x10x
（1）分式 与 互为“5阶分式”；
3+2x
2x 2y
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
x+ y2 y+x2
a 2b
（3）若分式 与 互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
a+4b2 a2+2b
15 1
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3）
3+2x 2
【分析】（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.
10x
【详解】（1）依题意，所求分式为A，即： +A=5，
3+2x
10x 15+10x 10x 15
∴A=5- = - = ；
3+2x 3+2x 3+2x 3+2x
（2）∵正数x,y互为倒数
1
∴xy=1，即x=
y
1
2
2x 2y y 2y 2 2y3 2(1+ y3 )
∴
+ = + = + = =2
x+ y2 y+x2 1
+ y2 y+
1 1+ y3 y3+1 1+ y3
y y2
2x 2y
∴分式 与 互为“2阶分式”；
x+ y2 y+x2
a 2b
（3）由题意得 + =1，等式两边同乘(a+4b2 )(a2+2b)
a+4b2 a2+2b
化简得： a(a2+2b)+2b(a+4b2 )=(a2+2b)(a+4b2 )
即：2ab+8b3=4a2b2+8b3
∴4a2b2-2ab=0，即2ab(2ab-1)=0
1
∴ab= 或0
2
∵a,b为正数
1
∴ab= .
2
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.【变式7-2】（2024·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们
1 1
的积，即M-N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如 与 ，因为
x+1 x+2
1 1 1 1 1 1 1 1
- = ， × = ，所以 是 的“关联分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
2 2 2
(1)已知分式 ，则 ______ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
a2-1 a2+1 a2-1
1
(2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“关联分式”为N，则 -N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
( 1 ) 1
∴
+1 N=
，
x2+ y2 x2+ y2
1
∴N=
．
x2+ y2+1
a-b
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
2a+3b
y
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：______；
x
②用发现的规律解决问题：
4n-2 4m+2
若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
mx+m mx+n
【答案】(1)是
a-b
(2)
3a+2b
y
(3)① ；②¿
x+ y
【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；
②由①推出的结论，类比形式求解即可.
（1）2 2 4 2 2 4
解：∵ - = ， × =
a2-1 a2+1 (a2-1)(a2+1) a2-1 a2+1 (a2-1)(a2+1)
2 2
∴ 是 的“关联分式”
a2+1 a2-1
故答案为：是
（2）
a-b a-b a-b
解：设 的“关联分式”为N，则 -N= ×N，
2a+3b 2a+3b 2a+3b
(
a-b
)
a-b
∴ +1 N= ，
2a+3b 2a+3b
a-b
∴N= ．
3a+2b
（3）
y y y
解：①设 的“关联分式”为N，则 -N= ×N，
x x x
( y ) y
∴ +1 N= ，
x x
y
∴N= ．
x+ y
y
故答案为： ；
x+ y
②由题意，可得¿，
整理得¿
解得¿．
【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.
【变式7-3】（2024·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式
5 5x 5 5x
互为“n和分式”．例如： + =5，我们称两个分式 与 互为“5和分式”．解答下列问
x+1 x+1 x+1 x+1
题：
4
（1）分式 与分式________互为“4和分式”；
x+1
2x 2y
（2）分式 与分式 互为“________和分式”；
x+ y x+ y
1 1
（3）已知xy=1，两个分式 与 是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明
x+1 y+1理由；
3x 3 y
（4）若分式 与 互为“3和分式”（其中x，y为正数），求xy的值．
x+ y2 x2+ y
4x 1 1
【答案】（1） ；（2）2；（3）是， 与 是“1和分式”，即n=1；（4）xy=1
x+1 x+1 y+1
4
【分析】（1）设这个分式为W，根据题意可知W+ =4，然后求解即可得到答案；
x+1
2x 2y
（2）根据 + =2，即可求解；
x+ y x+ y
1 1 x
= = 1 1
（3）根据xy=1，则y+1 1 1+x，即可得到 + =1；
+1 x+1 y+1
x
3x 3 y
（4）由题意可得 + =3然后求解xy即可.
x+ y2 x2+ y
【详解】解：（1）设这个分式为W，
4
根据题意可知W+ =4
x+1
4 4x+4-4 4x
W =4- = =
x+1 x+1 x+1
2x 2y 2x+2y
（2） + = =2
x+ y x+ y x+ y
2x 2y
∴ 与 互为“2和分式”
x+ y x+ y
（3）∵xy=1，
1
∴y=
x
1 1 x
= =
∴y+1 1 1+x
+1
x
1 1 1 x x+1
∴ + = + = =1
x+1 y+1 x+1 x+1 x+1
1 1
∴ 与 互为“1和分式”
x+1 y+1
∴n=1
3x 3 y
（4）∵ 与 互为“3和分式”
x+ y2 x2+ y3x 3 y
+ =3
x+ y2 x2+ y
3x(x+ y2)+3 y(x2+ y)=3(x+ y2)(x2+ y)
3x2y2=3xy
xy=1
【点睛】本题主要考查了分式的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【题型8 分式运算的规律探究】
1
【例8】（2024·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝ ，例如：f（3）
1+x
1
1 1 1 3 1 1 1 1 1 1
＝ = ，f（ ）= =1- ，计算：f（ ）+ f（ ）+ f（ ）+ …f（ ）+ f（ ）+ f
1+3 4 3 1 4 2006 2005 2004 3 2
1+
3
（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【答案】2006
1 (1) x 1 1 1 1
【分析】首先根据f (x)= 可以得到f = =1- ，分别把f( )，f( )以及f( )表
1+x x 1+x 1+x 2006 2005 2
x
示出来，其余的f (1),f (2),f (3)...f (2006)用f (x)= 表示即可求解．
1+x
1
【详解】∵f (x)=
1+x
(1) 1 1 x 1
f = = = =1-
∴ x 1 1+x 1+x 1+x
1+
x x
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
原式=1- +1- +1- .........+1- + + + +.......+ + +
2007 2006 2005 3 2 2 3 2005 2006 2007
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1) (1 1)
= - + + - + + - + +....+ - + + + +2005
2007 2007 2006 2006 2005 2005 3 3 2 2
=2006
故答案是：2006．
(1) 1
【点睛】本题主要考查分式的计算以及分式的代数求值，准确的根据已知条件表示出f =1- 是求
x 1+x
解本题的关键．【变式8-1】（2024·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
2 ( 1-4) 2
第1个等式： × 2- = ；
32-4 1 1
4 ( 2-4) 2
第2个等式： × 2- = ；
42-4 2 2
6 ( 3-4) 2
第3个等式： × 2- = ；
52-4 3 3
8 ( 4-4) 2
第4个等式： × 2- = ；
62-4 4 4
10 ( 5-4) 2
第5个等式： × 2- = ；……
72-4 5 5
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
12 ( 6-4) 2
【答案】(1) × 2- =
82-4 6 6
2n ( n-4) 2
(2) × 2- = ，证明见解析
(n+2) 2-4 n n
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左
右相等便可．
(1)
12 ( 6-4) 2
解： × 2- = ；
82-4 6 6
(2)
2n ( n-4) 2
解： × 2- = ，理由如下：
(n+2) 2-4 n n
2n n+4 2 n+4 2
左边 = × = × = = 右边，
n2+4n n n+4 n n
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确
性是解答本题的关键．【变式8-2】（2024·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
x-1 x-1 x -1 1
观察分式 的变形过程和结果， = + =1- ．
x x x x x
x-1
填空：若x为小于10的正整数，则当x=_______时，分式 的值最大．
x
（2）探究二：
a2+2a-2
观察分式 的变形过程和结果，
a-1
a2+2a-2 (a-1) 2+4a-3 (a-1) 2+4(a-1)+1 1 1
= = =a-1+4+ =a+3+ ．
a-1 a-1 a-1 a-1 a-1
x2+2x-1
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式 的变形结果．
x-1
【问题解决】
x2-2|x|-1
（3）当-2
