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专题 18.1 分式【十大题型】
【人教版】
【题型1 分式的概念辨析】...................................................................................................................................1
【题型2 分式有意义的条件】...............................................................................................................................3
【题型4 分式的求值】...........................................................................................................................................6
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】....................................................................................8
【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】..........................................................................................10
【题型7 分式的规律性问题】.............................................................................................................................12
【题型8 分式的基本性质】.................................................................................................................................15
【题型9 约分与通分】...........................................................................................................................................16
【题型10 运用分式的基本性质求值】.................................................................................................................19
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念辨析】
x 1 2 3 y+2 1 2022
【例1】（2024·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在 , , x, , , 中，分式的个
3 x+ y 3 2x-1 2 x
数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据分式的定义，即可求解．
1 3 y+2 2022
【详解】解∶分式有 , , ，共3个．
x+ y 2x-1 x
故选：B
A
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如 （其中A、B都是整式，且B≠0）的式子叫做分式是
B解题的关键．
1
【变式1-1】（2024·河南洛阳·八年级期中）若 是分式，则□不可以是（ ）
□
A．3π B．x+1 C．c-3 D．2y
【答案】A
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
1
【详解】解：∵ 是分式，
□
∴分母中含字母，
而3π是一个常量，
故选项A不满足．
故选：A．
A
【点睛】本题考查分式的定义，理解形如 ，B中含有字母且B≠0的式子称为分式是解题关键．
B
2 x
【变式1-2】（2024·陕西渭南·八年级期末）对于代数式① ，② 来说，有下列说法，正确的是（ ）
x 2
A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式
【答案】B
【分析】根据分式的定义判定即可．
2 x
【详解】解：① 是分式，② 是整式不是分式，
x 2
故选：B．
A
【点睛】本题考查分式的定义，一般地，形如 ，A、B为整式，且B中含有字母，叫分式．
B
【变式1-3】（2024·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
x+1 m-3 b a+3b 4 1 m-n 2 2x2 1
, ,2- , , , + y, ,- , , (x+ y)，
x+2 m 5a 5 3-2x x 4 3 y-1 x π
整式{ _______…}；
分式{________…}．
a+3b m-n 1 x+1 m-3 b 4 1
【答案】 ， ， (x+ y) ， ，2- ， ， + y，
5 4 π x+2 m 5a 3-2x x2 2x2
- ，
3 y-1 x
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
a+3b m-n 1
【详解】解： ， ， (x+ y)的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
5 4 π
x+1 m-3 b 4 1 2 2x2
， ，2- ， ， + y，- ， 的分母中含有字母，因此是分式．
x+2 m 5a 3-2x x 3 y-1 x
a+3b m-n 1 x+1 m-3 b 4 1 2 2x2
故答案为： ， ， (x+ y)； ， ，2- ， ， + y，- ， ．
5 4 π x+2 m 5a 3-2x x 3 y-1 x
【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦
A
即从形式上看是 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要
B
化简.
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2024·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
a-1 a+1 1 1
A． B． C． D．
a2+1 a2 a2-1 a+1
【答案】A
【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求a是否存在即可．
【详解】解：A、分母a2+1≥1故选项正确，符合题意；
B、当a=0，分母a2为零，故选项错误，不符合题意；
C、当a=±1，分母a2-1为零故选项错误，不符合题意；
D、当a=-1，分母a+1为零故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况．
x-b
【变式2-1】（2024·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式 没有意义，则b的值为（ ）
x+2b
3 3
A．-3 B．- C． D．3
2 2
【答案】B
x-b
【分析】先将x=3代入分式 ，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
x+2b
x-b 3-b
【详解】解：当x=3， = ，
x+2b 3+2b3-b
∵分式 没有意义，
3+2b
∴3+2b=0，
3
∴b=- ，
2
故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
x-3
【变式2-2】（2024·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式 有意义，那么x的取值范
x2+6x+9
围是（ ）
A．x≠3 B．x≠3且x≠-3 C．x≠0且x≠-3 D．x≠-3
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：∵x2+6x+9≠0，
∴（x+3）2≠0，
∴x+3≠0，
∴x≠-3，
x-3
∴分式 有意义，x的取值范围x≠-3，
x2+6x+9
故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
【变式2-3】（2024·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意
义 __________________．
1
【答案】
x2+1
【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可．
【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0，
∴x2+1≠0，
1
∴ 是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
x2+1
1
故答案为： （答案不唯一）．
x2+1
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零．
【题型3 分式值为零的条件】
m+2
【例3】（2024·广东茂名·八年级期末）若分式 的值为零，则m=______．
(m-2)(m+3)
【答案】-2
【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值．
【详解】解：根据题意，得
m+2=0，且m-2≠0、m+3≠0；
解得m=-2；
故答案是：-2．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母
不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．
x2-1
【变式3-1】（2024·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式 的值为零，则x的值为________．
1-x
【答案】x=-1
【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，即可得到答案．
【详解】解；根据分式的值为零的条件得：x2-1=0，且1-x≠0，
解得：x=-1，
故答案为：x=-1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
x- y
【变式3-2】（2024·江苏无锡·八年级期末）分式 的值为0，则x、y满足的条件为______．
x+1
【答案】x= y且x≠-1
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案．
x- y
【详解】解：∵ =0，
x+1
∴¿，
解得x= y且x≠-1．
故答案为：x= y且x≠-1．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．
|x-2|-1
【变式3-3】（2024·山东菏泽·八年级期末）若分式 的值为0，则x的值为 _____．
x2-6x+9
【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值．
|x-2|-1
【详解】解：∵分式 的值为0，
x2-6x+9
∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，
解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，
则x﹣2＝﹣1．则x＝1
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件．
【题型4 分式的求值】
x y z xy-x2
【例4】（2024·辽宁大连·八年级期末）已知 = = ，则 =_____．
2 3 4 yz
1
【答案】
6
x y z
【分析】设 = = =k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
2 3 4
x y z
【详解】设 = = =k，根据题意有，k≠0，
2 3 4
则有x=2k，y=3k，z=4k，
xy-x2 (2k)(3k)-(2k) 2 6k2-4k2 1
即 = = = ，
yz (3k)(4k) 12k2 6
1
故答案为： ．
6
x y z
【点睛】本题考查为了分式的求值，设 = = =k是解答本题的关键．
2 3 4
a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d
【变式4-1】（2024·山东泰安·八年级期末）已知 = = = =m，则m的值
d c b a
______．
【答案】为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出
3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，
b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．
a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d
【详解】∵ = = = =m，
d c b a∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分
式值的意义及满足条件．
x 1 x2
【变式4-2】（2024·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知 = ，求 的值．
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知，x≠0，所以 =3，即x+ =3.
x2+1 3 x x
所以 x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 -2=32-2=7.所以 x2 = 1 .
x2 x2 x x4+1 7
该题的解法叫做“倒数法”．
x 1
=
已知：
x2-3x+1 5
x2 1
请你利用“倒数法”求
的值．求2x2-8x+
的值．
x4+x2+1 x2
x2 1 1
【答案】 = ；2x2-8x+ =61
x4+x2+1 63 x2
x2 1
【分析】计算所求式子的倒数，再将
代入可得结论；将2x2-8x+
进行变形后代入即可.
x4+x2+1 x2
x 1
=
【详解】解：∵ ，且x≠0，
x2-3x+1 5x2-3x+1
∴ =5，
x
1
∴x+ -3=5，
x
1
∴x+ =8，
x
∴ x4+x2+1 =x2+ 1 +1= ( x+ 1) 2 -1=63，
x2 x2 x
x2 1
∴ =
x4+x2+1 63
1
∵x+ =8
x
∴x2-8x=-1
∴2x2-8x+ 1 =x2+ 1 +x2-8x= ( x+ 1) 2 -2-1=64-2-1=61
x2 x2 x
【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题
属于基础题型．
xy+ yz+zx
【变式4-3】（2024·福建·九年级专题练习）若2x- y+4z=0，4x+3 y-2z=0．则 的值为
x2+ y2+z2
______
1
【答案】-
6
【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化
简便可求出.
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式xy+ yz+zx
x2+ y2+z2
x·(-2x)+(-2x)·(-x)+(-x)·x
=
x2+(-2x) 2+(-x) 2
-2x2+2x2-x2
=
x2+4x2+x2
-x2
=
6x2
1
-
=
6
1
故答案为：-
6
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要
学会灵活化简.
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】
x+4
【例5】（2024·全国·八年级专题练习）已知分式 的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
x2
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
x+4
【分析】若 的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取
x2
值范围．
x+4
【详解】解：∵ ＞0，
x2
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
a a
【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式 （b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式
b b
（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．x2+1
【变式5-1】（2024·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式 的值为负的条件是
1-3x
（ ）
1 1
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
3 3
【答案】C
【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】∵x2+1≥0
∴若使分式的值为负，则1-3x<0
1
解得x＞
3
1
故答案为x＞ ．
3
【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异
号．
x+1
【变式5-2】（2024·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式 的值大于零，则 x 的取值范围是
(x-1) 2
_______________
【答案】x＞-1
【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.
【详解】∵(x-1) 2≥0
而x-1≠0
∴(x-1) 2 ≻0
x+1
∵分式 的值大于零
(x-1) 2
∴x+1＞0
x＞-1
故答案为：x＞-1
【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.
|x|-2
【变式5-3】（2024·全国·八年级单元测试）若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）.
3x-22 2
A． 或x<-2
3 3
2 2
C．-20,S = ,S =-S -1,S = ,S =S -1,S =
1 a 2 1 3 S 4 3 5 S
2 41
，·……，(即当n为大于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =-S -1），按此规律，S =
n S n n-1 2020
n-1
_______________________．
1
【答案】-
a+1
【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020＝336×6+4，即可得出S ＝S，此题得解．
2020 4
1
【详解】解：S＝ ，
1 a
1 1+a
S＝﹣S﹣1＝﹣ ﹣1＝﹣ ，
2 1 a a
1 a
S＝ ＝﹣ ，
3 S a+1
2
a 1
S＝﹣S﹣1＝ ﹣1＝﹣ ，
4 3 a+1 a+1
1
S＝ ＝﹣（a+1），
5 S
4
S＝﹣S﹣1＝（a+1）﹣1＝a，
6 5
1 1
S＝ ＝ ，
7 S a
6
…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2020＝336×6+4，
1
∴S ＝S＝﹣
2020 4 a+1
1
故答案为：﹣
a+1
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。
【题型8 分式的基本性质】
【例8】（2024·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）-x- y x- y a2-b2
A． ＝ B． ＝a+b
-x+ y x+ y (a-b) 2
a2-b2 x-1 1
C． ＝a-b D． ＝-
(a-b) 2 1-x2 x+1
【答案】D
【分析】根据分式的性质，因式分解，约分化简判断即可．
-x- y -(x+ y) x+ y
【详解】因为 = = ，
-x+ y -(x- y) x- y
所以A错误；
a2-b2 (a+b)(a-b) a+b
因为 = = ，
(a-b) 2 (a-b) 2 a-b
所以B、C都错误；
x-1 x-1 -(1-x) 1
因为 = = =- ，
1-x2 (1-x)(1+x) (1-x)(1+x) 1+x
所以D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，约分化简，因式分解，熟练掌握分式的基本性质，约分的技能，因
式分解的能力是解题的关键．
x 0.5+0.01x
【变式8-1】（2024·全国·八年级专题练习）将 - =1的分母化为整数，得（ ）
0.2 0.03
x 0.5+0.01x 50+x
A． - =1 B．5x- =100
2 3 3
x 0.5+0.01x 50+x
C． - =100 D．5x- =1
20 3 3
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
x 0.5+0.01x 50+x
【详解】解：将 - =1的分母化为整数，可得5x- =1．
0.2 0.03 3
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
x- y
【变式8-2】（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式 （xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的
axy3倍，那么分式的值（ ）
1 1
A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．不变 D．变为原来的
3 9
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
3x-3 y 1 x- y
【详解】解：由题意得： ＝ ⋅ ，
a⋅3x⋅3 y 3 axy
x- y 1
∴若把分式 （xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的 ，
axy 3
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2-3x2+x
【变式8-3】（2024·山东·八年级课时练习）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数
-5x3+2x-3
为正数，正确的是（）
3x2+x+2 3x2-x+2 3x2+x-2 3x2-x-2
A． B． C． D．
5x3+2x-3 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3
【答案】D
【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．
【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母
-(3x2-x-2) 3x2-x-2
的符号可得原式= = ．
-(5x3-2x+3) 5x3-2x+3
故选D．
【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分
母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．
【题型9 约分与通分】
【例9】（2024·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
x+1 1
A． 约分的结果是
x2-1 x
1 1
B．分式 与 的最简公分母是x﹣1
x2-1 x-12x
C． 约分的结果是1
x2
x2 1
D．化简 ﹣ 的结果是1
x2-1 x2-1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分
式减法法则计算，即可判断D．
x+1 1
【详解】解：A、 ＝ ，故本选项错误；
x2-1 x-1
1 1
B、分式 与 的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
x2-1 x-1
2x 2
C、 ＝ ，故本选项错误；
x2 x
x2 1
D、 ﹣ ＝1，故本选项正确；
x2-1 x2-1
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.
2 3 a
【变式9-1】（2024·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式 ， ， 的最简公分
a2+ab ab+b2 a2-ab-2b2
母是_____________________
【答案】ab(a+b)(a-2b)
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同
它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即
可求出答案．
2 3 a
【详解】解：分式 ， ， 的分母依次为：a2+ab=a(a+b)，ab+b2=b(a+b)，
a2+ab ab+b2 a2-ab-2b2
a2-ab-2b2=(a+b)(a-2b)
故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)
故答案为：ab(a+b)(a-2b)
【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母
的方法一定要掌握．【变式9-2】（2024·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式
12x5 y2z4
(1)
-18x3z7
m2-3m
(2)
9-m2
a2+ab
(3)
a2+2ab+b2
(b-a) 2
(4)
2(a-b)
2x2y2
【答案】(1) -
3z3
m
(2)-
m+3
a
(3)
a+b
a-b
(4)
2
【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可；
（2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可.
（1）
12x5y2z4 6x3z4 ⋅2x2y2
解： = -
-18x3z7 6x3z4 ⋅3z3
2x2y2
=- ；
3z3
（2）m2-3m m(m-3)
解： =
9-m2 -(m+3)(m-3)
m
=- ；
m+3
（3）
a2+ab a(a+b)
解： ＝
a2+2ab+b2 (a+b) 2
a
= ；
a+b
（4）
(b-a) 2 (a-b) 2
解： =
2(a-b) 2(a-b)
a-b
= ．
2
【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，
再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【变式9-3】（2024·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分．
1 2
（1） 和
2ab3 5a2b2c
a b
（2） 和
2xy 3x2
3c a
（3） 和
2ab2 8bc2
1 1
（4） 和
y-1 y+1
5ac 4b 3ax 2by 12c3 a2b y+1
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4） ，
10a2b3c 10a2b3c 6x2y 6x2y 8ab2c2 8ab2c2 y2-1
y-1
．
y2-1
【分析】解答此题的关键是求出公分母，再通分．
（1）两式的最简公分母为10a2b3c；（2）两式的最简公分母为6x2y；
（3）两式的最简公分母为8ab2c2；
（4）两式的最简公分母为y2-1.
【详解】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
1 1×5ac 5ac
故 = = ，
2ab3 2ab3 ⋅5ac 10a2b3c
2 2×2b 4b
= = ；
5a2b2c 5a2b2c⋅2b 10a2b3c
（2）两式的最简公分母为6x2y，
a a⋅3x 3ax
故 = = ，
2xy 2xy⋅3x 6x2y
b b⋅2y 2by
= = ，
3x2 3x2 ⋅2y 6x2y
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
3c 3c⋅4c2 12c3
故 = =
2ab2 2ab2 ⋅4c2 8ab2c2
a a⋅ab a2b
= = ，
8bc2 8bc2 ⋅ab 8ab2c2
（4）两式的最简公分母为y2-1，
1 y+1
=
故 ，
y-1 y2-1
1 y-1
=
．
y+1 y2-1
【点睛】解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
【题型10 运用分式的基本性质求值】
【例10】（2024·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则
a b c
+ + 的值为（ ）
ab+a+1 bc+b+1 ac+c+1
A．2 B．3 C．－1 D．1
【答案】D
ac b c
【分析】根据分式的基本性质，将原式化为 + + ，从而得到
abc+ac+c bc+b+1 ac+c+1ac b c b ac+c
+ + ，进而得到 + ，再次利用分式的基本性质变形，即可
1+ac+c bc+b+1 ac+c+1 bc+b+1 ac+c+1
求解．
【详解】解：∵abc=1，
a b c
∴ + +
ab+a+1 bc+b+1 ac+c+1
ac b c
= + +
abc+ac+c bc+b+1 ac+c+1
ac b c
= + +
1+ac+c bc+b+1 ac+c+1
b ac+c
= +
bc+b+1 ac+c+1
b abc+bc
= +
bc+b+1 abc+bc+b
b bc+1
= +
bc+b+1 bc+b+1
bc+b+1
=
bc+b+1
=1 ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
1 1 x- y+xy
【变式10-1】（2024·江苏无锡·八年级期中）已知 - =2， = ________．
x y 2xy-3x+3 y
1
【答案】-
##-0.125
8
1 1 x- y+xy
【分析】根据 - =2得出y-x=2xy，然后将 进行变形，求值即可．
x y 2xy-3x+3 y
1 1
【详解】解：∵ - =2，
x y
∴y-x=2xy，
x- y+xy -(y-x)+xy
=
2xy-3x+3 y 2xy+3(y-x)
-2xy+xy
=
2xy+3×2xy
-xy
=
8xy1
=-
8
1
故答案为：- ．
8
1 1 x- y+xy
【点睛】本题主要考查了代数式求值，由 - =2得出y-x=2xy，将 变形为
x y 2xy-3x+3 y
-(y-x)+xy
，是解题的关键．
2xy+3(y-x)
ab bc 1 ac 1
【变式10-2】（2024·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且 =1， = ， = ，
a+b b+c 2 a+c 3
abc
那么 的值是多少？
ab+bc+ca
abc 1
【答案】 =
bc+ac+ab 3
ab a+b 1 1 1 1 1 1
【分析】根据 =1，得出 =1，也即 + =1，同理可得出 + =2， + =3，继而得出
a+b ab a b b c c a
1 1 1 bc+ac+ab abc 1
+ + =3，通分可得到 =3，倒过来即是 =
.
a b c abc bc+ac+ab 3
ab a+b bc 1 b+c ac 1 a+c 1 1
【详解】∵ =1，∴ =1，∵ = ，∴ =2，∵ = ，∴ =3，∴ + =1，
a+b ab b+c 2 bc a+c 3 ac a b
1 1 1 1 1 1 1 bc+ac+ab abc 1
+ =2， + =3，∴ + + =3，∴ =3，∴ =
.
b c c a a b c abc bc+ac+ab 3
【点睛】本题属于拔高题，考查多项式的通分与求解运算，需要熟练运用倒数的关系.
bcdef 1 acdef 1
【变式10-3】（2024·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数， = ， = ，
a 2 b 4
abdef 1 abcef abcdf abcde
= ， =2， =4， =8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=________．
c 8 d e f
119
【答案】
8
【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．
bcdef 1 acdef 1 abdef 1 abcef abcdf abcde
【详解】解：由 = ， = ， = ， =2， =4， =8，可将每个等
a 2 b 4 c 8 d e f
式的左右两边相乘得：(abcdef) 5
=1，
abcdef
∴abcdef =1，
bcdef⋅a 1 1
= =
，
a⋅a a2 2
∴a2=2，
1 1 1
同理可得：b2=4，c2=8，d2= ，e2= ，f2=
，
2 4 8
119
∴a2+b2+c2+d2+e2+f2=
；
8
119
故答案为 ．
8
【点睛】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．
