文档内容
第3课时 行程问题
教学目标
课题 第3课时 行程问题 授课人
1.能根据行程问题中的数量关系列出方程，加强模型观念。
素养目标 2.借助行程问题，体会画图分析数量关系是一种有效方法。
3.经历运用方程解决行程问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识。
教学重点 寻找行程问题中的等量关系，建立方程。
教学难点 画图分析行程问题中的数量关系。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：引用故 【故事导入】 【教学建议】
事，导入新课 指定学生代表回
设计意图 答，列出式子或者方
引用经典故事，激 程，并解释理由。
发学生的好奇心和
求知欲，引出本节
课要学习的主要内
容。
大家应该都听过龟兔赛跑的故事吧，假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟
爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉
了。乌龟出发多久后追上兔子？
这节课我们就来学习用一元一次方程解决此类行程问题。活动二：问题引 探究点 利用一元一次方程解决行程问题 【教学建议】
入，合作探究 1.追及问题 让学生交流讨论，
设计意图 问题 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min 指定学生代表回答问
通过直线形的追及 的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立 题，引导学生找出题目
问题，让学生学会 即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小 中的等量关系，画图分
画图分析行程问题 明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 析数量关系，根据相等
中的数量关系，培 （1）问题中有哪些已知量和未知量？ 量列出方程。教师酌情
养从中找等量关系 已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的 总结追及问题的相等
的能力，感受方程 时间；未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸 量：慢者先走的路程
模型对于解决行程 爸追小明的路程。 +慢者后走的路程=快者
问题的作用，加强 （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的 追慢者所走的路程，慢
模型观念与应用意 关系吗？ 者后走的路程所用的时
识。 如图所示。 间=快者追慢者所用的
时间。
小明先出发的路程+爸爸追小明期间小明所走的路程=爸爸追小明的路程。
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
设爸爸追上小明用了xmin。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如
图所示。
根 据 等 量 关 系 ， 可 列 出 方 程 ： 80×5+80x=180x 。
解这个方程，得x=4。
因此，爸爸追上小明用了4min，此时距离学校还有280m。
【对应训练】
小明和小刚步行的速度分别为4.5km/h和3.5km/h。他们分别从A，B两地
同时出发。如果相向而行，那么0.5h相遇；如果他们同向而行（小刚在前，小
明在后），那么小明追上小刚需要几小时？
解：设小明追上小刚需要xh。根据等量关系，可列出方程：
（4.5+3.5）×0.5+3.5x=4.5x。
解这个方程，得x=4。
因此，如果他们同向而行，那么小明追上小刚需要4h。
归纳总结：
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。
甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：
（1）对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程-乙的
行程=两出发地的距离；
（2）对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程=乙先
走的路程+乙后走的路程。
【教学建议】
设计意图 注意：同向而行注意始发时间和地点。 先让学生独立思
将前面的问题进行 考，指定学生代表回答
一些变式和延伸， 分析中提出的问题，上
2.环形跑道问题
让学生掌握环形跑 台画图说明，提醒学生
例 （教材P151例3）小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，
道问题中的相遇与 注意环形跑道、问题
小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。
追及情况，强化画 （2）中“反向跑”与
（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小
图分析数量关系的 “首次相遇”的意义，
明？
方法，培养学生从 教师酌情用多媒体进行
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两
问题中寻找隐含等 动态演示，让学生有直
人首次相遇？
量关系的能力，深 观的感受。
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题
刻感受方程模型对
（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？
于解决较复杂的行
程问题的作用。让学生归纳用一元一
次方程解决实际问
题的一般步骤，总
结找等量关系列方
程的经验，进一步
加强模型观念与应
用意识。
（1）小华的路程=小明1min的路程+小华追小明期间小明的路程；
（2）小华的路程+小华跑步期间小明的路程=跑道一圈的长-小明1min的
路程。
解：（1）设小华用了xmin追上小明，根据等量关系，可列出方程：
260+260x=300x。解这个方程，得x=6.5。
因此，小华用6.5min追上小明。
（2）设小华起跑后xmin两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：
260x+300x=400-260。解这个方程，得x=0.25。
因此，小华起跑后0.25min两人首次相遇。
归纳总结：
【教学建议】
环形跑道问题：设v ＞v ，环形跑道长sm，经过ts甲、乙第一次
甲 乙 让 学 生 交 流 讨
相遇。
论，指定学生代表回答
一般有如下两种情形：
问题，言之有理即可。
①同时同地同向而行：v t-v t=s。
甲 乙 教师可酌情回顾前面两
②同时同地背向而行：v t+v t=s。
甲 乙 个课时的内容，引导学
生进行归纳总结。
思考 （1）用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进
行交流。
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示。
【教学建议】
提醒学生：在环
形场地上同时同地同向
而行的首次相遇，应看
作追及问题，追赶的距
离即为环形场地的周
（2）回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方
长。此问题较复杂，教
程，你积累了哪些经验？
师酌情引导学生画图分
找到问题中包含的已知量与未知量，设其中一个未知量为x，可借助表格
析数量关系。
或画图分析问题中的数量关系，用含x的代数式表示出其他相关的量，关注相
等量，根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。
【对应训练】
甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的
2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m才跑完第一圈，求甲、乙
二人的速度及环形场地的周长。
解：设乙的速度为xm/min，则甲的速度为2.5xm/min。
根据等量关系，可列出方程：2.5x×4-4x=4x+300。
解这个方程，得x=150。
2.5×150=375，4×150+300=900。
因此，甲的速度为375m/min，乙的速度为150m/min，环形场地的周长为
900m。
活动三：知识延 例 《孙子算经》记载：“今有长木，不知长短，引绳度之，余绳若干， 【教学建议】
伸，巩固升华 让 学 生 交 流 讨
设计意图 屈绳度之，余绳二尺五寸，绳再屈量之，不足二尺五寸，木长几何？”大意 论，指定学生代表上台
借助不同形式的古 是：用一根绳子去度量一根长木，余绳较多，将绳子对折后去量，绳子还剩余 画图分析数量关系，列
代数学问题，强化 出方程，其他同学在纸
2.5尺，将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，木长多少尺？设木长x
画图分析数量关系 上列出方程，教师巡
的方法，培养学生 尺，则可列方程为A 堂，酌情指导。
从问题中寻找隐含
A.2（x+2.5）=4（x-2.5） B.2x-2.5=4（x-2.5）
等量关系的能力，
深刻感受方程模型 C.2x+2.5=4x-2.5 D.2（x+2.5）=4x-2.5
对于解决古代数学
【解析】如图，设木长x尺。
问题的作用。因为将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，
所以绳子长为2（x+2.5）尺。
因为将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，
所以绳子长为4（x-2.5）尺，
所以方程为2（x+2.5）=4（x-2.5）。故选A。
【对应训练】
教材P152随堂练习
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你会画图分析行程问题中的数量关系吗？
2.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
3.对于在实际问题中寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？
【知识结构】
活动四：课堂总结
【作业布置】
1.教材P155习题5.3第8，9题。
第3课时 行程问题
板书设计 1.行程问题：（1）画图分析数量关系；（2）列方程；（3）求解。
2.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤。
本节课首先借助故事情境引入，激发学生学习兴趣。接着通过不同形式的行程问题，让学生掌握画
图分析数量关系的方法，培养从行程问题中找等量关系列方程的能力。然后归纳总结用一元一次方程解
教学反思 决实际问题的一般步骤与经验，使学生进一步体会方程模型对于解决实际问题的作用，加强模型观念与
应用意识。整体而言，本节课学习了新知识，又对旧知识做了总结与回顾，其中环形跑道的问题学生不
太容易理解，教师要注意安排好时间。
解题大招行程问题中的顺逆航行问题
航行工具 等量关系
船 顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；逆水速度=船在静水中的速度-水流速度；
顺水速度-逆水速度=2×水流速度
飞机 顺风速度=飞机在无风时的速度+风速；逆风速度=飞机在无风时的速度-风速；
顺风速度-逆风速度=2×风速
例 一架飞机飞行在两城市之间，风速为24km/h，顺风飞行需要2h50min，逆风飞行需要3h。求两个
城市之间的飞行路程。
解法一（直接设未知数）：设两个城市之间的飞行路程为xkm，则顺风飞行的速度为 km/h，逆
风飞行的速度为 km/h。根据等量关系，列出方程： 。解这个方程，得x=2448。
因此，两个城市之间的飞行路程为2448km。解法二（间接设未知数）：设飞机在无风时的速度为xkm/h，则顺风飞行的速度为（x+24）km/h，逆
风飞行的速度为（x-24）km/h。根据等量关系，列出方程： 。解这个方程，得
x=840。
3×（840-24）=2448。
因此，两个城市之间的飞行路程为2448km。
培优点 行程问题中的分类讨论思想
例 A，B两地相距70km，甲从A地出发，每小时行15km，乙从B地出发，每小时行20km。
（1）若两人同时出发，相向而行，则经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发，相向而行，则几小时后两人相距10km？
分析：（1）设经过xh，甲、乙路程之和为70km即可求解；（2）注意分两人相遇前与相遇后两种情
况讨论，相遇前两人路程之和为（70-10）km，相遇后两人路程之和为（70+10）km。
解：（1）设经过xh两人相遇。根据等量关系，列出方程：15x+20x=70。解这个方程，得x=2。
因此，经过2h两人相遇。
（2）分两种情况讨论：
①当两人相遇前，设yh后两人相距10km。
根据等量关系，列出方程：15y+20y=70-10。解这个方程，得y= 。
②当两人相遇后，设zh后两人相距10km。
根据等量关系，列出方程：15z+20z=70+10。解这个方程，得z= 。
综上， h或 h后两人相距10km。
