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第 19 章 二次根式基础过关自测卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．若二次根式❑√x−2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x<2 C．x≥2 D．x>2
2．下列根式中，与❑√2是同类二次根式的是（）
√1
A．❑√0.2 B．❑√4 C．❑√12 D．❑
2
3．下列计算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．❑√2×❑√6=2❑√3
C． D．
❑√3+3=3❑√3 ❑√(−3) 2=−3
4．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为2❑√3，则相邻边长为（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．3❑√3 D．4❑√3
5．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时
间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足关系式Q=I2Rt．已知导线的电阻为
1Ω，2s时间导线产生100J的热量，则电流I等于（ ）
A．5A B．4❑√2A C．5❑√2A D．❑√10A
6．若y=❑√x−2024−❑√2024−x，则xy的值为（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．−1
7．计算
(❑√3−2) 2025 ⋅(❑√3+2) 2026
的结果是（ ）．
A．−1 B．❑√3−2 C．❑√3+2 D．−❑√3−2
8．按一定规律排列的实数：❑√2，2，❑√6，❑√8，❑√10，…，第200个数是（ ）
A．10 B．❑√200 C．20 D．❑√800
9．当 a>1 时，化简 ❑ √ (1 −a ) 2 − 1的结果是（ ）
a a
2 2
A．a B．−a C． −a D．a−
a a
1 1
10．对于正整数n，定义f (n)= ，例如：f (2)= ．则
❑√n+❑√n+1 ❑√2+❑√3f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2025)的值为()
A．❑√2025−1 B．❑√2026−1 C．❑√2025+1 D．❑√2026+1
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
√1
11．计算：❑ ×❑√8= ．
2
12．计算2❑√12+3❑√48的结果是 ．
13．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中
M代表的实数为 ．
3❑√22 ❑√3
1 6
M 3 ❑√2
❑√5−1
14．已知a= ，则4a2+4a+2025= ．
2
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）计算：
√49
(1)❑ −❑√9； (2)❑√(−3) 2−❑√(−5) 2+❑√81．
4
16．（8分）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，
其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单
√2h
位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式t=❑ （不
g
考虑风速的影响，g的值取10m/s2），已知小杰家所住楼层的高度是24m，假如一个
物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）．17．（8分）已知：a=❑√3−❑√2，b=❑√3+❑√2，分别求下列代数式的值：
(1)a2+2ab+b2
(2)a2b−ab2
18．（8分）先化简，再求值：( 2 ) m2−2m+1，其中 ．
1− ÷ m=❑√3−1
m+1 m−1
19．（8分）有个填写数字的游戏：在“□×□−□”中的每个□内，填入数字（可重复使
用），然后计算结果．
1
(1)若三个□内从左到右依次填入9， ，5，请你计算结果；
3
(2)若❑√3×❑√12−□=1，请推算□内的数字；
(3)若−2×□−7的结果是最大的负整数，请推算□内的数字．
20．（8分）阅读并解答：已知x=❑√5+2，求代数式x2−4x−7的值．
小熙根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：
(❑√a) 2=a
由 得 ，则 ，即 ， ，
x=❑√5+2 x−2=❑√5 (x−2) 2=5 x2−4x+4=5 ∴x2−4x=1
把x2−4x作为整体，得：x2−4x−7=1−7=−6．请运用上述方法解决下列问题：
1
已知x= ，求代数式−2x2+12x−8的值．
❑√10−321．（10分）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么
这两个代数式互为有理化因式，例如： ， ，
❑√5×❑√5=5 (❑√6−❑√2)(❑√6+❑√2)=6−2=4
我们称❑√5的一个有理化因式是❑√5，❑√6−❑√2的一个有理化因式是❑√6+❑√2．如果一个
代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
1 1×❑√5 ❑√5
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： = = ，
❑√5 ❑√5×❑√5 5
8 8(❑√6+❑√2) 8(❑√6+❑√2) ．
= = =2❑√6+2❑√2
❑√6−❑√2 (❑√6−❑√2)(❑√6+❑√2) 4
1
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知a= ，求
2+❑√3
2a2−8a+1的值．他是这样分析与解答的：
1 2−❑√3 ，
∵a= = =2−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a=2−❑√3，
∴(a−2) 2=3
∴a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，
．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)❑√13的有理化因式是______，❑√11−❑√5的有理化因式是______；（均写出一个即
可）
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋯+ ；
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2022+❑√20232
(3)若a= ，求3a2−6a+5的值．
❑√3−1
