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第 19 章 二次根式基础过关自测卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．若二次根式❑√x−2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x<2 C．x≥2 D．x>2
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非
负，得到不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵❑√x−2有意义，
∴x−2≥0，
∴x≥2．
故选：C．
2．下列根式中，与❑√2是同类二次根式的是（）
√1
A．❑√0.2 B．❑√4 C．❑√12 D．❑
2
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答．
√1 ❑√5
【详解】解：A、❑√0.2=❑ = ，与❑√2不是同类二次根式；
5 5
B、❑√4=2，与❑√2不是同类二次根式；
C、❑√12=2❑√3，与❑√2不是同类二次根式；
√1 ❑√2
D、❑ = ，与❑√2是同类二次根式．
2 2
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．❑√2×❑√6=2❑√3
C． D．
❑√3+3=3❑√3 ❑√(−3) 2=−3
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，需逐项验证
每个选项的正确性，再作判断．
【详解】解：❑√2+❑√3≠❑√2+3，故A错误．
❑√2×❑√6=❑√2×6=❑√12=❑√4×3=2❑√3，故B正确．
❑√3+3≠3❑√3，故C错误．
，故D错误．
❑√(−3) 2=❑√9=3≠−3
故选：B．
4．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为2❑√3，则相邻边长为（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．3❑√3 D．4❑√3
【答案】C
【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面
积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项．
根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长．
【详解】解：长方形面积=长×宽，已知面积为18，一条边长为2❑√3，则相邻边长=面
积÷已知边长，即计算：
9 9×❑√3 9❑√3
18÷2❑√3= = = =3❑√3．
❑√3 ❑√3×❑√3 3
故选：C．
5．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时
间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足关系式Q=I2Rt．已知导线的电阻为
1Ω，2s时间导线产生100J的热量，则电流I等于（ ）
A．5A B．4❑√2A C．5❑√2A D．❑√10A
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值．
【详解】解：已知焦耳定律公式Q=I2Rt，其中R=1Ω，t=2s，Q=100J，将这些值
代入公式求解电流：
√ Q √ 100
I=❑ =❑ =❑√50=5❑√2A．
Rt 1×2
故选：C．6．若y=❑√x−2024−❑√2024−x，则xy的值为（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．−1
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，零指数幂，根据二次根式的定义域确定x的
值，进而求出y的值，最后计算x的y次方．
{x−2024≥0)
【详解】解：根据题意得： ，
2024−x≥0
解得：x=2024
∴y=❑√2024−2024−❑√2024−2024=0，
∴xy=20240=1，
故选：B
7．计算
(❑√3−2) 2025 ⋅(❑√3+2) 2026
的结果是（ ）．
A．−1 B．❑√3−2 C．❑√3+2 D．−❑√3−2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观
察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为
(❑√3−2) (❑√3+2) −1
2025 计算即可．
[(❑√3−2)(❑√3+2)) ⋅(❑√3+2)
【详解】解：∵ ，
(❑√3−2)(❑√3+2)=(❑√3) 2 −22=3−4=−1
∴ (❑√3−2) 2025 ⋅(❑√3+2) 2026=[(❑√3−2)(❑√3+2)) 2025 ⋅(❑√3+2)=(−1) 2025 ⋅(❑√3+2)
=−❑√3−2．
故选：D．
8．按一定规律排列的实数：❑√2，2，❑√6，❑√8，❑√10，…，第200个数是（ ）
A．10 B．❑√200 C．20 D．❑√800
【答案】C
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是
序号的2倍，据此规律求解即可．
【详解】解：第一个数为❑√2，第二个数为2=❑√4，
第三个数为❑√6，
第四个数为❑√8，
……，
以此类推可知，
第n个数为❑√2n，
∴第200个数是❑√2×200=❑√400=20，
故选：C．
9．当 a>1 时，化简 ❑ √ (1 −a ) 2 − 1的结果是（ ）
a a
2 2
A．a B．−a C． −a D．a−
a a
【答案】D
1
【分析】本题考查了二次根式的性质．由a>1可知 −a<0，因此
a
√ (1 ) 2 |1 ) 1，代入原式，进行化简，即可作答．
❑ −a = −a =a−
a a a
【详解】解：∵a>1，
1
∴ <1<a，
a
1
∴ −a<0，
a
∴√ (1 ) 2 |1 ) (1 ) 1，
❑ −a = −a =− −a =a−
a a a a
∴√ (1 ) 2 1 ( 1) 1 2，
❑ −a − = a− − =a−
a a a a a
故选：D．
1 1
10．对于正整数n，定义f (n)= ，例如：f (2)= ．则
❑√n+❑√n+1 ❑√2+❑√3
f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2025)的值为()
A．❑√2025−1 B．❑√2026−1 C．❑√2025+1 D．❑√2026+1【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化
分母将f(n)化简为❑√n+1−❑√n，然后计算总和．
【详解】解：∵ 1 ❑√n−❑√n+1
f (n)= = =❑√n+1−❑√n
❑√n+❑√n+1 (❑√n+❑√n+1)(❑√n−❑√n+1)
∴f (1)+f (2)+⋯+f (2025)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+⋯+❑√2026−❑√2025
=❑√2026−1，
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
√1
11．计算：❑ ×❑√8= ．
2
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关
键．
根据二次根式的乘法法则，将两个根式相乘转化为根号下的乘法运算，即可解答．
√1 √1
【详解】解：❑ ×❑√8=❑ ×8=❑√4=2．
2 2
故答案为：2．
12．计算2❑√12+3❑√48的结果是 ．
【答案】
16❑√3
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是关键．
先将各二次根式化简，提取完全平方数，再合并同类二次根式．
【详解】解：2❑√12=2×❑√4×3=2×2❑√3=4❑√3，
3❑√48=3×❑√16×3=3×4❑√3=12❑√3，
所以 2❑√12+3❑√48=4❑√3+12❑√3=16❑√3，
故答案为：16❑√3．
13．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中
M代表的实数为 ．3❑√22 ❑√3
1 6
M 3 ❑√2
【答案】2❑√3
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，
列出方程3❑√2×2×❑√3=3❑√2×1×M，解出M即可．
【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即
3❑√2×2×❑√3=3❑√2×1×M，
∴M=2❑√3，
故答案为：2❑√3．
❑√5−1
14．已知a= ，则4a2+4a+2025= ．
2
【答案】
2029
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到2a+1=❑√5，
再通过平方运算求出4a2+4a的值，最后代入原式计算．
❑√5−1
【详解】解：∵a= ，
2
∴2a+1=❑√5．
∴ ，
(2a+1) 2=5
∴4a2+4a+1=5．
∴4a2+4a=4．
∴4a2+4a+2025=4+2025=2029．
故答案为：2029．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）计算：
√49
(1)❑ −❑√9； (2)❑√(−3) 2−❑√(−5) 2+❑√81．
41
【答案】(1)
2
(2)7
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，注意计算的
准确性即可；
（1）利用二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）利用二次根式的性质化简后再计算即可；
7
【详解】（1）解：原式= −3
2
1
=
2
（2）解：原式=|−3)−|−5)+9
=3−5+9
=7
16．（8分）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，
其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单
√2h
位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式t=❑ （不
g
考虑风速的影响，g的值取10m/s2），已知小杰家所住楼层的高度是24m，假如一个
物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）．
2
【答案】该物品落地的时间为 ❑√30秒．
5
【分析】本题考查二次根式的计算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将
已知条件代入所给公式进行计算，最终化为最简二次根式即可．
√2h
【详解】解：在t=❑ 中，
g
当h=24，g=10时，
√2×24 2
t=❑ = ❑√30 s，
10 5
2
答：该物品落地的时间为 ❑√30 s．
5
17．（8分）已知：a=❑√3−❑√2，b=❑√3+❑√2，分别求下列代数式的值：
(1)a2+2ab+b2(2)a2b−ab2
【答案】(1)12
(2)−2❑√2
【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，
解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式．
（1）利用完全平方公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵a=❑√3−❑√2，b=❑√3+❑√2，
∴a2+2ab+b2=(a+b) 2
=(❑√3−❑√2+❑√3+❑√2) 2
=(2❑√3) 2
=12；
（2）解：∵a=❑√3−❑√2，b=❑√3+❑√2，
∴ a2b−ab2
=ab(a−b)
=(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2−❑√3−❑√2)
=1×(−2❑√2)
=−2❑√2．
18．（8分）先化简，再求值：( 2 ) m2−2m+1，其中 ．
1− ÷ m=❑√3−1
m+1 m−1
1 ❑√3
【答案】 ，
m+1 3
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将
分子与分母分解因式，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进
行计算即可．
m+1−2 (m−1) 2
【详解】解：原式= ÷
m+1 m−1m−1 m−1
= ·
m+1 (m−1) 2
1
= ；
m+1
当m=❑√3−1时，
1 1 ❑√3
原式= = = ．
❑√3−1+1 ❑√3 3
19．（8分）有个填写数字的游戏：在“□×□−□”中的每个□内，填入数字（可重复使
用），然后计算结果．
1
(1)若三个□内从左到右依次填入9， ，5，请你计算结果；
3
(2)若❑√3×❑√12−□=1，请推算□内的数字；
(3)若−2×□−7的结果是最大的负整数，请推算□内的数字．
【答案】(1)−2
(2)5
(3)−3
【分析】（1）根据题意直接代入计算即可；
（2）根据二次根式乘法法则运算化简再计算即可；
（3）设y=−2×□−7，由题意可得y=−1，再代入计算即可．
1
【详解】（1）解：把三个□内从左到右依次填入9， ，5，
3
1
那么9× −5=3−5=−2；
3
（2）解：因为❑√3×❑√12−□=1
所以❑√36−□=1，即6−□=1，则□=5；
（3）解：设y=−2×□−7，由题意可得y=−1，
把y=−1代入y=−2×□−7，则−1=−2×□−7，
那么6=−2×□，
所以□=−3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算以及二次根式的乘法运算，解题的关键是掌
握有理数的混合运算顺序和二次根式的乘法运算．
20．（8分）阅读并解答：已知x=❑√5+2，求代数式x2−4x−7的值．
小熙根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：
(❑√a) 2=a由 得 ，则 ，即 ， ，
x=❑√5+2 x−2=❑√5 (x−2) 2=5 x2−4x+4=5 ∴x2−4x=1
把x2−4x作为整体，得：x2−4x−7=1−7=−6．请运用上述方法解决下列问题：
1
已知x= ，求代数式−2x2+12x−8的值．
❑√10−3
【答案】−10
【分析】本题考查了分母有理化、完全平方公式、求代数式的值，理解题意是解题的
关键．
根据分母有理化得到 1 ❑√10+3 ，再仿照题目的方法
x= = =❑√10+3
❑√10−3 (❑√10−3)(❑√10+3)
解决问题即可．
【详解】解： 1 ❑√10+3 ，
x= = =❑√10+3
❑√10−3 (❑√10−3)(❑√10+3)
得x−3=❑√10，
则 ，
(x−3) 2=10
即x2−6x+9=10，
∴x2−6x=1，
∴ ．
−2x2+12x−8=−2(x2−6x)−8=−2×1−8=−10
21．（10分）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么
这两个代数式互为有理化因式，例如： ， ，
❑√5×❑√5=5 (❑√6−❑√2)(❑√6+❑√2)=6−2=4
我们称❑√5的一个有理化因式是❑√5，❑√6−❑√2的一个有理化因式是❑√6+❑√2．如果一个
代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
1 1×❑√5 ❑√5
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： = = ，
❑√5 ❑√5×❑√5 5
8 8(❑√6+❑√2) 8(❑√6+❑√2) ．
= = =2❑√6+2❑√2
❑√6−❑√2 (❑√6−❑√2)(❑√6+❑√2) 41
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知a= ，求
2+❑√3
2a2−8a+1的值．他是这样分析与解答的：
1 2−❑√3 ，
∵a= = =2−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a=2−❑√3，
∴(a−2) 2=3
∴a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，
．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)❑√13的有理化因式是______，❑√11−❑√5的有理化因式是______；（均写出一个即
可）
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋯+ ；
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2022+❑√2023
2
(3)若a= ，求3a2−6a+5的值．
❑√3−1
【答案】(1)❑√13，❑√11+❑√5（答案不唯一）
(2)❑√2023−1
(3)11
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解，
（2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解，
（3）参照学习材料二的步骤即可求解，
本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行
分母有理化．
【详解】（1）解： ， ，
∵❑√13×❑√13=13 (❑√11−❑√5)(❑√11+❑√5)=6
故答案为：❑√13，❑√11+❑√5，
1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2022+❑√2023❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√2023−❑√2022
= + +⋯+
(1+❑√2)(❑√2−1) (❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2) (❑√2022+❑√2023)(❑√2023−❑√2022)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+⋯+❑√2023−❑√2022
=❑√2023−1，
故答案为：=❑√2023−1，
（3）解： 2 2(❑√3+1) ．
∵a= = =❑√3+1
❑√3−1 (❑√3−1)(❑√3+1)
∴a=❑√3+1
，
∴(a−1) 2=3
∴a2−2a+1=3，
∴a2−2a=2
，
∴3a2−6a+5=3(a2−2a)+5 =3×2+5 =11
故答案为：11．
