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第十九章 二次根式 知识清单
19.1 二次根式及其性质
一、基本概念/性质定理
1. 二次根式的定义：形如 ❑√a（其中 a≥0）的式子叫做二次根式。
￮ 核心要求：被开方数 a 必须非负（a≥0）；同时 ❑√a 本身的值也非负（❑√a≥0），即“双重非
负性”。
2. 核心性质：
￮ 性质1：(❑√a) 2=a（条件：a≥0）；
{ a (a≥0)
￮ 性质2：
❑√a2=|a|=
；
-a (a<0)
￮ 性质3：双重非负性：❑√a 中，a≥0 且 ❑√a≥0。
二、解题技巧/二级结论
• 利用“双重非负性”求字母的值：若式子中同时出现 ❑√x 和 ❑√-x，则 x 只能为0（因为 x≥0 且
-x≥0）。
三、易错点拨
1. 忽略“被开方数非负”：比如误认为 ❑√-2 是二次根式（实际 -2<0，不是二次根式）；
2. 混淆 (❑√a) 2 和 ❑√a2：比如错误计算 ❑√(-3) 2=-3（正确结果是 3）。
四、典型例题
例1：判断下列式子是否为二次根式：
① ❑√5；② ❑√-3；③ ❑√0；④ ❑√x2+1（x 为任意实数）。
解：① ❑√5：5≥0，是二次根式；
② ❑√-3：-3<0，不是二次根式；
③ ❑√0：0≥0，是二次根式；
④ ❑√x2+1：x2+1≥1>0，是二次根式。
例2：已知 ❑√x-2+❑√2-x= y，求 x+ y 的值。
解：由双重非负性，x-2≥0 且 2-x≥0，故 x=2；
代入得 y=0+0=0，因此 x+ y=2+0=2。
19.2 二次根式的乘法与除法
一、基本概念/性质定理
1. 乘法法则：
￮ ❑√a⋅❑√b=❑√ab（条件：a≥0，b≥0）；
￮ 逆用（化简）：❑√ab=❑√a⋅❑√b（条件：a≥0，b≥0）。
2. 除法法则：√a
￮ ❑√a÷❑√b=❑ （条件：a≥0，b>0）；
b
√a
￮ 逆用（化简）：❑ =❑√a÷❑√b（条件：a≥0，b>0）。
b
二、解题技巧/二级结论
• 化简二次根式的核心：将被开方数分解为“平方数×非平方数”，再利用逆用法则拆分（如
❑√12=❑√4×3=❑√4×❑√3=2❑√3）。
三、易错点拨
1. 忽略法则的条件：比如错误计算 ❑√-2×❑√-3（被开方数为负，不能直接用乘法法则）；
2. 结果未化成“最简二次根式”：最简二次根式需满足“被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或
因式”（如 ❑√8 不是最简，应化为 2❑√2）。
四、典型例题
例1：计算 ❑√2×❑√8。
解：由乘法法则：❑√2×❑√8=❑√2×8=❑√16=4。
√3
例2：化简 ❑ 。
4
√3 ❑√3 ❑√3
解：由除法法则：❑ = = 。
4 ❑√4 2
19.3 二次根式的加法与减法
一、基本概念/性质定理
1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称它们为同类二次根式（如
❑√2、3❑√2 是同类二次根式）。
2. 加减法法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并（合并方法：系数相加，
被开方数不变，类似“合并同类项”）。
二、解题技巧/二级结论
• 加减运算步骤：一化（化简最简）→ 二找（找同类）→ 三合并（合并系数）。
三、易错点拨
1. 未化简就直接合并：比如错误计算 ❑√2+❑√8=❑√10（正确：先化 ❑√8=2❑√2，再合并为 3❑√2）；
2. 混淆“同类二次根式”：被开方数不同的二次根式不能合并（如 ❑√2 和 ❑√3 不是同类，无法合并）。
四、典型例题
例：计算 ❑√12+❑√27-❑√3。
解：第一步（化最简）：❑√12=2❑√3，❑√27=3❑√3；
第二步（找同类）：2❑√3、3❑√3、-❑√3 是同类二次根式；
第三步（合并）：2❑√3+3❑√3-❑√3=(2+3-1)❑√3=4❑√3。
