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第 19 章 二次根式能力提升自测卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1.计算： （ ）
(❑√2+1)(❑√2−1)=
A．1 B．2 C．−1 D．3
2．下列计算正确的是（ ）
A．❑√12÷❑√6=2 B．2❑√3×❑√3=6 C．❑√8+❑√2=❑√10 D．2❑√6−❑√6=1
3．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为（ ）
|n−m)−❑√m2
A．n−2m B．−n−2m C．n D．−n
4．若a+❑√12=❑√27，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上
5．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，
老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完
成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现
错误的是 （ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
❑√b2+❑√(a+b) 2−|b−a)
A．2a+b B．−2a−b C．−b D．b1 ❑√6
7．已知❑√a−3+❑√2−b=0，则 + 的值为（
❑√a ❑√b
4
A． ❑√3 B．−2 C．3 D．❑√3+1
3
8.为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长
方形公园．已知正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为：250m2，90m2，则该公
园的总面积为（ ）
A．390m2 B．400m2 C．410m2 D．420m2
9．已知等式√5−x ❑√5−x成立，化简 的结果为（ ）
❑ = |x−6) +❑√(x−2) 2
x−3 ❑√x−3
A．2x−8 B．8−2x C．−4 D．4
10．设 1 1 1 1 1 1 1 1 ，则
S =1+ + ,S =1+ + ,S =1+ + ,⋯,S =1+ +
1 12 22 2 22 32 3 32 42 n n2 (n+1) 2
的值为（ ）
❑√S +❑√S +❑√S +⋯+❑√S
1 2 3 10
1 11 10 10
A．10 B． C．10 D．11
11 10 11 11
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
√1
11．计算24×❑ 的结果是 ．
3
12．若2❑√3与最简二次根式❑√a+1是同类二次根式，则a的值为 ．
13．已知三角形三边长分别为 、 、 ，则化简代数式 的结果
3cm 5cm xcm |x−2)+❑√(x−8) 2
是 ．
14．设
M=(5+❑√24) 2
，N是M的小数部分，则
M(1−N)
的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）计算：(1) (3+❑√5)(3−❑√5)−(❑√3−1) 2 ； (2)(1) −1 +(❑√3−π) 0 −|1−❑√3)
2
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4❑√5，AD平分∠BAC交BC于点
D，求△ABC的面积．
17．（8分）求当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，下列代数式的值．
(1)x2−y2；
√ x √ y
(2)❑ +❑ ．
y x
18．（8分）求代数式 的值，其中 ．下图是小亮和小芳的解答过
m+❑√m2−2m+1 m=1012
程．
(1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________．(2)求代数式 的值，其中 ．
m−2❑√m2−6m+9+6 m=−2
19．（8分）像❑√4−2❑√3，❑√❑√48−❑√45，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二
次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
如： ；
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1=❑√ (❑√3) 2 −2❑√3×1+12=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1
．
❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2=❑√ (❑√3) 2+2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=❑√ (❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：❑√10+2❑√21；
(2)化简：❑√14−8❑√3．
20．（8分）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式
子也可以分母有理化，如：
1 (❑√2−1) ❑√2−1
= = =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 1
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1
1
爱思考的小名在解决问题：已知a= ，求2a2−8a+1的值．他是这样分析与解
2+❑√3
答的：
∵ 1 2−❑√3 ，
a= = =2−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)∴a−2=−❑√3．
∴ ，即 ．
(a−2) 2=3 a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1．
∴ ．
2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请根据小名的分析过程，解决如下问题：
1
(1)计算： =______；
❑√2−1
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋅⋅⋅+ =______；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
1
(3)若a= ，求3a2−12a−2的值．
❑√5−2
21．（10分）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵
x+ y−2❑√xy=(❑√x)+(❑√y) 2 −2❑√x⋅❑√y=(❑√x−❑√y) 2 ≥0
∴x+ y≥2❑√xy，当且仅当“x= y”时，等号成立．
4
例：已知x>0，求函数y=x+ 的最小值．
x
4
解∶令a=x，b= 则有a+b≥2❑√ab，
x
4 √ 4
得y=x+ ≥2❑ x⋅ =4
x x
4
当且仅当x= ，即x=2时，函数取到最小值，最小值为4．
x
根据以上信息回答下列问题．
3
(1)已知x>0，则函数y=3x+ 取到最小值，最小值为______，已知x>2，则
x
1
x+ 的最小值是______；
x−2x
(2)已知x>0，则自变量x取何值时，函数y= 取到最大值？最大值为多少？
x2−8x+28
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S =16，S =36，求四
ΔBOC ΔAOD
边形ABCD的面积的最小值．
