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第 19 章 二次根式能力提升自测卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1.计算： （ ）
(❑√2+1)(❑√2−1)=
A．1 B．2 C．−1 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算即可求解．
【详解】解： ，
(❑√2+1)(❑√2−1)=(❑√2) 2 −12=2−1=1
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．❑√12÷❑√6=2 B．2❑√3×❑√3=6 C．❑√8+❑√2=❑√10 D．2❑√6−❑√6=1
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和加减乘除运算法则求
解即可．
【详解】解：选项A：❑√12÷❑√6=❑√12÷6=❑√2，原计算错误，不符合题意；
选项B：2❑√3×❑√3=2×3=6，原计算正确，符合题意；
选项C：❑√8+❑√2=2❑√2+❑√2=3❑√2，原计算错误，不符合题意；
选项D：2❑√6−❑√6=❑√6，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为（ ）
|n−m)−❑√m2
A．n−2m B．−n−2m C．n D．−n
【答案】D
【分析】本题考查化简绝对值问题，先根据m、n在数轴上的位置判断出m、n的符号，
再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简求解即可．
【详解】解：∵由图可知，n<0，m>0，
∴
|n−m)−❑√m2=m−n−m
=−n．
故选：D．
4．若a+❑√12=❑√27，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算
出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．
【详解】解：∵a+❑√12=❑√27，即a=❑√27−❑√12，
∴a=❑√27−❑√12=3❑√3−2❑√3=❑√3，
∵❑√1<❑√3<❑√4，
∴1<❑√3<2，即1<a<2，
故实数a的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
5．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，
老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完
成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现
错误的是 （ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运
算法则．
利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可．
√ 1 1 √1
【详解】解：由❑√12÷3+❑ ÷3=❑√4+ ❑ 可得，小丽出现错误；
18 3 6√1 ❑√6
由❑√4+❑ =2+ 可得，小红出现错误；
6 6
故选：D．
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
❑√b2+❑√(a+b) 2−|b−a)
A．2a+b B．−2a−b C．−b D．b
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质
是解题的关键．先观察数轴得a<0，b>0，|a)<|b)，则a+b>0，b−a>0，再化简
，即可作答．
❑√b2+❑√(a+b) 2−|b−a)
【详解】解：由图知a<0，b>0，|a)<|b)，
∴a+b>0，b−a>0，
∴
❑√b2+❑√(a+b) 2−|b−a)
=|b)+|a+b)−|b−a)
=b+a+b−(b−a)
=b+a+b−b+a
=2a+b．
故选：A．
1 ❑√6
7．已知❑√a−3+❑√2−b=0，则 + 的值为（
❑√a ❑√b
4
A． ❑√3 B．−2 C．3 D．❑√3+1
3
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代
入代数式计算即可．
【详解】∵ ❑√a−3+❑√2−b=0，
∴a−3=0，2−b=0，
解得a=3，b=2，1 ❑√6 1 ❑√6 ❑√3 4❑√3
∴ + = + = +❑√3= ，
❑√a ❑√b ❑√3 ❑√2 3 3
故选：A．
8.为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长
方形公园．已知正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为：250m2，90m2，则该公
园的总面积为（ ）
A．390m2 B．400m2 C．410m2 D．420m2
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形ABFE
和正方形GFCH的边长，进而得出长方形ABCD的长和宽，最终可求得总面积．
【详解】解：根据题意可知，正方形ABFE的边长为❑√250=5❑√10m，
正方形GFCH的边长为❑√90=3❑√10m，
∴长方形ABCD的长为5❑√10+3❑√10=8❑√10(m)，宽为5❑√10m，
∴ ，
S =8❑√10×5❑√10=400(m2)
长方形ABCD
故选：B．
9．已知等式√5−x ❑√5−x成立，化简 的结果为（ ）
❑ = |x−6) +❑√(x−2) 2
x−3 ❑√x−3
A．2x−8 B．8−2x C．−4 D．4
【答案】D
【分析】先根据二次根式的除法法则确定x的取值范围，再利用绝对值和二次根式的
性质化简式子．
【详解】解：根据二次根式的除法法则❑√a √a ，由等式
=❑ (a≥0，b>0)
❑√b b√5−x ❑√5−x成立，可得：
❑ =
x−3 ❑√x−3
{5−x≥0)
，解得：3<x≤5．
x−3>0
化简 ：
|x−6) +❑√(x−2) 2
①|x−6)：
∵x≤5，
∴x−6<0，故|x−6)=6−x．
②
❑√(x−2) 2
∵x>3，
∴ ．
❑√(x−2) 2=x−2
∴ ．
|x−6) +❑√(x−2) 2=(6−x)+(x−2)=4
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先
根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再结合性质化简式子．
10．设 1 1 1 1 1 1 1 1 ，则
S =1+ + ,S =1+ + ,S =1+ + ,⋯,S =1+ +
1 12 22 2 22 32 3 32 42 n n2 (n+1) 2
的值为（ ）
❑√S +❑√S +❑√S +⋯+❑√S
1 2 3 10
1 11 10 10
A．10 B． C．10 D．11
11 10 11 11
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．
1 1
通过计算总结归纳出规律❑√S =1+ − ，再根据规律计算求解即可．
n n n+1
【详解】解： 1 1 9 (3) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ，
∵S =1+ + = = = 1+ = 1+1−
1 12 22 4 2 2 21 1 49 (7) 2 ( 1) 2 ( 1 1) 2 ，
S =1+ + = = = 1+ = 1+ −
2 22 32 36 6 6 2 3
1 1 (13) 2 ( 1 ) 2 ( 1 1) 2 ，
S =1+ + = = 1+ = 1+ −
3 32 42 12 12 3 4
…，
2
1 1 [ 1 1 ) ，
∴S =1+ + = 1+ −
n n2 (n+1) 2 n n+1
1 1
∵1+ − >0，
n n+1
1 1
∴❑√S =1+ − ，
n n n+1
∴❑√S +❑√S +❑√S +⋯+❑√S
1 2 3 10
1 1 1 1 1 1 1 1 10
=1+1− +1+ − +1+ − +⋯+1+ − =11− =10 ，
2 2 3 3 4 10 11 11 11
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
√1
11．计算24×❑ 的结果是 ．
3
【答案】8❑√3
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，二次根式的性质．先根据二次根式的性质化
简，再运算乘法，即可作答．
√1 ❑√3
【详解】解：24×❑ =24× =8❑√3，
3 3
故答案为：8❑√3．
12．若2❑√3与最简二次根式❑√a+1是同类二次根式，则a的值为 ．
【答案】
2
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题
的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解．
【详解】解：∵2❑√3 与最简二次根式❑√a+1是同类二次根式，
∴a+1=3，解得a=2
故答案为：2．
13．已知三角形三边长分别为 、 、 ，则化简代数式 的结果
3cm 5cm xcm |x−2)+❑√(x−8) 2
是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边
关系确定x的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：∵三角形三边长分别为3cm、5cm、xcm，
∴ 5−3<x<5+3，即2<x<8，
∴|x−2)+❑√(x−8) 2
=|x−2)+|x−8)
=x−2+8−x
=6，
故答案为：6．
14．设
M=(5+❑√24) 2
，N是M的小数部分，则
M(1−N)
的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式的运算，先求得M=49+20❑√6，再估算M的取值范围，
求得N，再代入代数式进行计算即可．掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】解： ，
M=(5+❑√24) 2=25+10❑√24+24=49+20❑√6
∵20❑√6=❑√2400，且❑√2304<❑√2400<❑√2401
∴48<20❑√6<49，则97<49+20❑√6<98
∵N是M的小数部分，
∴N=49+20❑√6−97=20❑√6−48，
则
M(1−N)=(49+20❑√6)[1−(20❑√6−48))
=(49+20❑√6)(49−20❑√6)
=492−(20❑√6) 2
=2401−2400=1，
故答案为：1．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）计算：
(1) (3+❑√5)(3−❑√5)−(❑√3−1) 2 ； (2)(1) −1 +(❑√3−π) 0 −|1−❑√3)
2
【答案】(1)2❑√3
(2)4−❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先根据乘法公式计算，再计算加减即可；
（2）先计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
(3+❑√5)(3−❑√5)−(❑√3−1) 2
=9−5−(3+1−2❑√3)
=9−5−3−1+2❑√3
=2❑√3
（2）解：(1) −1
+(❑√3−π) 0 −|1−❑√3)
2
=2+1−(❑√3−1)
=2+1−❑√3+1
=4−❑√3
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4❑√5，AD平分∠BAC交BC于点
D，求△ABC的面积．
【答案】10
【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据三线合一结合勾股定理求出AD的长，
再利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵AB=AC=5，BC=4❑√5，AD平分∠BAC交BC于点D，
1
∴AD⊥BC,BD=CD= BC=2❑√5，
2
∴ ，
AD=❑√AB2−BD2=❑√5
1 1
∴△ABC的面积为 BC⋅AD= ×4❑√5×❑√5=10．
2 2
17．（8分）求当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，下列代数式的值．
(1)x2−y2；
√ x √ y
(2)❑ +❑ ．
y x
【答案】(1)24❑√3；
4❑√33
(2) ．
11
【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值，掌握
知识点的应用是解题的关键．
（1）先求出 x−y=2❑√3， x+ y=12 ，然后把x2−y2化为(x−y)(x+ y)，再代入
求解即可；
√ x √ y x+ y
（2）先求出x+ y=12， xy=33，然后把❑ +❑ 化为 ，再代入求解即可．
y x ❑√xy
【详解】（1）解：∵x=6+❑√3，y=6−❑√3，
∴ ， ，
x−y=(6+❑√3)−(6−❑√3)=2❑√3 x+ y=(6+❑√3)+(6−❑√3)=12
∴ ；
x2−y2=(x−y)(x+ y)=2❑√3×12=24❑√3
（2）解：∵x=6+❑√3，y=6−❑√3，
∴ ， ，
x+ y=12 xy=(6+❑√3)(6−❑√3)=36−3=33
∴√ x √ y x+ y 12 12❑√33 4❑√33．
❑ +❑ = = = =
y x ❑√xy ❑√33 33 11
18．（8分）求代数式 的值，其中 ．下图是小亮和小芳的解答过
m+❑√m2−2m+1 m=1012
程．(1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________．
(2)求代数式 的值，其中 ．
m−2❑√m2−6m+9+6 m=−2
【答案】(1)小亮 因式分解错误
(2)−6
【分析】（1）需根据二次根式的性质 ，结合 的取值判断绝对值内式子的正
❑√x2=|x) m
负，分析小亮和小芳的解法；
（2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入m的值计算．
【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，
错误的原因是：对 化简时，错误地将 变形为 （实际应
❑√m2−2m+1 m2−2m+1 (m+1) 2
为 ），且未正确利用 的性质判断符号．
(m−1) 2 ❑√x2=|x)
（2）解：原式 ．
=m−2❑√m2−6m+9+6=m−2❑√(m−3) 2+6
根据二次根式性质 ，已知 ，则 ，故：
❑√x2=|x) m=−2 m−3=−2−3=−5<0
❑√(m−3) 2=|m−3)=3−m
代入化简：
原式=m−2(3−m)+6=m−6+2m+6=3m．
将m=−2代入，
解得：3×(−2)=−6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再
结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简．
19．（8分）像❑√4−2❑√3，❑√❑√48−❑√45，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二
次根式可以借助构造完全平方式进行化简．如： ；
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1=❑√ (❑√3) 2 −2❑√3×1+12=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1
．
❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2=❑√ (❑√3) 2+2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=❑√ (❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：❑√10+2❑√21；
(2)化简：❑√14−8❑√3．
【答案】(1)❑√3+❑√7
(2)2❑√2−❑√6
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据定义化成完全平方式的形式即可；
（2）根据定义化成完全平方式的形式即可．
【详解】（1）解：原式=❑√3+7+2❑√3×❑√7
=❑√(❑√3) 2+2❑√3×❑√7+(❑√7) 2
=❑√(❑√3+❑√7) 2
=❑√3+❑√7；
（2）解：原式=❑√14−2❑√48
=❑√6+8−2❑√6×❑√8
=❑√(❑√8) 2 −2❑√8×❑√6+(❑√6) 2
=❑√(❑√8−❑√6) 2
=2❑√2−❑√6；
20．（8分）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式
子也可以分母有理化，如：
1 (❑√2−1) ❑√2−1
= = =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 11 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1
1
爱思考的小名在解决问题：已知a= ，求2a2−8a+1的值．他是这样分析与解
2+❑√3
答的：
∵ 1 2−❑√3 ，
a= = =2−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3．
∴ ，即 ．
(a−2) 2=3 a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1．
∴ ．
2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请根据小名的分析过程，解决如下问题：
1
(1)计算： =______；
❑√2−1
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋅⋅⋅+ =______；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
1
(3)若a= ，求3a2−12a−2的值．
❑√5−2
【答案】(1)❑√2+1
(2)9
(3)1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值；
（1）通过分母有理化，将分母乘以 后化简．
(❑√2+1)
（2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消．
（3）先将a分母有理化得到a=❑√5+2，然后通过变形a−2=❑√5，平方后得到
a2−4a=1，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可．
【详解】（1）解： 1 ❑√2+1 ，
= =❑√2+1
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
故答案为：❑√2+1；1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√100−❑√99
= + +⋯+
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√100−❑√99
=❑√100−1
=9，
故答案为：9；
（3）解：∵ 1 ❑√5+2 ，
a= = =❑√5+2
❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2)
∴a−2=❑√5，
∴ ，则 ，即 ，
(a−2) 2=5 a2−4a+4=5 a2−4a=1
∴ ．
3a2−12a−2=3(a2−4a)−2=3×1−2=1
21．（10分）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵
x+ y−2❑√xy=(❑√x)+(❑√y) 2 −2❑√x⋅❑√y=(❑√x−❑√y) 2 ≥0
∴x+ y≥2❑√xy，当且仅当“x= y”时，等号成立．
4
例：已知x>0，求函数y=x+ 的最小值．
x
4
解∶令a=x，b= 则有a+b≥2❑√ab，
x
4 √ 4
得y=x+ ≥2❑ x⋅ =4
x x
4
当且仅当x= ，即x=2时，函数取到最小值，最小值为4．
x
根据以上信息回答下列问题．
3
(1)已知x>0，则函数y=3x+ 取到最小值，最小值为______，已知x>2，则
x
1
x+ 的最小值是______；
x−2x
(2)已知x>0，则自变量x取何值时，函数y= 取到最大值？最大值为多少？
x2−8x+28
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S =16，S =36，求四
ΔBOC ΔAOD
边形ABCD的面积的最小值．
【答案】(1)6，4
❑√7+2
(2)
12
(3)100
【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
√ 9
（1）根据材料提示得到y=a+b≥2❑√ab=2❑3x× =6，设
3x
1 1 √ 1
y=x+ =(x−2)+ +2≥2❑(x−2)⋅ +2=4，由此即可求解；
x−2 x−2 x−2
x 1 1
y= = =
（2）根据题意得到 x2−8x+28 28 28 ，则
x−8+ x+ −8
x x
28 √ 28 1 ❑√7+2
x+ ≥2❑ x⋅ =4❑√7，此时y有最大值，最大值为：y= = ，由此
x x 4❑√7−8 12
即可求解；
（3）设S = y,S =x，则S =16+36+x+ y，结合题意得到
△COD △AOB 四边形ABCD
S≥52+2❑√xy，所以此时BC∥AD，x= y=❑√16×36=24，由此即可求解．
3 9
【详解】（1）解：函数y=3x+ =3x+ ，
x 3x
9
令3x=a, =b，
3x
√ 9
∴y=a+b≥2❑√ab=2❑3x× =6，
3x
9 3
∴当且仅当3x= ，即x=1时，y=3x+ 取得最小值，最小值为6，
3x x1 1 √ 1
设y=x+ =(x−2)+ +2≥2❑(x−2)⋅ +2=4，
x−2 x−2 x−2
1 1
当且仅当x−2= ，即x=3时，x+ 的最小值是4，
x−2 x−2
故答案为：6，4．
x 1 1
y= = =
（2）解：∵ x2−8x+28 28 28 ，
x−8+ x+ −8
x x
28 √ 28
又∵x+ ≥2❑ x⋅ =4❑√7，
x x
28 28
当且仅当x= 时，x+ 有最小值，
x x
∵x>0，
28
∴当x=2❑√7时，x+ 有最小值，最小值为4❑√7，
x
1 ❑√7+2
∴此时y有最大值，最大值为：y= = ；
4❑√7−8 12
x ❑√7+2
∴当x=2❑√7时，函数y= 取到最大值，最大值为 ．
x2−8x+28 12
（3）解：设S = y,S =x，则S =16+36+x+ y，
△COD △AOB 四边形ABCD
∵ ，
(❑√x−❑√y) 2 ≥0
∴x+ y≥2❑√xy，
∴S≥52+2❑√xy；
当且仅当 时， ；
x= y S =52+2❑√xy
最小
此时BC∥AD，x= y=❑√16×36=24，
故S =52+2×24=100．
最小
