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第 22 讲 乘法公式核心考点（解析版）
【模块一】乘法公式
第一部分 典例剖析+针对练习
题型一 平方差公式
典例1计算：(1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y)
思路引领：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，2 看成 b ，即
(3x + 2)(3 x - 2)=(3x)2-22
(a + b)(a - b)= a2 - b2
解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4
(2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2= x2-4y2
典例2 计算：
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98
解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5=-4y+1
(2) 102×98=(100+2)×(100-2) =1002-22=10000-4=9996
点睛：(y-1)(y+5)= (y2-5)吗？只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则
进行
针对训练
1.运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a)
(3) 51×49 (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
解：(1)原式=a2-(3b)2=a2-9b2
(2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9
(3)原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2500-1=2499
(4)原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-5x-10
题型二 完全平方公式
典例3 运用完全平方公式计算：( 1) 2
y−
2
(1) (4m+n)2 (2)
解：(1) (4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2
( 1) 2 1 (1) 2 1
y−
(2) 2 =y2-2·y· 2 + 2 = y2-y+ 4
典例4 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992
解：(1) 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404
(2) 992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801
针对训练
1.运用完全平方公式计算：
(3 2 ) 2
x− y
4 3
(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4)
解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36
(2)原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25
(3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2
(3 ) 2 3 2 (2 ) 2 9 4
x x y y x2 −xy+ y2
(4)原式= 4 -2· 4 · 3 + 3 = 16 9
题型三 利用公式求值
典例5用简便方法计算：
(1)2002－400×199＋1992 (2)9996×10004
解：(1)原式＝2002－2×200×199＋1992＝(200－199)2＝1
(2)原式＝(10000－4)(10000＋4)＝100002－42＝100000000－16＝99999984
典例6（2022春•金牛区校级月考）用简便方法计算．
（1）186.72﹣2×186.7×86.7+86.72；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）．
思路引领：（1）根据完全平方公式将原式化为（186.7﹣86.7）2即可；
1
（2）配上因式 （3﹣1），连续使用平方差公式进行计算即可．
2
解：（1）原式＝（186.7﹣86.7）2＝1002＝10000；1
（2）原式= （3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
2
1
= （32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）
2
1
= （34﹣1）（34+1）（38+1）
2
1
= （38﹣1）（38+1）
2
1
= （316﹣1）
2
316−1
= ．
2
点睛：本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的
前提．
针对训练
1．（2022春•富平县期末）运用整式乘法公式简便计算：20222﹣2023×2021．
思路引领：将20222﹣2023×2021写成20222﹣（2022+1）×（2022﹣1），再利用平方差进行计算即可得
出答案．
解：20222﹣2023×2021
＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1．
点睛：本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
2．（2022春•子洲县期末）运用乘法公式计算：397×403+9．
思路引领：先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
解：397×403+9
＝（400﹣3）×（400+3）+9
＝4002﹣32+9
＝160000﹣9+9
＝160000．
点睛：本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，（a+b）（a﹣b）＝
a2﹣b2．3．（2022春•九江期末）用简便方法计算：59.8×60.2．
思路引领：原式变形为（60﹣0.2）×（60+0.2），再利用平方差公式计算可得．
解：原式＝（60﹣0.2）×（60+0.2）
＝602﹣0.22
＝3600﹣0.04
＝3599.96．
点睛：本题主要考查平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
4．（2022春•盐田区校级期末）利用乘法公式计算：
（1）1002﹣200×99+992；
（2）992﹣982．
思路引领：（1）将算式变形，再用完全平方公式即可算出答案；
（2）先用平方差公式将算式变形，再计算即可．
解：（1）原式＝1002﹣2×100×99+992
＝（100﹣99）2
＝12
＝1；
（2）原式＝（99+98）×（99﹣98）
＝197×1
＝197．
点睛：本题考查平方差和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握平方差和完全平方公式．
题型四 灵活运用公式
典例7 计算：
(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)； (3)(3x－2y)2(3x＋2y)2
解：(1)原式=(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)=(x2-4y2)2=x4-8x2y2+16y4
(2)原式=[a+(b-3)][a-(b-3)]=a2-(b-3)2=a2-(b2-6b+9)=a2-b2+6b-9
(3)原式=[(3x-2y)(3x+2y)]2=(9x2-4y2)2=81x4-72x2y2+16y4
针对训练
1.计算下列各式.解：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
【模块二】公式变形及求值
题型一 公式变形及求值
典例8 解答下列各题：
（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2+ab的值；
（2）已知x2+y2＝25，x+y＝7，且x＞y，求x﹣y的值；
（3）已知a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，且a≠b，求a﹣b的值．
思路引领：（1）已知等式左边利用完全平方公式化简，整理求出 a2+b2与ab的值，代入原式计算即
可；
（2）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（3）由已知两等式得到a，b为x2﹣x＝3的解，利用根与系数的关系求出a+b，ab的值，再利用完全平
方公式求出a﹣b的值即可．
解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3②，
∴①+②得：a2+b2＝5；①﹣②得：4ab＝4，即ab＝1，
则原式＝5+1＝6；
（2）∵x2+y2＝25，x+y＝7，且x＞y，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25+2xy＝49，即xy＝12，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝49﹣48＝1，
则x﹣y＝1；
（3）∵a≠b，a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，
∴a，b看作x2﹣x＝3的解，
∴a+b＝1，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+12＝13，
则a﹣b＝±❑√13．
点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
典例9（2022春•西湖区校级期中）阅读：已知a﹣b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a﹣b＝﹣4，ab＝3，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣4）2+2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣5．ab＝2，求a2+b2﹣ab的值．
（2）已知（2023﹣x）（2022﹣x）＝20，求（2023﹣x）2+（2022﹣x）2的值．
思路引领：（1）利用完全平方公式得到a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2+2（2023﹣x）
（2022﹣x），然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝2，
∴a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝（﹣5）2+2＝27；
（2）∵（2023﹣x）（2022﹣x）＝20，
∴（2023﹣x）2+（2022﹣x）2
＝[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2+2（2023﹣x）（2022﹣x）
＝12+2（2023﹣x）（2022﹣x）
＝1+2×20
＝41．
点睛：本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
针对训练
1．（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝20，求ab，（a+b）2的值；
1 1
（2）x+ =3，求x2+ ．
x x2
（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；
（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．
思路引领：（1）先把已知等式a﹣b＝6的两边平方，得到a2+b2﹣2ab＝36，再将a2+b2＝10代入，即可
求出ab的值；
（2）把已知条件两边平方，然后整理即可求解；
（3）利用完全平方公式将已知等式左边展开，分别记作①和②，①+②，整理即可求出a2+b2的值；①﹣②后，即可求出ab的值；
（4）将a+b＝﹣3两边平方，把ab的值代入即可求出a2+b2的值，将（a﹣b）2展开，把各自的值代入计
算即可求出值．
解：（1）∵a﹣b＝6，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝36，
∵a2+b2＝20，
∴20﹣2ab＝36，
∴ab＝﹣8，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝36﹣32＝4；
1
（2）∵x+ =3，
x
1 1
∴（x+ ）2＝x2+2+ =9，
x x2
1 1
∴x2+ =（x+ ）2﹣2＝7；
x2 x
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝7①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3②，
∴①+②得：2（a2+b2）＝10，即a2+b2＝5；
①﹣②得：4ab＝4，即ab＝1；
（4）将a+b＝﹣3平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，
把ab＝2代入得：a2+b2+4＝9，即a2+b2＝5；
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝5﹣2×2＝1．
点睛：本题考查了分式的混合运算，完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝
a2±2ab+b2是解本题的关键．
2．（2022春•广陵区期中）已知x+y＝4，xy＝1，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2；
（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．
思路引领：（1）将x+y、xy的值代入x2y+xy2＝xy（x+y）计算可得；
（2）将原式变形为（xy）2﹣（x+y）2+2xy+1，再把x+y、xy的值代入计算可得．
解：（1）当x+y＝4、xy＝1时，
x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×4＝4；
（2）当x+y＝4、xy＝1时，原式＝x2y2﹣x2﹣y2+1
＝x2y2﹣（x2+y2）+1
＝（xy）2﹣（x+y）2+2xy+1
＝1﹣16+2+1
＝﹣12．
点睛：本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则、因式分解及完全
平方公式．
3．（2022春•胶州市期中）阅读材料：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
类比应用：
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD
的面积是15．分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形
GFDH的面积和．
思路引领：（1）根据题目中所提供的方法进行计算即可；
（2）由（1）的方法进行计算即可；
（3）由题意可得：已知（x﹣1）（x﹣3）＝15，求（x﹣1）2+（x﹣3）2的值即可．
解：（1）设3﹣x＝p，x﹣2＝q，则（3﹣x）（x﹣2）＝pq＝﹣1，（3﹣x）+（x﹣2）＝p+q＝1，
∴（3﹣x）2+（x﹣2）2＝p2+q2
＝（p+q）2﹣2pq
＝1+2
＝3；（2）设n﹣2021＝a，2022﹣n＝b，则（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝a2+b2＝11，（n﹣2021）+（2022﹣
n）＝a+b＝1，
∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝ab
(a+b) 2−(a2+b2 )
=
2
1−11
=
2
＝﹣5；
（3）由题意可得，DE＝MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝m，x﹣3＝n，则m﹣n＝2，（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝15，
∴（x﹣1）2+（x﹣3）2＝m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn，
＝4+30
＝34，
即正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为34．
点睛：本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答
的前提．
题型二 配方法
典例10（2021春•碑林区校级期末）代数式a2±2ab+b2称为完全平方式．
（1）若4a2+ka+9是完全平方式，那么k＝ ；
5
（2）已知x、y满足x2+y2+ =2x+y，求x和y的值．
4
思路引领：（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出x、y．
解：（1）∵4a2＝（2a）2，9＝32，
∴k＝±2×2×3＝±12，
故答案为：±12；
5
（2）∵x2+y2+ =2x+y，
4
1
∴x2﹣2x+1+y2﹣y+ =0，
4
1
∴（x﹣1）2+（y− ）2＝0，
21
∴x﹣1＝0，y− =0，
2
1
解得：x＝1，y= ．
2
点睛：本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
针对训练
1．当x，y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+28有最小值，求出这个最小值．
思路引领：把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式，括号外的常数即为多项式的最小值．
解：∵x2+y2﹣4x+6y+28＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+15＝（x﹣2）2+（y+3）2+15，
∴当x﹣2＝0，y+3＝0，即x＝2，y＝﹣3时有最小值，
∴多项式的最小值为15．
点睛：解决本题的关键是把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式；难点是根据得到的式子判断
出所求的最小值．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•双阳区校级月考）解答题：
（1）1002﹣101×99（用简便方法计算）；
（2）化简（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2．
思路引领：（1）利用完全平方公式进行计算，即可得出结果；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可得出结果．
解：（1）1002﹣101×99
＝1002﹣（100+1）（100﹣1）
＝1002﹣1002+1
＝1；
（2）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2
＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2
＝2xy﹣2y2．
点睛：本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问
题的关键．
2．（2022春•东明县期末）计算：
（1）1232﹣124×122；（2）（a+b﹣c）（a+b+c）．
思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
解：（1）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣1232+1
＝1；
（2）原式＝（a+b）2﹣c2
＝a2+2ab+b2﹣c2．
点睛：本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
3．（2022春•铜川期末）运用乘法公式计算：499×501+1．
思路引领：利用平方差公式进行计算即可．
解：499×501+1
＝（500﹣1）（500+1）+1
＝5002﹣12+1
＝250000﹣1+1
＝250000．
点睛：本题考查了平方差公式的知识，注意在运算前仔细观察，看能否构造出平方差公式的形式．
4．（2022春•昌图县期末）计算：（1）1992（利用整式乘法公式计算）；
（2）（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）．
思路引领：（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．
解：（1）原式＝（200﹣1）2
＝40000﹣400+1
＝39601；
（2）原式＝[（x﹣3）+2y]{（x﹣3）﹣2y]＝（x﹣3）2﹣（2y）2
＝x2﹣6x+9﹣4y2．
点睛：本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的
前提．
5．（2022春•东港市期末）要求：利用乘法公式计算．
（1）2023×2021﹣20222；
（2）（2x﹣y+3）（2x﹣y﹣3）．思路引领：（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
解：（1）原式＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1．
（2）原式＝[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）+3]
＝（2x﹣y）2﹣9
＝4x2﹣4xy+y2﹣9．
点睛：此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
6．（2011春•邵阳校级月考）已知a2+b2＝25，a+b＝7，且a＞b，求a﹣b的值．
思路引领：先求出a+b的平方，从而得到a2+2ab+b2＝49，然后把a2+b2＝25代入求出2ab的值即可解
答．
解：∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝49，
即a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝49﹣25＝24，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a﹣b＝±1，
又∵a＞b，
∴a﹣b＝1．
点睛：主要考查完全平方式，解此题的关键是熟悉完全平方式的特征：两数的平方和，再加上或减去它
们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
7．（2020春•成华区校级期中）（1）已知a2﹣3a﹣1＝0，求下列各式的值：
1
①a2+ ；
a2
②3a3﹣7a2﹣9a+2020．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，其中a，b满足a2+b2＝4a+10b﹣29，c满足|4﹣c|＝1，判定△ABC
的形状．
1
思路引领：（1）①根据等式的性质得到a− =3，根据完全平方公式计算，得到答案；
a
②把a2﹣3a﹣1＝0化为a2＝3a+1，代入计算即可；（3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据绝对值的概念求出c，
根据三角形的三边关系、等腰三角形的概念解答即可．
解：（1）①∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝3a，a≠0，
1
∴a− =3，
a
1 1
∴（a− ）2＝9，即a2﹣2+ =9，
a a2
1
∴a2+ =11；
a2
②∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2＝3a+1，
∴3a3﹣7a2﹣9a+2020
＝3a•a2﹣7a2﹣9a+2020
＝3a（3a+1）﹣7a2﹣9a+2020
＝9a2+3a﹣7a2﹣9a+2020
＝2a2﹣6a+2020
＝2（a2﹣3a）+2020
＝2022；
（2）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a＝2，b＝5，
∵|4﹣c|＝1，
∴c＝3或5，
当c＝3时，a+c＝b，不能组成三角形，
当c＝5时，△ABC为等腰三角形．
点睛：本题考查的是配方法的应用、三角形的三边关系，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的
关键．
8．（2021秋•西峡县期末）已知：x2﹣y2＝﹣10，（x+y）2＝50．求xy的值．
思路引领：根据完全平方公式以及平方差公式解决此题．
解：∵x2﹣y2＝﹣10，（x+y）2＝50，∴（x+y）（x﹣y）＝﹣10，x+y=±❑√50．
∴x﹣y=±❑√2．
∴（x﹣y）2＝2．
∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝48．
∴xy＝12．
点睛：本题主要考查完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关
键．
9．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数
．
思路引领：根据题意列出方程组，由方程组求出m，n从而得出这个自然数．
解：设这个自然数为x，由题意得：
{x−45=m2
)．由此可得n2﹣m2＝89，即（n+m）（n﹣m）＝89×1．
x+44=n2
{n+m=89)
从而 ．
n−m=1
解得n＝45，m＝44．（m，n都为自然数）
故x＝452﹣44＝1981．
故答案为：1981．
点睛：本题考查了完全平方数的应用．根据题意列出方程组是解题关键．
