文档内容
第 26 讲 分式方程核心考点
目录
第一部分 典例剖析+针对训练....................................................................................................................................1
题型一 解分式方程..........................................................................................................................................1
题型二 倒数型..................................................................................................................................................2
题型三 增根问题..............................................................................................................................................3
题型四 分式方程无解类型................................................................................................................................4
题型五 分式方程的正数解、负数解问题........................................................................................................4
题型六 分式方程整数解问题............................................................................................................................6
第二部分 专题提优训练..............................................................................................................................................7
第一部分 典例剖析+针对训练
题型一 解分式方程
典例1（2022秋•绿园区校级月考）解分式方程：
3 4 1 x−1
（1） = ； （2）3− = ．
x−1 x x−2 2−x
针对训练
1．（2021秋•梁平区期末）解下列方程：
2x 7 3 x
（1） +1= ； （2） − =−2．
x+3 2x+6 x−2 2−x
2．（2021秋•昆明期末）解分式方程：
x+1 3 4 2+x 16
（1） = − ； （2） + =−1．
4x2−1 2x+1 4x−2 2−x x2−4题型二 倒数型
典例2（2022春•滕州市期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
1 1 1
方程x+ =2+ 的解为x ＝2，x = ；
1 2
x 2 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x ＝3，x = ；
1 2
x 3 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x ＝4，x = ；…
1 2
x 4 4
1 1
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ =5+ 的解是 ；
x 5
1 1
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =a+ 的解是 ；
x a
知识拓展：
y+2 10
（3）根据上述规律，解关于y的方程y+ = ．
y+1 3针对训练
1．（2021秋•莱州市期中）阅读材料，并完成下列问题：
2 6 12
已知分式方程：①x+ =3，②x+ =5，③x+ =7．
x x x
其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝
3或x＝4．
（1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x
30
+ =11的解是 ．
x
2020 100 100
（2）关于x的方程x+ =101+ 有2个解，它们是x＝101或x= ，根据所猜想的规律，求m
x m m
的值．
题型三 增根问题
2m m+1 1
典例3（2022春•雁塔区校级期末）若关于x的方程 − = 有增根，求实数m的值．
x+1 x2+x x
针对训练
x−1 m
1．（2022春•甘孜州期末）若分式方程 = 有增根，则m＝ ．
x−4 4−x
k−1 1 k−5
2．（2022春•静安区期中）若分式方程 − = 有增根x＝﹣1，求k的值．
x2−1 x2−x x2−x
x
3．（2021秋•宽城县期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： =2
x−3
？
− ．
x−3
（1）她把这个数“？”猜成﹣2，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？题型四 分式方程无解类型
4x mx
典例4（2022春•浚县校级月考）若关于x的方程 −5= 无解，求m的值．
x−2 2−x
针对训练
x ◆
1．（2021秋•迁安市期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程： =2− ，发现数字◆印刷不清楚．
x−3 3−x
x 5
（1）他把“◆”猜成5，请你解方程： =2− ；
x−3 3−x
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中
“◆”是几？
2 mx 1
13．（2021秋•虎林市校级期末）已知关于x的方程 − = ．
x−1 (x−1)(x+2) x+2
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值．
题型五 分式方程的正数解、负数解问题
x m
14．（2021秋•招远市期中）若关于x的方程 −2= 有正数解，求m的取值范围．
x−3 x−3
1 k−2
15．（2021春•乐至县月考）已知关于x的分式方程 +3= ．
x−2 2−x
（1）若分式方程的解为x＝4，求k的值；
（2）若分式方程有正数解，求k的取值范围．x m
16．（2022春•原阳县期中）若关于x的方程 −2= 有非负数解，求m得取值范围．
x−3 x−3
x m
17．（2021春•西区期中）已知关于x的方程 =2− 有负数解，求m的取值范围．
x−3 3−x
题型六 分式方程整数解问题
{ x m
− ≤− +1
18．（2022 春•吉安期中）若关于 x 的不等式组 2 2 有解，且使得关于 y 的分式方程
−2x+1≥4m−1
1 m−y
− =2有非负整数解，求所有的整数m的和．
y−2 2−y
2 mx
19．（2018秋•沈北新区月考）若解关于x的分式方程 + =1时，只得到一个负数解，求m的值．
x−2 x2−4
x 3a
20． = −2有非负数解，求a的范围．
x−1 2x−2
21．（2022春•高邮市期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，
则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
2x+1 4
（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程 −1= 是否是“相似方程”，并说
2x−1 4x2−1
明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
二
第 部分 专题提优训练
1．（2022春•溧阳市期末）解下列分式方程：
3−x 1 2x−5 3x−7
（1） = ； （2） = −3；
4+x 2 x−2 x−2
（3） x2 x 2； （4） 3 2x 1 ．
− = + =
x2−4 2−x x+3 x2−9 x−3
2．（2021秋•潍坊期末）解分式方程：
1 x−1 3 x+2 3 1 6
（1） −3= ． （2） − =0． （3） − = ．
x−2 2−x x−1 x2−x x−3 x+3 x2−9
2x a
3．已知关于x的方程 + =3．
x−2 x−2
（1）当a取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当此方程的解是正数时，求a的取值范围．m 1−x
4．（2014春•九龙坡区校级期中）若关于x的分式方程 = −3有增根，那么增根应该是2，此时
x−2 2−x
m＝ ．
1 a−x
5．（2022春•永春县期中）若关于x的分式方程 +3= 无解，则a的值是 ．
x−2 x−2
x a
6．（2022春•沭阳县期末）若关于x的分式方程 = −2的解是非负数，求a的取值范围
x−1 2x−2
．
7．（西城区校级期中）阅读下列材料：
a 3
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于 x的分式方程 + =1的解为
x−1 1−x
正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题
解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．
完成下列问题：
2mx−1
（1）已知关于x的方程 =1的解为负数，求m的取值范围；
x+2
3−2x nx−2
（2）若关于x的分式方程 +1= 无解．直接写出n的取值范围．
x−3 x−3
5 1 1
8．已知k为非负数，当k为何值时，关于x的方程 x+2k= (x−k)+ (k+5)的解是非负数？
3 2 3
16 2 a
9．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程 + = 有正整数解，且使关
x(x−4) x x−41 2y−1 1
{ (y+4)− ＞
于y的不等式组 2 3 2至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
1−y
≤3−a
2
