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第 26 章 反比例函数
（能力挑战卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知点 在函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵反比例函数解析式为 ， ，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点 在函数 的图象上， ，
∴ ，
故选D．
2．若反比例函数 的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵反比例函数 的图像分布在第二、四象限，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
3．反比例函数 经过点 ，则下列说法错误的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当 时，y随x的增大而增大
D．当 时，y随x的增大而减小【答案】C
【详解】解：∵反比例函数 经过点 ，
∴ ，
∴函数图象分布在第一、三象限，当 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴函数图象经过点 ，
∴选项C错误，
故选：C．
4．如图，已知双曲线 经过 斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的
坐标为 ，则 的面积为（ ）
A． B．6 C．9 D．10
【答案】C
【详解】解：∵ 的中点是D，点A的坐标为 ，
∴ ，
∵双曲线 经过点D，
∴ ，
∴ 的面积 ．
又∵ 的面积 ，
∴ 的面积 的面积 的面积 ．故选C．
5．如图，正方形 位于第一象限，边长为3，点A在直线 上，点A的横坐标为2，正方形
的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 与正方形 有两个公共点，则k的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：把 代入 ，
解得∶ ，
∴A的坐标是 ，
∵正方形 位于第一象限，边长为3，
∴C点的坐标是 ，
∴当双曲线 经过点 时， ；
当双曲线 经过点 时， ，
∵双曲线 与正方形 有两个公共点，
∴ ．
故选D．
6．如图，已知双曲线 与矩形 的对角线 相交于点D，若 ，矩形 的面积为
，则k等于（ ）A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【详解】解：设D的坐标是 ，则B的坐标是 ．
∵矩形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ．
把D的坐标代入函数解析式得： ，
∴ ．
故选：B．
7．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的
大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，即－a＜0，
又∵对称轴为直线x＝－ ＜0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 图象在第二、四象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
8．如图，A、B两点在反比例函数 的图像上，C、D两点在反比例函数 的图像上，AC⊥y轴于
点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则 的值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【详解】解：由题意，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
则 ， ， ， ，
将点 ， 代入 得： ，
解得 ，
，
，即 ，解得 ，
，
，
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系 中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形 是边长为3的正方形，反
比例函数 的图像与 边分别交于 两点， 的面积为4，点P为y轴上一点，则
的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【详解】 正方形 的边长是3，
点 的横坐标和点 的纵坐标为3，
， ， ，
， ，
的面积为 ，
，
或 （舍去），
， ，
作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，，
， ，
，
即 的最小值为 ，
故选：B．
10．函数 和 在第一象限内的图象如图，点P是 的图象上一动点 轴于点C，交
的图象于点A， 轴于点D，交 的图象于点B．给出如下结论：
① 与 的面积相等；
② 与 始终相等；
③四边形 的面积大小不会发生变化；
④ ．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵ 是反比函数 上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时， 在逐渐增大，而 在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时 ，故②错误；
∵P是 的图像上一动点，
∴矩形 的面积为4，
∴ ，故③正确；
连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知反比例函数 的图象经过 ，求 关于 的函数解析式_______．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过 ，
∴ ，解得 ．
∴ 关于 的函数解析式为 ．故答案为： ．
12．已知一次函数 的图象经过点 ， ，反比例函数 的图象位于一、三象
限，则 ______ ．(填 ， 或=)
【答案】
【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，得 ，
∵反比例函数 的图象位于一、三象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，点A、B分别是双曲线 和 第一象限分支上的点，且 轴， 轴于点C，则
的值是_____________．
【答案】3
【详解】解：延长 交x轴于点D，过点A作 轴于点E，∵ 轴， 轴，
∴四边形 都是矩形，
∵点A、B分别是双曲线 和 第一象限分支上的点，
∴矩形 的面积为4，矩形 的面积为1，
∴矩形 的面积为 ，
∴ ，
故答案为：3．
14．如图，点A、B是反比例 图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线， ，则
________．
【答案】4
【详解】解：∵点A、B是反比例 图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．15．如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，
过点A作 轴于点C，连接 ，则 的面积是________．
【答案】20
【详解】解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，
∴把 代入 ，得： ，
∴ ．
将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴反比例函数解析式为 ．
联立 ，解得： 或 ，
∴ ．
∵ 轴于点C，
∴ ，
∴ ．
故答案为：20．
16．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都
保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高 ，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、
丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比
为 恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 ___________吨．【答案】376
【详解】解：设甲车每次运 吨，
乙车每次运货量比甲车高 ，丙车每次运货量比甲车多12吨，
乙车每次运 （吨 ，丙车每次运 吨，
甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，
丁车每次运 吨，
， ， ， 都是整数，
是6的倍数， 最小为6，
设这一批建筑材料共 吨，运完这一批建筑材料，丁车运输 次，则甲车运输 次，乙车运输 次，丙
车运输 次，
甲车共运输了120吨，
，
，
根据题意得：
，
当 最小时， 取最大值，
时， 最大为 （吨 ，
这批建筑材料最多有376吨，
故答案为：376．
三、解答题（本大题共6题，满分52分）17．（7分）已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 和点 ．
(1)求这两个函数的关系式；
(2)观察图象，直接写出使得 成立的自变量 的取值范围；
(3)如果点 与点 关于 轴对称，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)12
【详解】（1）解：将 代入 得， ，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ，
又 点 在 上，
，
解得 ，
点B的坐标为 ，
点A和点B在一次函数 上，
，解得 ，
一次函数的解析式为 ，
综上可得 ， ．
（2）解： 时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
观察图象可知，当 或 时， ．
（3）解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接AC，作 于点D，
点A的坐标为 ，
点C的坐标为 ，
又 点B的坐标为 ，
， ，
的面积 ．
18．（7分）王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，
即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金 万元， 个月还清，
且 是 的反比例函数，其图象如图所示．(1)求 与 的函数关系式；
(2)求王叔叔购买的商品房的总价；
(3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？
【答案】(1)
(2) 万元
(3)300个月
【详解】（1）解：设 ，
由图象可知： 在函数图象上，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴王叔叔贷款总额为： 万元，
∴房子总价为： 万元；
（3）解： 万，由题意得：
当 时，即： ，
解得 ，
∴至少需要300个月还清．
19．（9分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，其中 ．(1)求该反比例函数的解析式及点 的坐标；
(2)根据所给条件，直接写出不等式 的解集．
(3) 是第三象限内反比例函数图象上的点，是否存在点C，使得 ?若存在请直接写出 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为 ； ；
(2) 或 ；
(3)存在，点C的坐标为 或 ．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
解方程 得： 或 ，
经检验， 或 都是方程的解，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴不等式 的解集为： 或 ；
（3）解：存在，设点C的坐标为 且 ，
∵ ，即 ，
∴ ，整理得 ，
解得 或 ，
∴ 或
∴点C的坐标为 或 ．
20．（9分）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，已
知点 ，点B的横坐标为2．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式，并在图中画出一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式 的解集；
(3)若点C是点B关于x轴的对称点，连接 、 ，求 的面积．
【答案】(1)一次函数 ，反比例函数为： ，画图见解析；
(2) 或 ．
(3) ．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象过点 ，∴ ，
∴反比例函数为： ，
∵ 在反比例函数图象上，且 ，
∴ ，即 ，
∵一次函数 的图象过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴一次函数 ，
描点，画图如下：
（2）由函数图象可得：当 时，x的取值范围为：
或 ．
（3）如图，点C是点B关于x轴的对称点，∴ ，可得 ，
∵ ，可得 到 的距离为 ，
∴ ．
21．（10分）如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
(1)根据图象直接写出不等式 的解集；
(2)求反比例函数与一次函数的解析式；
(3)点P在y轴上，且 ，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【详解】（1）∵当 的图象在 图象的下方时， 成立，
又∵由图象可知当 时， 的图象在 图象的下方，
∴不等式 的解集为 ．
（2）将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴反比例函数为： ；将 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为： ；
（3）对于 ，当 时， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵P在y轴上，
∴ ，
解得： ．
∴ 或 ．
22．（10分）已知平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于点 和点
，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求反比例函数的表达式和直线 的表达式；
(2)若在 轴上有一异于原点的点 ，使 为等腰三角形，求点 的坐标；
(3)若将线段 沿直线 进行对折得到线段 ，且点 始终在直线 上，当线段 与
轴有交点时，求 的取值的最大值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，直线 的解析式为(2) 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 或
(3)当线段 与 轴有交点时， 的取值的最大值为
【详解】（1） 反比例函数 的图象经过点 和点 ，
，
， ，
反比例函数的表达式为 ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）设 ，
则 ，
，
，
为等腰三角形，
或 或 ，
当 时， ，
，
解得： ，；
当 时， ，
，
，
此方程无解；
当 时， ，
，
解得： ， ，
或 ；
综上所述， 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 或 ；
（3）当点 落到 轴上时， 的取值的最大，如图，
设直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ，
，即 ．
直线 的解析式为
点 始终在直线 上，
直线 与直线 垂直．
．．
，
由于 ，因此直线 可设为 ．
点 的坐标为 ，
，即 ．
直线 解析式为 ．
当 时， 则有 ．
点 的坐标为 ．
的中点坐标为 即 ，
点 在直线 上，
．
解得： ．
故当线段 与 轴有交点时， 的取值的最大值为 ．
