文档内容
第 2 课时 三元一次方程组的应用
教学目标
课题 第2课时 三元一次方程组的应用 授课人
会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、通过建立方程组
素养目标
模型解决问题的能力．
教学重点 三元一次方程组的应用．
教学难点 由问题情境构建三元一次方程组，解三元一次方程组的方法选择.
教学活动
教学步骤 师生活动
【问题引入】 【教学建议】
活动一：悬 上节课我们学习了三元一次方程组的解法，现在我们 学生自主交流探
疑设置，新课 来看下面这道题目： 索，不需解答，有解
导入 已知某个三角形的周长为18 cm，其中两条边的长度 题思路即可．三角形
【设计意
之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边 的三条边长均未知，
图】
长度的，求这个三角形三边的长． 可顺其自然想到需设
以学生熟悉
的三角形进行 这道题要用方程的知识来解决，题目中有3 个相等关 三个未知数，从而列
举例为新课做 系，故需列出三元一次方程组． 三元一次方程组解决
铺垫. 同学们，上面这个问题你会解答了吗？还想了解更多 问题．
方程组的应用问题吗？让我们开始新课的学习吧！
探究点 三元一次方程组的应用 【教学建议】
例1 (教材P109例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x 教师引导学生观
＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 察未知数系数的关
求a，b，c的值．
活动二： 系，考虑解此类由三
问题1 要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列
交流合作，探 个一次方程组成的方
一个三元一次方程组，根据题意，你能否列出此方程组．
究新知
程组时，怎么消元，
【设计意
根据题中给出的三组x，y的对应值，把它们代入等式
先消哪个元，可使过
图】 y＝ax2＋bx＋c中，即可得到三个关于a，b，c的三元一
程更简便．
由问题条 次方程a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3和25a＋5b＋c＝60，
【教学建议】
件抽象出三元
一次方程组，
从而应用其解 通过设问逐步引导
决问题． 学生列出三元一次方
从而组成一个三元一次方程组
问题2 怎样消元解方程组最简便？ 程组，从而解决实际
观察方程组中三个未知数系数的特点，发现c的系数 问题．数字问题是方
都是1，故先消去c最容易． 程学习中的经典问
问题3 请写出解答过程． 题，通过三位数的三解：根据题意，得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1.④
③－①，得 4a＋b＝10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.
因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.
例2 (教材P110例3)一个三位数，各数位上的数的
和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位
上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交
换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数． 个数位，学生容易想
问题1 如何设元可以正确地反映题目中的数量关系？ 到可设三个元，并发
直接设一个未知数表示这个三位数可以解题吗？ 掘题目中隐含的三个
把这个三位数各数位上的数看成三个未知数，可以正确
相等关系，从而列出
地反映题目中的数量关系．直接设一个未知数表示这个三
方程组．
位数无法解题．
问题2 题目中有几个相等关系？请根据你在问题1中
的设元方法将它们表示出来，并列出方程组．
题目中有三个相等关系．
设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位
上的数为z.
相等关系1：各数位上的数的和为14→x＋y＋z＝14；
相等关系2：百位上的数的2倍减去十位上的数的差是
个位上的数的→2x－y＝z；
相等关系3：如果把这个三位数个位上的数与百位上的
数交换位置，那么所得的新数比原数小99→100z＋10y＋
x＋99＝100x＋10y＋z.
列得三元一次方程组
问题3 请根据你在问题2中列出的方程组继续完成本题的解答．
【对应训练】
1．尝试解决活动一中的问题．
2．教材P111练习第1，2题．
例3 若(a＋2c－2)2＋|4b－3c－4|＋＝0，其中a，b，
【教学建议】
活动三：变
c是有理数，试求a，b，c的值．
学生自主完成解
式训练，灵活
题，教师根据学生的
运用
完成情况进行有针对
【设计意
图】 性的点评．解此类题
考查根据题
时要注意审题，明确
意构造三元一
题意是隐含列三元一
次方程组解
次方程组，并能够正
题，巩固本节
确地计算出结果．
课所学.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或
“随堂作业”册子)相应课时【随堂训练】．
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请
学生回答以下问题：
你能根据实际问题中的相等关系构建三元一次方程组
吗？能解决实际问题吗？
活动四：随
【知识结构】
堂训练，课堂
总结
【作业布置】
1．教材P111习题10.4第3，4，5题．
2．《创优作业》主体本部分相应课时训练．
第2课时 三元一次方程组的应用
板书设计 1．构造三元一次方程组求待定系数的值．
2．构建三元一次方程组模型解决实际问题．
本节课是上节课的运用，在之前学过了三元一次方
教学反思
程组的解法之后，代入到实际背景中进行体现，既巩固了之前所学，也使学生感受到数学在实际生活中是无处不在
的．本节课是对本章学习的一个收尾，教学中要引导学生
在练习中体会贯穿本章的“消元”思想，主动思考，自己
做学习的主人.
解题大招 三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，
设几个未知数，就要找到几个相等关系列几个方程．
例 果园里共种有苹果、梨、桃三种果树100棵，苹果树棵数、梨树棵数、
桃树棵数的比为7∶8∶10.丰收后苹果的总产量和梨的总产量的比是7∶6，已
知平均每棵桃树的产量是60 kg，比平均每棵苹果树的产量少.
(1)果园里苹果树、梨树与桃树各有多少棵？
(2)丰收后果园里苹果的总产量和梨的总产量分别是多少千克？
解：(1)设果园里苹果树有x棵，梨树有y棵，桃树有z棵．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：果园里苹果树有28棵，梨树有32棵，桃树有40棵．
(2)60÷(1－)＝70(kg)，70×28＝1 960(kg)，
1 960×＝1 680(kg)．
答：苹果的总产量和梨的总产量分别是1 960 kg和1 680 kg.
