文档内容
第 2 课时 用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组
教学目标
第2课时 用代入消元法解稍复杂的
课题 授课人
二元一次方程组
会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思
素养目标
想．
教学重点 用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组．
方程组中未知数的系数都不为1(或－1)时，如何用一个未知数表示另一个
教学难点
未知数从而实现代入消元的灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
【教学建议】
【问题引入】 教师提问，学
(1)什么是二元一次方程组？ 生代表进行回答，
活动一：旧 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都 重点在于引导学生
知回顾，新课 是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方 观察方程组中未知
导入 程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 数的系数特征．也
【设计意 (2)①②③是二元一次方程组吗？①②和③有什么不
可在进入正课之前
图】
同？ 给学生时间自行尝
通过回忆上
都是二元一次方程组．①②的两个方程中有一个未
试仿照上节课的代
节课所学，引
出稍复杂的二
知数的系数为1或－1，③的两个方程中未知数的系数
入法解一解，有助
元一次方程组 都不为1或－1. 于体会方程形式上
的形式，为新 (3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做．
的特点，并对于解
课进行铺垫.
解方程组①，得解方程组②，得
题难度上的区别有
像③这样的方程组也可以用代入法求解吗？这就是
一个初步认知．
我们这节课将要学习的内容．
活动二：
探究点1 用代入法解稍复杂的二元一次方程组 【教学建议】
交流合作，探 例1 (教材P93例3)用代入法解方程组 这部分采用上
究新知 问题1 类比上节课所学，用代入法求解这种未知 节课的教学模式，
【设计意 数的系数都不为1或－1的二元一次方程组时，第一步
将例题分解成多个
图】 应做些什么？
小问，学生分组讨
通过例题逐
应对某个方程进行变形，把一个未知数用含另一个
论，合作完成解
步设问，引导
未知数的式子表示出来，并注意将被表示的未知数的系
学生利用代入 答，感悟探究过程
数化为1.
法解稍复杂的 中所蕴含的化归思
问题2 对于这个方程组，选择表示出哪个方程中
二元一次方程
的哪个未知数会使计算更简便？为什么？ 想，教师适时予以
组．
由于方程①中的x的系数的绝对值最小，所以在方 提示或指导．由于程①中用含y的式子表示x会使计算更简便．
问题3 根据你在问题2中的结论，写出解答过
程．
本节课涉及的方程
解：由①，得x＝y－.③ (1)变形
组的系数较为复
把③代入②，得9(y－)＋7y＝39. (2)代入
杂，学生在解答完
解这个方程，得y＝3. (3)求解
毕后可将解代回进
把y＝3代入③，得x＝2. (4)回代
所以这个方程组的解是 行检验．教师也可
(5)写解
对学生提问不同的
变形方式会不会改
问题4 解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
变方程的解，鼓励
可以.
学生用不同的方式
解：由①，得y＝x＋.③
去解方程，并让学
把③代入②，得9x＋7(x＋)＝39.
生从中自行感悟缘
解这个方程，得x＝2.
由．
把x＝2代入③，得y＝3.
所以这个方程组的解是
【对应训练】
教材P95练习第1题.
探究点2 代入法解二元一次方程组的实际应用 【教学建议】
例2 (教材P94例4)快递员把货物送到客户手中称 教师引导学生分
为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的
析题中的两个相等
送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270
关系，从而列出方
元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，
程组，并独立完成
报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货
解答过程．教师可
物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是
引导学生对用代入
多少元？
【设计意
图】 问题1 写出题中所包含的相等关系． 法解二元一次方程
通过运用代 相等关系1：送120件的报酬＋揽45件的报酬＝ 组的实际问题的一
入法解决实际 270元； 般步骤进行总结：
问题，提高解 相等关系2：送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185 ①审题，找出题中
方程组的能力
元．
的相等关系；②设
和应用意识.
问题2 设这名快递员每送一件的报酬是x元，每
元，设出两个未知
揽一件的报酬是y元，请用含x，y的式子表示你在问
数；③列式，根据
题1中得到的相等关系．
两个相等关系列出
120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.
二元一次方程组；
问题3 请根据你在问题2中的设元，及本节课学
④求解，解方程
过的用代入法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的
解答． 组；⑤检验：有些
解：根据问题2中的设元，列得方程组 情况下要检验方程由①，得x＝－y.③
把③代入②，得90(－y)＋25y＝185.
解这个方程，得y＝2.
组的解是否符合实
把y＝2代入③，得x＝1.5.所以这个方程组的解是
际意义；⑥作答：
最后要写出实际问
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一
题的答案．
件的报酬是2元．
【对应训练】
教材P95练习第2题．
【教学建议】
解决此类求值
例3 对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax＋by＋
问题，通常是根据
活动三：
1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运
式子中隐含的相等
变式训练，巩 算．若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值．
关系构造二元一次
固提升 解：根据题意得
方程组，然后解方
【设计意 即
图】 解这个方程组，得 程组得到未知数的
考查构造稍 所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41. 值，再代入所要求
复杂的二元一 【对应训练】 的式子中求值．形
次方程组并进 若|3a＋2b＋7|＋＝0，求a，b的值.
式多样，包括但不
行计算，强化
解：根据题意，得
限于例题中的新定
本节课所学内
解这个方程组，得
义运算与对应训练
容．
所以a的值为－，b的值为－.
中的利用非负性列
方程组.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或
“随堂作业”册子)相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并
请学生回答以下问题：
1.你能用代入法解稍复杂的二元一次方程组吗？如何
变形方程能使计算更简便？举例说明.
活动四：随
2.你能用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问
堂训练，课堂
题吗？
总结
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P99习题10.2第1，2(3)(4)，11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
第2课时 用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组
1.用代入法解未知数的系数都不为1(或－1)的二元一
次方程组.
板书设计
2.基本思想：消元.
3.一般步骤：(1)变形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，
(5)写解.
4.代入法解二元一次方程组的实际应用．
本节课是上节课的扩充和延续，通过类比用代入
法解简单的二元一次方程组来解决稍复杂的二元一次方
教学反思 程组问题．课堂中采用引导式的教学方法，通过具体实
例让学生主动思考、尝试，从而更深刻地领悟代入法，
进一步体会消元思想在解决数学问题中的应用.
解题大招一 用代入法解稍复杂的二元一次方程组
当方程组中未知数的系数都不是1或－1时，一般选择未知数系数的绝对值
较小的方程进行变形，这样可使计算较为简便．
例1 用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)由②，得x＝－y－.③
把③代入①，得4(－y－)＋5y＝－7.解这个方程，得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝－3.
所以这个方程组的解是
(2)整理方程①，得3x－2y＝4.③
由③，得x＝y＋.④
把④代入②，得5(y＋)＋8y＝1.解这个方程，得y＝－.
把y＝－代入④，得x＝1.
所以这个方程组的解是
解题大招二 用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问题
未知数的系数都不是1或－1的二元一次方程组在实际问题中，往往以“总
总问题”的形式出现，即两个相等关系式都可简化为某部分＋(或－)某部分＝
总的某数量．需要注意在某些特殊情况下，需要检查方程组的解是否符合实际
(如正整数解等)．
例2 有大、小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5
辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t.
(1)一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？(2)若有41 t货物需要运输，计划安排大、小两种货车(两种都有)恰好一次
性运完，每辆货车均满载，则共有几种运货方案？
解：(1)设一辆大货车一次可以运货x t，一辆小货车一次可以运货y t.
根据题意，得解这个方程组，得
答：一辆大货车一次可以运货4 t，一辆小货车一次可以运货2.5 t.
(2)设安排m辆大货车，n辆小货车．
根据题意，得4m＋2.5n＝41.变形，得m＝.
因为m，n都是正整数，所以或
所以共有两种运货方案：
方案1：安排大货车4辆，小货车10辆；方案2：安排大货车9辆，小货车
2辆．
培优点 用代入法解稍复杂二元一次方程组中的整体思想
例 阅读材料：
小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③
把①代入③，得2×3＋y＝5.解这个方程，得y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.所以这个方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组，求x2＋4y2的值．
分析：(1)将方程②变形为3x＋6x－4y＝19，即3x＋2(3x－2y)＝19.③把①代
入③，求得x的值，再代入①求出y的值．
(2)将方程②变形，把xy用含x2和y2的式子表示出来，再将其代回方程①并
化简，即可不解方程组，直接整体得到式子x2＋4y2的值．
解：(1)将方程②变形为3x＋6x－4y＝19，即3x＋2(3x－2y)＝19.③
把①代入③，得3x＋2×5＝19.解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝2.所以这个方程组的解为
(2)将方程②变形为xy＝36－2x2－8y2.③
把③代入①，得3x2－2(36－2x2－8y2)＋12y2＝47.化简，得7x2＋28y2＝119.
所以x2＋4y2＝17.
