文档内容
第 2 课时 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组
教学目标
第2课时 用加减消元法解稍复杂的
课题 授课人
二元一次方程组
1.会用加减消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”
思想.
素养目标
2.能运用合适的方法解二元一次方程组，体验先观察，再选择合适的方法
是做数学题的重要技巧.
教学重点 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组．
方程组中未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，如何运用等式的性
教学难点
质对方程进行适当变形，从而实现加减消元的灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
【问题引入】 【教学建议】
活动一：悬
(1)观察方程： 与学习用代入
疑设置，新课
①②③ 法求解稍复杂的二
导入
①②和③有什么不同？ 元一次方程组时类
【设计意
图】 ①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互 似，以设问的方法
引出稍复杂 为相反数，③的两个方程中未知数的系数不具备这种特 导入新课，教师提
的二元一次方
征． 问，学生代表进行
程组的形式，
(2)如何用加减法解方程组①②？试着做一做． 回答，重点在于引
为新课中学习
解方程组①，得解方程组②，得 导学生观察方程组
用加减法求解
像③这样的方程组也可以用加减法求解吗？这就是 中未知数的系数特
进行铺垫.
我们这节课将要学习的内容． 征．
探究点1 用加减法解稍复杂的二元一次方程组 【教学建议】
活动二：
交流合作，探 例1 (教材P96例6)用加减法解方程组 这部分采用上
究新知 问题1 观察方程组两个方程中未知数的系数，这 节课的教学模式，
【设计意 个方程组能否直接加减消元？
将例题分解成多个
图】 这两个方程中没有同一个未知数的系数相等或互为
小问，学生分组讨
通过例题逐 相反数，直接加减这两个方程不能消元．
论，合作完成解
步设问，引导 问题2 怎样对方程①②变形，才能使得这两个方
学生利用加减 程中某个未知数的系数相等或互为相反数，从而用加减 答，感悟探究过程
法解稍复杂的 法求解呢？ 中所蕴含的化归思
二元一次方程 观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将 想，教师适时予以
组．
①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数． 提示或指导，要使问题3 根据你在问题2中的结论，写出解答过
程．
解：①×2，得6x－4y＝8.③ (1)变形
②＋③，得13x＝26， (2)加减
x＝2. (3)求解
把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝
(4)回代
1.
所以这个方程组的解是
(5)写解
学生理解加减消元
问题4 如果用加减法消去x，应该怎样解？ 的本质是利用等式
解得的结果一样吗？与消去y相比，哪个计算更简便？ 的性质，将未知数
如果用加减法消去x，需要对两个方程都进行变形， 的系数化为相等或
使两个方程中x的系数相等，可以①×7，②×3. 互为相反数，从而
将方程组演变为上
解：①×7，得21x－14y＝28.③
(1)变形
节课所学的形式．
②×3，得21x＋12y＝54.④
通过整个探究过
④－③，得26y＝26， (2)加减
程，使学生发现规
y＝1. (3)求解
律：消去哪个未知
把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x
(4)回代 数，就找寻两个方
＝2.
程中该未知数系数
所以这个方程组的解是
(5)写解
的最小公倍数．
解得的结果一样．用加减法消去y比用加减法消去x
计算更简便.
归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，
结果是确定的，不会因为先消去哪个未知数而产生变
化．一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.
【对应训练】
教材P98练习第1题.
探究点2 加减法解二元一次方程组的实际应用
例2 (教材P97例7)我国古代数学著作《九章算 【教学建议】
【设计意 术》中记载了这样一道题： 教师引导学生
图】 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八
分析题中的两个相
通过运用加 两．问牛、羊各直金几何？
等关系，从而列出
减法解决实际 意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头
方程组，并独立完
问题，强化解 牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值
方程组的技巧 金多少两？你能解答这个问题吗？ 成解答过程．注意
和应用意识. 问题1 写出题中所包含的相等关系． 提醒学生，在用加
相等关系1：5头牛的价格＋2只羊的价格＝10两 减消元法解方程组
金； 时，通常要先将得相等关系2：2头牛的价格＋5只羊的价格＝8两
金．
问题2 设每头牛值金x两，每只羊值金y两，请
用含x，y的式子表示你在问题1中得到的相等关系．
5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.
问题3 请根据你在问题2中的设元，及本节课学
过的用加减法解稍复杂的二元一次方程组，完成本题的
到的二元一次方程
解答．
组整理成的形式，
再求解．在关于例
题的教学中，也可
让学生上台板演，
解：根据问题2中的设元，列得方程组
自己尝试用加减法
①×2，得10x＋4y＝20.③
②×5，得10x＋25y＝40.④ 消去y，并计算出
④－③，得21y＝20，y＝. 结果，看是否一
把y＝代入①，得x＝. 致．
所以这个方程组的解是
答：每头牛和每只羊分别值金两和两．
【对应训练】
教材P98练习第2题．
(教材P98思考)(1)怎样解下面的方程组？ 【教学建议】
学生独立思考
活动三：交
问题1 观察上面的两个方程组，你分别选择用什 作答，教师统一答
流新知，灵活
么方法求解？为什么？ 案．加减法和代入
运用
方程组Ⅰ中方程①中y的系数是1，选择用代入
法都是通过消元解
【设计意
法；方程组Ⅱ中y的系数互为相反数，选择用加减法．
图】 方程组，对一个方
问题2 方程组Ⅰ能直接用加减法求解吗？若不
强化学生对 程组用哪种方法解
能，要如何变形才能使用加减法？
二元一次方程
都可以，但是不同
不能．如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消
组解法的认
的解法在难度上会
去y，可以①×3－②×5.
识，能够选择
有差异，应根据方
合适的方法解
问题3 求出方程组的解．
方程组. 解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③ 程组的具体情况，
把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝ 选择适合它的解
0.4，x＝－1. 法．当方程组中任
把x＝－1代入③，得y＝3.5. 意一个未知数的系所以这个方程组的解是
(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.
把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.
所以这个方程组的解是
(2)选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题(“鸡
兔同笼”问题)．
解：设笼中有鸡x只，兔子y只．根据题意，得
①×2，得2x＋2y＝70.③
②－③，得2y＝24，y＝12.
把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.
所以这个方程组的解是
答：笼中有鸡23只，兔子12只．
数的绝对值不是
1，且相同未知数
【对应训练】
1．用合适的方法解下列方程组： 的系数不成整数倍
(1) 关系时，一般经过
变形，利用加减法
(2)
会使过程更简便．
解：(1)由①，得y＝3x－2.③
把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝.
把x＝代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是
(2)①×2，得4x－10y＝－42.③
②－③，得13y＝65，y＝5.
把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.
所以这个方程组的解是
2．某商场第一次用10 000元购进甲、乙两种商品
共180件，其中甲种商品每件进价60元，乙种商品每
件进价50元．该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件．
根据题意，得
解这个方程组，得答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件．
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或
“随堂作业”册子)相应课时【随堂训练】．
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并
请学生回答以下问题：
1．你能用加减法解稍复杂的二元一次方程组吗？你
能用加减法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？
2．对于一个二元一次方程组，你能选择最适合它的
活动四：随 解法吗？
堂训练，课堂 【知识结构】
总结
【作业布置】
1．教材P99习题10.2第3(3)(4)，6，7，10，12题．
2．《创优作业》主体本部分相应课时训练．
第2课时 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组
1．用加减法解同一未知数的系数都不相等或都不互
为相反数的二元一次方程组．
2．一般步骤：(1)变形；(2)加减；(3)求解；(4)回代；
板书设计
(5)写解．
3．加减法解二元一次方程组的实际应用．
4．选择合适的方法解二元一次方程组．
本节课是上节课的扩充和延续，通过类比用加减
法解简单的二元一次方程组来解决稍复杂的二元一次方
程组问题．课堂中采用引导式的教学方法，通过具体实
教学反思 例让学生主动思考、尝试，从而更深刻地领悟加减法，
进一步体会消元思想在解决数学问题中的应用．在本节
课最后，要对代入法和加减法解二元一次方程组进行总
结，让学生在练习中学会利用合适的方法解决问题.
解题大招一 用加减法解稍复杂的二元一次方程组
(1)当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，可适当变形后
消去这个未知数．这种情况一般只需对其中一个二元一次方程的系数乘相应倍
数即可，不需要对两个二元一次方程都进行变形．例1 解方程组：
解：①×4，得8x＋20y＝48.③
③－②，得23y＝46，y＝2.
把y＝2代入①，得x＝1.
所以这个方程组的解是
(2)当二元一次方程组中没有系数成倍数关系的相同未知数时，观察同一未
知数系数的绝对值，看哪一组的最小公倍数更小．比如下面这个例题，未知数
x的系数的绝对值为2，3，其最小公倍数是6，而y的系数的绝对值为2，5，其
最小公倍数是10，所以选择x作为“消元”目标更简便些．
例2 解方程组：
解：①×2，得6x－4y＝10.③
②×3，得6x＋15y＝48.④
④－③，得19y＝38，y＝2.把y＝2代入①，得3x－4＝5，x＝3.
所以这个方程组的解是
(3)对于未知数系数“互换”的情形，可直接采用两方程相加减来简化系数．
例3 解方程组：
解：①＋②，得60x＋60y＝180.
即60(x＋y)＝180，x＋y＝3.③
②－①，得14x－14y＝－14，
即14(x－y)＝－14，x－y＝－1.④
③＋④，得2x＝2，x＝1.
把x＝1代入③，得1＋y＝3，y＝2.
所以这个方程组的解是
解题大招二 二元一次方程组的同解问题
若两个含有字母系数的方程组同解，则可以将不含所求字母的两个方程联
立，组成新的方程组，求出新方程组的解，再将解代入另外两个含有字母系数
的方程组成的方程组中，求出字母的值．
例4 已知关于x，y的方程组
与
的解相同，求a，b的值．
解：解方程组
得
代入方程组
可得
解这个方程组，得
所以a的值为2，b的值为3.
注意：本题考查方程组同解的性质，掌握“同解方程组中的方程重新组合
为新方程组时，新方程组与原方程组的解相同”是解题关键．当遇到有关含字
母系数的二元一次方程组的解的问题时，通常要运用二元一次方程组的解的概
念，将解代入原方程组，再求解方程中的字母系数．
培优计划 二元一次方程组中的看错问题
例 已知关于x，y的方程组 小明在解方程组时看错
a，解得 小红在解方程组时看错b，解得求原方程组正确的解．
分析：小明看错方程①中的a，则
是方程②的解；小红看错方程②中的b，则
是方程①的解．据此得到a，b的值，代入原方程组再求解即可．
解：把 代入方程②，得－10＋7b＝4.解这个方程，得b＝2，即
正确的b的值为2.
把 代入方程①，得5a－3＝17.解这个方程，得a＝4，即正确的a
的值为4.
所以原方程组为 ，解这个方程组得
所以原方程组正确的解为
