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第 5 章 相交线与平行线（提高篇）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角” 为
了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角” 两大拇指代表被截直线，食指代
表截线 下列三幅图依次表示
A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
2．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航
行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
4．如图，在下列条件中，不能判定直线 与 平行的是（ ）A． B． C． D．
5．如图，直线 ， 相交于点 ， ， ， 平分 ，给
出下列结论：①当 时， ；② 为 的平分线；③若
时， ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图（1），在 中， ， 边绕点 按逆时针方向旋转一周回到原来的
位置．在旋转的过程中（图（2）），当 （ ）时， ．
A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
7．工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处
第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是( )
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°
8．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为( )A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°
C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
9．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则
∠DBC的度数为( )
A．10° B．15° C．18° D．30°
10．如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若
△ABC、△PB′C′的面积分别为 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如果 与 的两边分别平行， 比 的3倍少 ，则 的度数是( )
A． B． C． 或 D．以上都不对
12．观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是( )A．10 B．20 C．36 D．45
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．
14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．
15．如图，AB∥CD，∠B=160°，∠D=120°，则∠E=_________
16．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝
40°，则∠BED的度数为_____．
17．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将 沿MN翻折，得
△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =___°．
18．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC上
（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．三、（8分）解答题（本大题共6小题，共60分）
19．根据语句画图，并填空
①画 ；
②画 的平分线 ；
③在 上任取一点P，画 于D， 于E；
④画 交 于F；
⑤通过度量比较 的大小________；
⑥ ________．
20．（10分）完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ）．
∵ 平分 （已知），
∴ ________（ ）．
∴ （ ）．
∵ （已知），
∴ ________（ ）．
∴ （ ）．21．（10分）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
22．（10分）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点
F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．23．（10分）如图1，在三角形ABC中，点D是AC上的点，过点D作DM∥BC，点E在
DM上，且∠DEC＝∠B．
（1）求证：CE AB；
（2）将线段CE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠DEC＝70°，当
DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
24．（12分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路
两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立
即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯
A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即
PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN 2：1．
（1）填空：∠BAN ；=
（2）若灯B射线先转=_动___3__0°秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转
动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C
作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD 120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数
量关系是否发生变化？若不变，请求=出其数量关系；若改变，请说明理由．参考答案
1．B
【分析】
两条线a、b被第三条直线c所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角
称为同位角;两个角分别在截线的异侧,且夹在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角
互为内错角;两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互
为同旁内角,据此作答即可.
【详解】
解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
所以B选项是正确的,
【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别,属于简单题,解题的关键是掌握同位
角、内错角、同旁内角,并能区别它们.
2．D
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属
于中考常考题型．
3．A
【详解】
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此时的航行方向为北偏东30°，
故选A．
【点拨】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
4．C
【分析】
根据平行线的判定定理判断即可．
【详解】
∵ ，∴a∥b，∴A选项不符合题意；
∵ ，∴a∥b，∴B选项不符合题意；
∵ ，∴a∥b，∴D选项不符合题意；
∵ ，无法判断a∥b，∴C选项符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】
由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【详解】
解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵ ，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正确；
若 为 的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定 ，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
【点拨】本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．
6．C
【分析】
结合旋转的过程可知，因为 位置的改变， 与∠ A可能构成内错角，也有可能构
成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】
解：如图（2） ，
当∠ACB'=42°时，
∵ ，∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2） ，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当 或 时，CB'∥AB．
故选：C
【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程
中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
7．C
【分析】
需要分类讨论：从点A处向左边弯和从点A处想右边弯两种情况．
【详解】
如图1，
作AE∥BC，
则∠CBA+∠EAB=180°，
∵∠CBA=40°，
∴∠EAB=140°，如图2，作AE∥BC，
则∠CBA=∠EAB=40°；
综上所述，弯的角度是40°或140°．
故选C．
【点拨】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
8．C
【分析】
过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，
∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，
∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，
∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌
握平行线的性质是解题的关键．
9．B
【分析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】
由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选B.
【点拨】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.
10．C
【分析】根据平行线间的距离相等可知 ABC， PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等
即可得到答案． △ △
【详解】
解：∵△ABC沿着BC方向平移得到 A′B′C′，
∴AA′∥BC′， △
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC， PB′C′的高相等，
∴S 1 =S 2 ， △
故选：C．
【点拨】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应
点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
11．C
【分析】
由∠A与∠B的两边分别平行，即可得∠A与∠B相等或互补，然后分两种情况，分别从
∠A与∠B相等或互补去分析，即可求得∠A的度数．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补．
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=18°．
所以∠A=18°或126°．
故选：C．
【点拨】此题考查的是平行线的性质，如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．
此题还考查了方程组的解法．解题要注意列出准确的方程组．
12．D
【分析】
根据直线的条数与交点的个数写出关系式，然后把10代入关系式进行计算即可得解．
【详解】
2条直线相交，只有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多有6
个交点，…，n条直线相交，最多有 个交点，n=10时， 45．
故选D．
【点拨】本题考查了直线、射线、线段，写出直线条数与交点个数的表达式是解题的关键．
13．如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等
【分析】
根据命题的形式解答即可.
【详解】
将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为对顶
角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.
【点拨】此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，
准确确定命题中的题设和结论是解题的关键.
14．110°
【分析】
先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【详解】
解：如图：延长直线：
∵a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2-∠3=∠5=110°
故答案为：110°．
【点拨】本题考查平移问题，解答本题的关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质求
角．
15．40°
【分析】
延长AB交DE于F，由平行线的性质得出同位角相等∠EFB=∠D=120°，再由三角形的外
角性质即可求出∠E的度数．
【详解】
解：延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，∠D=120°，
∴∠EFB=∠D=120°，
∴∠E=∠B-∠EFB=40°．
故答案为40°．
【点拨】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行
推理计算是解题关键．
16．55°
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，可得∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.先根据角平分线的定义，
得出∠ABE＝∠CBE＝20°，∠ADE＝∠CDE＝35°，进而求得∠E的度数．
【详解】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC=40°，∠BAD＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC=20°，∠ADE＝∠CDE＝ ∠ADC=35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=20°+35°=55°.
故答案为55°．
【点拨】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确做出辅助线是解题的关键．本
题也考查了数形结合的数学思想.
17．95
【详解】
∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°.
在△BMN中，∠B=180°－（∠BMN＋∠BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°.
18．
【分析】
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积
法即可求出此时BP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S ABC＝ ×BC×AD＝ ×AC×BP，
△∴6×4＝5BP，
∴PB＝ ，
即BP最短时的值为： ．
故答案为： ．
【点评】
此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
19．图见解析， ；
【分析】
根据题意利用三角板和量角器画出对应的 ，对应的角平分线OC，线段PD，
PE，PF，再通过度量即可得出⑤PE=PD，利用平行线的性质“两直线平行，内错角相
等”得到 ，再由角平分线的性质“角平分线分得的两个角相等，都等于该
角的一半”从而得出 ，即可得出答案．
【详解】
解：①如图： 为所作；
②如图：OC为所作；
③如图：PD、PE为所作；
④如图：PF为所作；
⑤通过度量可得：PE=PD，
⑥∵PF//OB，
∴∠OPF=∠POB，
∵∠AOB=80°，OC平分∠AOB，
∴ ，
∵P在OC上，
∴∠POB=40°，
∴∠OPF=∠POB=40°．【点拨】本题考查了画角平分线、垂线和平行线，角平分线的性质，平行线的性质，熟练
使用直尺，量角器是画图的关键．
20．角的平分线的定义； ；角的平分线的定义；等式性质； ；等量代换；同旁内
角互补，两直线平行．
【分析】
根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．
【详解】
解： 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
平分 （已知）
∴ 2∠β（角平分线的定义）
∴ （等式性质）
（已知）
∴ 180°（等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角的平分线的定义； ；角的平分线的定义；等式性质； ；等量代换；
同旁内角互补，两直线平行．
【点拨】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定
是解决本题的关键．
21．（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．
【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝ ∠AOE、∠EOD＝
∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD
＝90°，由此即可证出OF⊥OD；
（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根
据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝ ∠AOE，再根据
邻补角互补结合∠EOF＝ ∠AOE，可求出∠EOF的度数．
【详解】
（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠FOE＝ ∠AOE，∠EOD＝ ∠EOB．
∵∠AOE+∠EOB＝180°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝ （∠AOE+∠EOB）＝90°．
∴OF⊥OD．
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝ ∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．【点拨】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互
补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD
的度数．
22．（1）证明见解析；（2）105°
【分析】
（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行
可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2= ∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【点拨】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性
质定理是本题的解题关键．
23．（1）见解析；（2）20°．
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE＝180°，等量代换得到∠BCE+∠B＝180°，于是
得到结论；
（2）如图2，过D作DN CE，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】
解：（1）∵DM BC，
∴∠DEC+∠BCE＝180°，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴CE AB；
（2）过D作DN CE，.
∴ ，
∵PQ CE，
∴DN PQ，
∴∠Q＝∠QDN，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠Q＝∠QDN＝∠EDQ EDN＝90° ＝20°．
【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（1）60；（2）当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD
关系不会变化．理由见解析.
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据
2t=1•（30+t），可得 t=30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t-180）=180，可得
t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-120°，∠BCD=120°-∠BCA=t-60°，即可
得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【详解】（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°× =60°，
故答案为60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，
又∵∠ABC=120°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点拨】考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想
进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
