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第 5 章 相交线与平行线（基础篇）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个图形中，可以由图 通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．图中的∠1、∠2可以是对顶角的是( )
A． B． C． D．
3．如图，∠1与∠2是同位角的是（ ）
① ② ③ ④
A．① B．② C．③ D．④
4．下列语句，不是命题的是（ ）
A．非负数大于 B．同位角不一定相等
C．画两条平行线 D．若 与 互补，则
5．如图，下列条件：① ：② ；③ ；④
，其中能判定 的有( )
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个6．如图， ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（ ）个．
①∠1＝∠4； ②∠3＝∠5；
③∠2+∠5＝180°； ④∠2+∠4＝180°
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )
A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1
9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，
若∠ABE＝25°，则∠EFC'的度数为（ ）
A．122.5° B．130° C．135° D．140°
10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的 ，第二次拐的 ，第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 是
（ ）
A． B． C． D．
11．将一直角三角尺与两边平行的纸条按如图所示放置，下列结论：
①∠1=∠2；②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知直线 ，将一块含30°角的直角三角板 按如图方式放置（ ），
点在直线 上，若 ，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．55°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
∵____________，∴a∥b．
14．如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∥c，则可将直线b绕点A逆时针旋转_________度.15．如图，已知 ，直线 分别与 相交于 两点，现把一块含 角的直角三角中
尺按如图所示的位置摆放．若 ，则 ___________．
16．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点
C平移的距离CC＇＝____.
17．如图，已知∠1＝75°，将直线m平行移动到直线n的位置，则∠2﹣∠3＝_____°．
18．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，
连PC，则线段PC的最小值是_____．三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ），
同理 ，
∴ ，
又∵ （已知）
∴ （ ），
∴ ．
20．（10分）如图，在正方形网格中有一个 ，按要求进行下列作图．
（1）过点 画出 的平行线；
（2）将 向右平移4格，向上平移2格，请画出经平移后得到的 ．21．（10分）已知：如图，AB∥CD， ．
求证：BF∥ED．
22．（10分）如图，点 在直线 上， 平分 ， ⊥ ．
（1）已知 ，求 的大小；
（2）若 ，请通过计算判断 是否平分 ．
23.（10分）直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC = 90°，∠ABC = ．
（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠ =60°，∠FAC =30°．求证：
EF∥GH;
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C 、B分别在直线EF、GH上，且BC
平分∠ABH，直线CD平分∠FCA交直线GH于D．在 取不同数值时，∠BCD的大小是
否发生变化？若不变求其值，若变化指出其变化范围．24．（12分）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我
们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图 ，点P在 、 内部，探究 ， ， 的
关系．小明过点P作 的平行线，可得到 ， ， 之间的数量关系是：
________________.
（2）如图2，若 ，点P在AC、BD外部， ， ， 的数量关系如何？
为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依
据．过点P作 ．
∴ （________________________________）
∵ ，
∴ （________________________________）
∴ ，
∵ ，
∴ ________________.（________________）
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．如图3，在小学中我们已知道，三角
形ABC中， ．试构造平行线说明理由.参考答案
1．D
【分析】平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可
解题.
【详解】
考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.
【点拨】本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题.
2．C
【分析】根据对顶角的定义，具有公共顶点且角的两边互为反向延长线对各图形分析判断
后进行解答．
【详解】
解：A、∠1与∠2不是对顶角，
B、∠1与∠2不是对顶角，
C、∠1与∠2是对顶角，
D、∠1与∠2不是对顶角，
故选C．
【点拨】本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题关键．
3．B【分析】同位角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截线的两条直线的同侧位置的
角．
【详解】
根据同位角的定义可知②中的∠1与∠2是同位角；
故选B．
【点拨】本题主要考查了同位角的判断，准确分析判断是解题的关键．
4．C
【分析】命题是判断一件事情的句子可由题设，结论两部分，命题不关注判断是否正确.
据此分析题目选项即可得到答案.
【详解】
因为A、B、D都是对一件事情的判断，都是命题；C是一个动作，祈使句，不是命题.
故答案为C.
【点拨】本题考查命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义.
5．B
【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可.
【详解】
① ，能得到 ，正确
② 能得到 ，正确；
③ ，不能判定平行，故错误；
④ ，得到AD∥BC，故错误，
故选B.
【点拨】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理.
6．B
【分析】根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故选B．【点拨】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，
内错角相等．
7．C
【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①∵∠1＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
②∵∠3＝∠5，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
③∵∠2+∠5＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；
④∠2和∠4不是同旁内角，所以∠2+∠4=180°不能判定直线a∥b．
∴能判断直线a∥b的有①②③，共3个．
故选C．
【点拨】本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能
推出两被截直线平行，解题时要认准各角的位置关系．
8．D
【分析】先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式
相加即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选D．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁
内角互补．
9．A
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和
∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．
【详解】
解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，
∴∠AEB＝ 65°；
由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝115°，
∴∠BEF＝ 57.5°；
∵∠EBC′＝∠D＝∠BC′F＝∠C＝90°，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝122.5°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握折叠的性质及平行线的性质是解
题的关键．
10．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得 ，进
而可得 ，然后问题可求解．
【详解】
解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．D
【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊
性解答．
【详解】
解：∵纸条的两边平行，
∴①∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）；②∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）；
④∠4＋∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
又∵直角三角板的直角为90°，
∴③∠2＋∠4＝90°，
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角
是正确答题的关键．
12．C
【分析】作直线a∥m，根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据三角形内角和定理，
即可得到结论．
【详解】
解：作直线a∥m，
∵直线m∥n，
∴直线a∥m∥n，
∴∠3=∠2，∠4=∠1=25°，又∵三角板中，∠ABC=30°，
则∠ACB=60°，
∴∠2=∠3=60°-25°=35°，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】
解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点拨】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
那么这两条直线平行．
14．15
【分析】先根据邻补角的定义得到（如下图）∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹
角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
【详解】
解：如图：
∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
故答案为：15．
【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关
键．15．
【分析】根据平行线的性质可得∠BDC的度数，然后根据角的和差即可得．
【详解】
如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为20°
【点拨】本题考查了平行线的性质、角的和差，属于基础题型，熟记各定义与性质是解题
关键．
16．5
【详解】
解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向
右平移了5个单位，
∴顶点C平移的距离CC′=5．
故答案为5．
【点拨】本题考查平移的性质，简单题目．
17．105
【分析】直接利用平移的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【详解】
由题意可得：m∥n，则∠CAD+∠1=180°．
∵∠3=∠4，∴∠4+∠CAD=∠2，∴∠2﹣∠3=∠CAD+∠3﹣∠3=∠CAD=180°﹣∠1=180°﹣
75°=105°．
故答案为105．【点拨】本题考查了平移的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，正确转化角的关
系是解题的关键．
18．
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，根据三角形的面积法求解即可；
【详解】
解：在Rt ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
∵当PC⊥A△B时，PC的值最小，
此时： •AB•PC= •AC•BC，
∴PC= ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了垂线段最短和三角形的面积等知识，解题的关键是学会理由面积法求
高，属于中考常考题型．
19． ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内
角互补
【分析】由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得
∠1+∠2=90°，可得出结论，据此填空即可．
【详解】
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠2= ∠ABC（角平分线的定义），
同理∠1= ∠BCD，
∴∠1+∠2= (∠ABC+∠BCD)，又∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），
∴∠1+∠2=90°．
故答案为： ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，
同旁内角互补．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的概念，结合网格作图即可；
（2）将点A、B、C分别向右平移4格，向上平移2格得到其对应点，再首尾顺次连接即
可得．
【详解】
解：（1）如图，直线l即为所求；
（2）如图所示， A′B′C′即为所求．
【点拨】本题主要△考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此
得到变换后的对应点．
21．证明见解析．
【分析】根据AB CD可以得到∠B+∠CGB=180°，再根据 可得
∠CGB=∠D，最后根据平行线的判定定理即可证明BF ED．
【详解】
证明：∵AB CD（已知），
∴∠B+∠CGB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵ （已知），
∴∠CGB=∠D（同角的补角相等）．
∴BF ED（同位角相等，两直线平行）．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定定理，熟练掌握以上知识点是解题关键．22．（1） ；（2） 平分
【分析】（1）根据OC平分∠BOD，可以得到∠BOC=∠DOC=26°，根据OE⊥OC，可以
得到∠EOC=90°，再根据∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，即可求解；
（2）根据OC平分∠BOD，可以得到∠BOC=∠DOC=α，根据OE⊥OC，可以得到
∠EOC=90°，从而得到∠AOE=90°-α，∠AOD=180°-2α，即可判断求解.
【详解】
解：（1）∵OC平分∠BOD，∠DOC=26°，
∴∠BOC=∠DOC=26°，
∵OE⊥OC，
∴∠EOC=90°，
又∵∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-∠EOC-∠BOC=64°；
（2） 平分 ，理由如下：
∵OC平分∠BOD，∠BOC=α，
∴∠BOD=2∠BOC=2α
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-2α，
∵∵OE⊥OC，
∴∠EOC=90°，
又∵∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-∠EOC-∠BOC=90°-α；
∴∠AOD=2∠AOE，
∴ 平分 .
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解.
23．（1）证明见解析；（2）不变，45°．
【分析】（1）要想求得两条直线平行，我们先要确定题中的内错角相等，即证明
∠EAB=∠ABC，由题知∠ABC=60º，∠FAC=30º，所以∠EAB=∠ABC=180°-∠BAC-
∠FAC=180°-90°-30°=60º，所以EF∥GH．
（2）过点A作AM平行EF和GH，本题利用平行线间的同旁内角互补，∠A=90º，求得
∠FCA+∠ABH=270º，在利用已知条件中的两个角平分线，得到∠FCD+∠CBH=135º，再利
用两直线平行，内错角相等，可知∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB =135º，所以可以求得∠BCD的度数．
【详解】
解：（1）先要确定题中的内错角相等，即证明∠EAB=∠ABC，
∵∠EAB=180°-∠BAC-∠FAC， ∠BAC = 90°， ∠FAC =30°
∴∠EAB=60°，
又∵∠ABC =60°，
∴∠EAB=∠ABC ，
∴ EF∥GH；
（2）经过点A作AM∥GH，又EF∥GH，
∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM=180°，∠MAB+∠ABH=180°，∠CBH=∠ECB ，
又∵∠CAM+∠MAB=∠BAC = 90°，
∴∠FCA+∠ABH=270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH=135° ，又∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB =135°，
∴∠BCD=180°-（∠FCD+∠ECB） =180°-135°=45° ．
考点：1．平角定义；2．平行线性质与平行公理推论的应用．
24．（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得 ， ， 之间的数量关系；（2）
过点P作 ，易知 ，根据两直线平行内错角相等可得 ，
等量代换可得结论；（3）过点A作直线 ，由两直线平行内错角相等
可得 ， ，由平角的定义知 ，等量代
换即可.
【详解】
解：（1）如图，过点P作 ．∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
所以 ， ， 之间的数量关系是：
（2）过点P作 ．
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴ （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条件直线也平行）
∴ ，
∵ ，
∴ ．（等量代换）
（3）过点A作直线 ，
∵ .
∴ ， （两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴ （等量代换）
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，通过构造平行线将角进行拆分或合并是解题的
关键.
