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第5章 相交线与平行线
一、单选题
1．下面四个图形中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两
个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角，分别判断即可．
【详解】解：A、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；
B、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；
C、有公共顶点，且两角两边互为反向延长线，选项正确.
D、没有公共顶点，两角没有互为反向延长线，选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的定义，根据定义解题是关键．
2．如图所示，点E在 的延长线上，下列条件中能判断 的是（ ）
A． B． C． D.
【答案】B
【分析】根据平行线的判定判断即可；
【详解】当 时， ，故A不符合题意；
当 时， ，故B符合题意；
当 时， ，故C不符合题意；
当 时， ，故D不符合题意；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．
3．如图，若 为 的平分线，则与 相等的角有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据角平分线定义可得∠BAC=∠DAC，利用平行线性质与对顶角性质可得
∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，即可得出结论．
【详解】解：∵ 为 的平分线，
∴∠BAC=∠DAC，
∵ ，
∴∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，
∴∠AOF=∠DCA=∠BAC=∠COE=∠BCA=∠DAC．
故选项D．
【点睛】本题考查角平分线定义，平行线性质，对顶角性质，掌握角平分线定义，平行线
性质，对顶角性质是解题关键．
4．下列图形中，线段 能表示点P到直线l的距离的是（ ）．
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离的定义“从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直
线的距离”，即可直接选择．
【详解】只有D选项 ，故D选项中线段PQ能表示点P到直线l的距离．
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线的距离的定义，理解并掌握点到直线的距离的定义是解答本题
的关键．5．下列现象中，属于平移现象的是（ ）
A．方向盘的转动 B．行驶的自行车的车轮的运动 C．电梯的升降D．钟
摆的运动
【答案】C
【分析】根据平移的定义：把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，
这种移动就叫做平移，进行判断即可．
【详解】解：A、方向盘的转动，不是平移，不符合题意；
B、行驶的自行车的车轮的运动，不是平移，不符合题意；
C、电梯的升降，是平移，符合题意；
D、钟摆的运动，不是平移，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，解题的关键在于能够熟练掌握平移的定义．
6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则
∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出
∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
7．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数
为（ ）A．30° B．32° C．42° D．58°
【答案】B
【详解】试题分析：如图，过点A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°
﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故选B．
考点：平行线的性质．
8．如图， 是直线 外一点， ， ， 三点在直线 上，且 于点 ， ，
则下列结论：①线段 是点 到直线 的距离；②线段 的长是点 到直线 的距离；
③ ， ， 三条线段中， 最短；④线段 的长是点 到直线 的距离．其中正确
的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线
外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】解：①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
9．如果 与 的两边分别平行， 比 的3倍少 ，则 的度数是( )A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】C
【分析】由∠A与∠B的两边分别平行，即可得∠A与∠B相等或互补，然后分两种情况，
分别从∠A与∠B相等或互补去分析，即可求得∠A的度数．
【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补．
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=18°．
所以∠A=18°或126°．
故选：C．
【点睛】此题考查的是平行线的性质，如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．
此题还考查了方程组的解法．解题要注意列出准确的方程组．
10．下列说法中正确的有（ ）
①在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行；②在同一平面内，不相交的两
条线段必平行；③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；
⑤两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．在同一
平面内，不相交的两条直线叫平行线．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错
角相等，据此进行判断．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故说法①正确．
②在同一平面内，不相交的两条线段可能平行，也可能不平行，故说法②错误．
③相等的角不一定是对顶角，故说法③错误．
④两条直线被第三条直线所截，所得同位角不一定相等，故说法④错误．⑤两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故说法⑤正确．
∴说法正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的概念，平行线的性质以及对顶角的概念的运用，同一平
面内的两条直线的位置关系为：平行或相交，对于这一知识的理解过程中，要注意：①前
提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
二、填空题
11．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
（1）内错角相等，两直线平行．_________．
（2）同角的补角相等．_____．
【答案】如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行 如
果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】找出原命题的条件和结论即可得出答案．
【详解】（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线
互相平行”是条件的结论．
（2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论．
故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行．
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，
“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
12．如图，三条直线 、 、 相交于一点O，则 ________度．
【答案】180
【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠4，再根据平角的定义即可得到结果．
【详解】∵∠1=∠4，
∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠2+∠3=180°．
故答案为：180．
【点睛】本题考查了对顶角的性质及平角，熟记对顶角相等是解题的关键．
13．将直角梯形 平移得梯形 ，若 ，则图中阴影部分
的面积为_________平方单位．【答案】36
【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，
恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
【详解】根据平移的性质得S =S ，
梯形ABCD 梯形EFGH
DC = HG = 10，MC= 2，MG = 4，
DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，
S = S -S
阴影 梯形ABCD 梯形EFMD
=S -S
梯形EFGH 梯形EFMD
=S
梯形HGMD
=
= ×(8+10)×4
= 36．
故答案为：36．
【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不变，
本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，
恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
14．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得
∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证
∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】解：作CG∥AB，DH∥EF，
∵AB∥EF，∴AB∥CG∥HD∥EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关
键．
15．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任
何地方的水平宽度都是2米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米．
【答案】（ab﹣2b）
【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是b米的平行四边
形，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的
面积即可．
【详解】解：由题可得，草地的面积是(ab﹣2b)平方米．
故答案为：(ab﹣2b)．
【点睛】本题考查了平移的实际应用．化曲为直是解题的关键．
16．如图，直线 、 相交于点 ， ， 为垂足，如果 ，则
________， ________．【答案】
【分析】根据对顶角相等可知 ，根据余角的定义求得 ，根据邻补角
的定义求得 ．
【详解】 ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，
掌握以上知识是解题的关键．
17．如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即
距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由：_____．
【答案】垂线段最短
【详解】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线
段．
18．如图，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中，一定能判定 ∥ 的条件有_____________（填写所有正确的序
号）．
【答案】①③④
【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．【详解】① ∵ ，
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行），正确；
② ∵ ，
∴ ∥ ，错误；
③ ∵ ，
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行），正确；
④ ∵ ，∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），正确；
⑤ 不能证明 ∥ ，错误，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
三、解答题
19．根据下列语句画出图形：
（1）过线段AB的中点C，画CD⊥AB；
（2）点P到直线AB的距离是3cm，过点P画直线AB的垂线PC；
（3）过三角形ABC内的一点P，分别画AB，BC，CA的平行线．
【答案】见解析
【分析】（1）根据线段中点和垂直的定义画图；
（2）根据点到直线的距离画图；
（3）根据平行线的性质画图．
【详解】解：（1）如图所示，AC=CB，CD⊥AB；
（2）如图所示，点P到直线AB的距离是3cm， AB⊥PC；
（3）如图所示，PD∥AB，PE∥BC，PF∥CA．．
【点睛】本题考查了基本作图，在作垂线、平行线时可以不用直尺和圆规作图，可以利用
三角板．
20．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B
后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．如果PQ//RS，AB，BC，
CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，那么，
球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？
【答案】球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．
【分析】根据平行线的判断与性质以及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．理由如下：
∵PQ∥RS，∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，
∴BN∥CM，
∴∠CBN=∠BCM，
又∵∠ABC=2∠CBN，∠BCD=2∠BCM，
∴∠ABC=∠BCD，
∴CD∥AB．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解
题的关键．
21．完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），∴ （ ）．
∵ 平分 （已知），
∴ ________（ ）．
∴ （ ）．
∵ （已知），
∴ ________（ ）．
∴ （ ）．
【答案】角的平分线的定义； ；角的平分线的定义；等式性质； ；等量代换；同
旁内角互补，两直线平行．
【分析】根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．
【详解】解： 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
平分 （已知）
∴ 2∠ β （角平分线的定义）
∴ （等式性质）
（已知）
∴ 180°（等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角的平分线的定义； ；角的平分线的定义；等式性质； ；等量代换；
同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定
是解决本题的关键．
22．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝
25°，求∠AOC与∠EOD的度数．
【答案】∠AOC＝115°，∠EOD＝25°
【分析】由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC
的度数；由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．
【详解】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
又∵∠BOF＝25°，∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，
∴∠AOC＝∠BOD＝115°，
又∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOF＝25°，
∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，
∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．
【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出
所求角与已知角的关系．
23．如图，A、B、C三点在同一直线上， ，试说明 ．
证明：∵ （已知）
∴________//________（________________）
∴ ________（________________）
又∵ （________）
∴ ________ ________（________________）
∴ （________________）．
【答案】 ，内错角相等，两直线平行； ，两直线平行，内错角相等；已知，
，3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】由 ，根据内错角相等，两直线平行，可证得 ，继而证得
，又由 ，可证得 ，继而证得 ．
【详解】证明： 已知 ，
内错角相等，两直线平行 ，
两直线平行，内错角相等 ，
又∵ （已知），等量代换 ，
内错角相等，两直线平行 ．
故答案为： ， ，内错角相等，两直线平行； ，两直线平行，内错角相等；已
知， ，3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟悉相关证明过程是解题的关键．
24．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部
分种上各种花草．
（1）求种花草的面积；
（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？
【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元
【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案；
（2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）
（平方米）
答：种花草的面积为42平方米；
（2） （元）
答：每平方米种植花草的费用是110元．
【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有
道路平移到矩形的边上进行计算．
25．如图，某工程队从 点出发，沿北偏西 方向修一条公路 ，在 路段出现塌陷
区，就改变方向，在 点沿北偏东 的方向继续修建 段，到达 点又改变方向，使所
修路段 ，求 的度数.【答案】
【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出 的度数，根据
CE∥AB即可得出结论．
【详解】∠ECB=90°．
理由：∵∠1=67°，
∴∠2=67°．
∵∠3=23°，
∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．
∵CE∥AB，
∴∠ECB=∠CBA=90°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
26．探究题：
（1）已知：三角形 ，求证： ；小明同学经过认真思考，他过
点C作 ，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题．你能说出小明是怎么解决
这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形 ，满足
，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质及平角的性质即可求解；
（2）连结 ，利用三角形内角和将 转化为
，从而得出 ．
【详解】（1）∵
∴ ，
∵B、C、D在同一直线上
∴∠ACB+∠1+∠2=180°
∴ ；
（2）如图，连结 ，得到△ABC、△ACF、△CDF、△DEF
∴∠B+∠BAC+∠ACB=∠ACF+∠AFC+∠CAF=∠FCD+∠CDF+∠CFD=∠E+∠EDF+∠DFE=180°
∵∴ =
化解得360°-∠AFC+∠FCD=360°-∠FCD+∠AFC
∴2∠FCD=2∠AFC
则∠FCD=∠AFC
∴ ．
【点睛】此题主要考查平行线的判断与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．
