第七章平行线中的拐点模型（5大模型）（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（2025春季新版）持续更新_05习题试卷_单元知识点+测试

第七章 平行线中的拐点模型 目录 【模型总结】 模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型2：铅笔头模型 模型3：牛角模型 模型4：羊角模型 模型5：蛇形模型（“5”字模型） 【模型总结】 模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1， 已知：AM BN，结论： APB= A+ B； 已知： APB= A+ B，结论：AM BN. 如图2，已知：AM BN，结论： P+ P= A+ B+ P ① ∥ ∠1 3 ∠ ∠ ②2. ∠ ∠ ∠ ∥ 如图3，已知：AM BN，结论： P+ P+...+ P = A+ B+ P+...+ P ∥ ∠ 1 ∠ 3 ∠ ∠ 2n+1∠ 2 2n. 【模型证明】 ∥ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ， 2 1 3 故答案为：∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ， 2 1 3 （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P 2 2n 1 3 5 2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P 2 2n 1 3 5 2n+1 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图， ，求 的度数．【答案】 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作 ， 结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过点G，F，E作 ． ， ∵ ． ∴ ． ∴ ， ∵ ． ∴ ， ∵ ． ∴ ． ∴ ， ∴ ． 巩固训练 ∴ 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线 ，直线 与直线 、 分别相交于C、D两点． (1)如图 ，有一动点P在线段 之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中， 又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段 之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) ，理由见解析 (2)不成立， ，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点 作 ，则 ，则 ， ，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解： ，理由如下， 过点 作 ， ， ， ， ， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论： ，理由如下： 过点 作 ． ， ， ∴ ， ，即 ． 2．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知 ，求证： ；小明想 到了以下方法，请帮助他完成证明过程：证明： (1)如图1，过点 作 ，则 ___________．（ ） ， __________（ ） ____________（ ） 又 ， ． (2)如图2， ，请写出 的和并说明理由； (3)如图3， ，请直接写出图3中 的和． 【答案】(1) ；两直线平行，内错角相等； ；平行于同一直线的两条直线平行； ；两直线平 行，内错角相等 (2) ，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点 作 ，则 ，证明 ，可得 ，再结合角的和 差运算可得答案； （2）过点 作 ，证明 ，可得 ，结合 ，从而可得答案； （3）过点 分别作 ，可得 ，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点 作 ，则 （两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又 ， ； 故答案为： ；两直线平行，内错角相等； ；平行于同一直线的两条直线平行； ；两直线平 行，内错角相等； （2）解： ， 理由如下：过点 作 ， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又 ， ； （3）解：如图：过点 分别作 ，而 ， ， ， ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图 ， ，试问 与 的关系是什么？并说 明理由； ① （2）如图 ， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图②， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论． ③ 【答案】（1） ，见解析；（2） ；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应 用． （1）过点 作 ，从而推出 ，根据两直线平行，内错角相等，可知 ， ，从而推出 与 的关系； （2）分别过点 ， ， ，作 ， ， ，从而推出 ，根据两直线平行，内错角相等，可推出 与 的关系； （3）分别过点 ， ， ， ， ，作 ， ， ， ， ， 从而知道 ，根据两直线平行，内错角相等，可推出 与的关系． 【详解】解：（1） ，理由如下： 如图，过点 作 ， ， ， ， ， ， ； （2）同理（1）得： ，理由如下： 分别过点 ， ， ，作 ， ， ， ， ， ， （3）同理（1）得： ． 理由如下：分别过点 ， ， ， ， ，作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图 ，直线 ，点 在两平行线之间，点 在 上，点 在 ① 上，连接 ．