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教材习题答案
第一章 预备知识 ．
６，７，８，９｝＝｛６，８，９｝； （４）（－∞，２］∪［３，７）∪［１０，＋∞）
Ａ Ｂ Ａ Ｃ {ｙ ｘ {ｘ
（４）（ ∩ ）∪（ ∩ ）＝｛８，９｝∪｛６，８， ９．联立 ＝２ ， 解得 ＝５， Ａ Ｂ
§1 集合 ． ｙ ｘ ｙ ∴ ∩ ＝
９｝＝｛６，８，９｝ ＝ ＋５， ＝１０，
３．Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ ．
∩ ＝｛ ｜－１＜ ≤２｝， ∪ ＝｛ ｜－１≤ ｛（５，１０）｝
１．１ 集合的概念与表示 ． {ｙ ｘ
＜３｝ 联立 ＝２ ， 解集为空集
练习 ４．如图． ｙ ｘ ，
＝２ ＋１，
１．Ｂ． Ａ Ｃ ．
∴ ∩ ＝⌀
２． １０．因为Ａ Ｂ Ａ 所以Ｂ Ａ 所以ｎ２ Ａ．
（１）∈，∉，∈，∉； ∪ ＝ ， ⊆ ， ∈
因为Ａ ｎ Ｂ ｎ２ 所以ｎ２
（２）∈，∉，∉，∈， ＝｛１，３， ｝， ＝｛１， ｝，
∈，∉，∉，∈， ＝３
或ｎ２
＝
ｎ
，
解得ｎ
＝－ ３
或ｎ
＝ ３
或
练习（第 页） ｎ 或ｎ ．
∉，∉，∈，∈； １１ ＝０ ＝１
３．
（３）∈
描
，
述
∉
法
．
ｘ ｘ２ 或列举法
１．Ａ ∩（∁Ｕ Ｂ ）＝｛２，４，６｝∩｛２，４，５｝＝｛２， 经检验
，
ｎ
＝１
不合题意
，
所以 ｎ
＝－ ３
（１） ：｛ ｜ －４＝０｝， ： ４｝， 或ｎ 或ｎ ．
Ａ Ｂ ＝ ３ ＝０
｛－２，２｝； （∁Ｕ ）∩（∁Ｕ ）＝｛１，３，５，７｝∩｛２，４，５｝ １１．Ｍ ｘ ｘ２ Ｍ Ｎ Ｎ
描述法 ｘ Ｎ ｘ 或列举 ． ＝｛ ｜ ＝１｝＝｛１，－１｝，∵ ∩ ＝ ，
（２） ：｛ ∈ ＋｜３ －４＜２｝， ＝｛５｝ Ｎ Ｍ．
法 ２． Ａ ｘ ｘ ∴ ⊆
：｛１｝； ∁Ｒ ＝｛ ｜ ≤１｝； 当ａ 时 Ｎ ｘ ａｘ 满足
列举法 ． 因为Ａ Ｂ ｘ ｘ ＝０ ， ＝｛ ｜ ＝１｝＝⌀，
（３） ：｛（－３，０），（０，３）｝ ∩ ＝｛ ｜１＜ ＜３｝， 题意
４． （１）（１，＋∞）； 所以 ∁Ｒ（ Ａ ∩ Ｂ ）＝｛ ｘ ｜ ｘ ≤１ 或ｘ ≥３｝ ． ； {
（２）（－∞，１］ ． ３． ∁Ｒ Ａ ＝（－∞，－３）∪［４，＋∞）； 当ａ ≠０ 时 ， Ｎ ＝｛ ｘ ｜ ａｘ ＝１｝＝ ｘ ｘ ＝
１．２ 集合的基本关系 因为Ａ ∩ Ｂ ＝［－３，２］， 所以 ∁Ｒ（ Ａ ∩ Ｂ ）＝ }
练习 （－∞，－３）∪（２，＋∞）； １ ． Ｎ Ｍ １ 或 １ 解
因为Ａ Ｂ 所以 Ａ Ｂ ａ ∵ ⊆ ，∴ ａ ＝１ ａ ＝－１，
１． ∪ ＝（－∞，４）， ∁Ｒ（ ∪ ）＝
（１）∉，⫌，＝，⫋，＝； ． 得ａ 或ａ ．
［４，＋∞） ＝１ ＝－１
（２）⫋，⫋； ４． Ａ ｘ ｘ是直角三角形或ｘ是钝角三 Ｂ组
． ∁Ｕ ＝｛ ｜
（３）⊆ 角形 １． ｘ
２． ｘ ｘ是 的正因数 ｝； （１）∵ ｜ －２｜＝４，
（１）｛１，２，３｝⫋｛ ｜ ６ ｝； Ａ Ｂ ｘ ｘ是直角三角形 ． ｘ 或ｘ ．
ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ ｘ ｘ ｋ ｋ ∁Ｕ（ ∪ ）＝｛ ｜ ｝ ∴ ＝－２ ＝６
（２）｛ ｜ ＝３ ， ∈ ｝⫌｛ ｜ ＝６ ， ∈ 习题1-1 又 ｘ Ｎ ｘ
Ｚ ． ∵ ∈ ，∴ ＝６，
｝ Ａ组 ｘ Ｎ ｘ ．
证明 任取ａ ｘ ｘ ｋ ｋ Ｚ 则ａ ∴ ｛ ∈ ｜｜ －２｜＝４｝＝｛６｝
： ∈｛ ｜ ＝６ ， ∈ ｝， ＝ １． ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｉ ｃ ｓ 有限集 ｘ ｘ 且ｘ Ｚ
ｋ ｋ ｎ ｎ Ｚ （１）｛ ， ，， ， ，， ， ｝， ； （２）∵ ｜ ＋２｜＋｜ －２｜＝４ ∈ ，
６ ＝３·２ ＝３ ， ∈ ， ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ 无限集 ｘ
则ａ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ （２）｛ ｜ ＝４ ＋３， ∈ ｝， ； ∴ ＝－２，－１，０，１，２，
又因
∈
为
｛ ｜ ＝
ｘ
３
ｘ
， ∈
ｎ ｎ
｝；
Ｚ 但 ｘ （３）｛
ｘ
｜
ｘ２
＋
ｘ
＋１＝０｝，
空集
； ∴ ｛
ｘ
∈
Ｚ
｜｜
ｘ
＋２｜＋｜
ｘ
－２｜＝４｝＝｛－２，－１，
３∈｛ ｜ ＝３ ， ∈ ｝， ３∉｛ ｜ ｘ ｙ ｙ ｘ 无限集． ．
ｘ ｋ ｋ Ｚ （４）｛（ ， ）｜ ＝ ｝， ０，１，２｝
＝６ ， ∈ ｝， ２． Ａ ２． 部分 Ａ Ｂ
所以 ｘ ｘ ｎ ｎ Ｚ ｘ ｘ ｋ ｋ （１） ＝｛－１，１｝； Ⅰ ： ∩ ；
Ｚ ． ｛ ｜ ＝３ ， ∈ ｝⫌｛ ｜ ＝６ ， ∈ （２） Ｂ ＝｛０，３，４，５｝ ． Ⅱ 部分 ： Ａ ∩（∁Ｕ Ｂ ）；
３．
｝ ３．
（１）｛
ｘ
｜
ｘ
＝
ｎ２
，１≤
ｎ
≤５，
且ｎ
∈
Ｎ
｝； Ⅲ
部分
：（∁Ｕ
Ａ
）∩
Ｂ
；
（１）⌀，｛０｝； { } 部分 Ａ Ｂ 或 Ａ Ｂ ．
ｘ Ｚ ３６ Ｚ ． Ⅳ ：∁Ｕ（ ∪ ）（ （∁Ｕ ）∩（∁Ｕ ））
（２）⌀，｛１｝，｛２｝，｛３｝，｛１，２｝，｛１，３｝， （２） ∈ ｘ ∈ ３．设Ｕ 高一 班 名同学 Ａ 高
． ＝｛ （１） ５０ ｝， ＝｛
４．
｛
略
２
．
，３｝，｛１，２，３｝ ４．
（１）｛
ｘ
｜－
ｘ２
＋６＞０｝；
一
（１）
班参加数学活动的同学
｝，
Ｂ
＝
ｙ ｙ ｘ２ 高一 班参加物理活动的同学
（２）｛ ｜ ＝－ ＋６｝； ｛ （１） ｝，
１．３ 集合的基本运算 ｘ ｙ ｙ ｘ２ Ａ 表示有限集合 Ａ 中元素的个
（３）｛（ ， ）｜ ＝－ ＋６｝； ｃａｒｄ（ ）
练习（第 页） ． 数 则 Ｕ Ａ
９ （４）｛（１，５），（２，２）｝ ， ｃａｒｄ（ ）＝ ５０，ｃａｒｄ（ ）＝ ３０，
１．Ａ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－１６＝０｝＝｛－４，４｝，
５．
∵ ｛１，２｝⊆
Ａ
，
且Ａ
⫋｛１，２，３，４｝， ｃａｒｄ（
Ｂ
）＝２６，ｃａｒｄ（
Ａ
∩
Ｂ
）＝１５，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜
ｘ３
＋６４＝０｝＝｛－４｝， ∴
集合 Ａ 为
｛１，２｝，｛１，２，３｝
或
｛１，２，
所以
ｃａｒｄ（
Ａ
∪
Ｂ
）＝ｃａｒｄ（
Ａ
）＋ｃａｒｄ（
Ｂ
）－
所以Ａ Ｂ Ａ Ｂ ． ． Ａ Ｂ
∩ ＝｛－４｝， ∪ ＝｛－４，４｝ ４｝ ｃａｒｄ（ ∩ ）＝３０＋２６－１５＝４１，
２． 因为Ａ Ｂ ６． Ａ Ｂ 所以既没有参加数学活动 也没有参加
（１） ∩ ＝｛８，９｝， （１） ⫋ ； ，
所以Ａ Ｂ Ｃ 由题意 得Ｇ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｎ 物理活动的人数为 Ａ Ｂ
∩ ∩ ＝｛８，９｝∩｛２，６，８，９｝＝ （２） ， ＝｛ ｜ ＝２ ， ∈ ｝， ｃａｒｄ（∁Ｕ（ ∪ ））＝
Ｈ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｎ 所以Ｇ Ｈ． Ｕ Ａ Ｂ ．
｛８，９｝； ＝｛ ｜ ＝４ ＋２， ∈ ｝， ⫌ ｃａｒｄ（ ）－ｃａｒｄ（ ∪ ）＝５０－４１＝９
因为Ａ Ｂ ７． Ａ Ｂ Ｕ且Ａ Ｂ ４． Ａ Ｂ Ａ
（２） ∪ ＝｛１，３，６，７，８，９｝， ∵ ∪ ＝ ∩ ＝⌀， ① ＝｛１，２，３，４｝， ＝｛５，６｝；② ＝｛２，
所以 Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ． Ｂ Ａ Ｂ
∪ ∪ ＝｛１，３，６，７，８，９｝∪ ∴ ∁Ｕ ＝ ，∁Ｕ ＝ ４，５，６｝， ＝｛１，３｝；③ ＝｛１，３，５｝， ＝
８． 答案不唯一 ．
｛２，６，８，９｝＝｛１，２，３，６，７，８，９｝； （１）（－∞，３）∪［７，＋∞）； ｛２，４，６｝（ ）
因为Ｂ Ｃ ５． 当 ａ 时 Ａ Ｂ
（３） ∪ ＝｛１，２，３，６，７，８，９｝， （２）（－∞，２］∪［１０，＋∞）； （１） ＝１０ ， ＝［２１，２５］， ＝［３，
所以Ａ Ｂ Ｃ
∩（ ∪ ）＝｛６，８，９｝∩｛１，２，３， （３）（２，３）∪［７，１０）； ２２］，
１
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以Ａ Ｂ Ａ Ｂ ． 的一组对边平行且相等 的必要条件． 习题1-2
∩ ＝［２１，２２］， ∪ ＝［３，２５］ ”
因为Ａ Ｂ Ａ 所以Ａ Ｂ． 已知方程ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 则 Ａ组
（２） ∩ ＝ ， ⊆ （４） ＋ ＋ ＝０（ ≠０），
{ ａ ａ {ａ ｘ ｘ 是方程的两个实根 是 ｘ ｘ １． 充分 充分 充要
２ ＋１＜３ －５， ＞６， “ １， ２ ” “ １＋ ２＝ （１） ；（２） ；（３） ；
所以 ａ 即 ａ ｂ ｂ 必要 必要 充分
２ ＋１≥３， ≥１， 的充分条件 ｘ ｘ 是 （４） ；（５） ；（６） ；
ａ ａ － ａ ” ；“ １＋ ２ ＝－ ａ ” 充分 充分．
３ －５≤２２， ≤９， （７） ；（８）
故实数ａ的取值范围为 ． ｘ ｘ 是方程的两个实根 的必要 ２． 正确 错误 正确 错误．
（６，９］ “ １， ２ ” （１） ；（２） ；（３） ；（４）
条件． ３． 分数不都是有理数
§2 常用逻辑用语 练习（第 页） （１）
存在一个正方形 不
；
是菱形
１８
（２） ， ；
２．１ 必要条件与充分条件
１．
（１）
充分条件
；（２）
充分条件
；（３）
必要
（３）∀ ｘ ∈ Ｒ ， 有ｘ２ －２≠０；
条件 充要条件．
；（４） ｘ Ｒ 使ｘ２ ｘ ．
练习（第 页） （４）∃ ∈ ， ＋２ ＋２＞０
１５ ２． 因为 １ 不能推出 ｘ 如ｘ ４． 由Ａ 可推出Ａ Ｂ
１． Ａ Ｂ 是 Ａ 的必要条件． （１） “ ｘ ＜１” “ ＞１”（ （１） ＝⌀ ⊆ ，
（１）“ ⊆ ” “ ＝⌀” 但Ａ Ｂ时 集合Ａ不一定是空集
四边形的对角线互相垂直且相 ⊆ ， ，
（２）“ 而 ｘ 可以推出 １ 即ｑ Ａ 是 Ａ Ｂ 的充分不必要条
等 是 四边形为正方形 的必要条件． ＝－１）， “ ＞１” “ ｘ ＜１”， ∴ “ ＝⌀” “ ⊆ ”
” “ ” 件．故正确．
两条直线被第三条直线所截 同 ｐ 所以 ｐ 不是 ｑ 的充分条件 ｐ 是 ｑ
（３） ，“ ⇒ ， ， Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｂ
位角相等 是 两条直线平行 的必要 的必要条件 即 ｐ 是 ｑ 的必要不充分 （２）∵ ∩ ＝ ⇒ ⊆ ，
” “ ” ， Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ
条件． 条件． ⊆ ⇒ ∩ ＝ ，
Ａ Ｂ Ａ 是 Ａ Ｂ 的充要条件．故
２．
（１）
ｐ不能推出ｑ
，“
ｘ
＝
ｙ
”
不是
“
ｘ２
＝
ｙ２
” （２）
因为
“
四边形的对角线相等
”
不能
正
∴
确
“
．
∩ ＝ ” “ ⊆ ”
的必要条件． 推出 四边形是矩形 如四边形可能
“ ”（ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
ｑ
⇒
ｐ
，“
ｘ２
＝
ｙ２
”
是
“
ｘ
＝
ｙ
”
的必要条件． 为等腰梯形
），
而
“
四边形是矩形
”
可以
Ａ
（３）
Ｂ
∵
Ａ
∩（∁Ｕ
Ｂ
）＝⌀⇒ ⊆ ，
ａ ｂ 推出 四边形的对角线相等 所以ｐ是 ⊆ ⇒ ∩（∁Ｕ ）＝⌀，
ｐ ｑ 是 ａ ｂ ｃ 的 “ ”， Ａ Ｂ 是 Ａ Ｂ 的充要条
（２） ⇒ ，“ ｃ ＝ ｃ ” “ ＝ ， ≠０” ｑ的必要不充分条件． ∴ “ ∩（∁Ｕ ）＝⌀” “ ⊆ ”
件．故正确．
必要条件． 因为ｐ ｑ ｑ ｐ 所以ｐ是ｑ的充要
（３） ⇒ ， ⇒ ， 若 ｘ Ａ 则ｘ Ｂ Ａ Ｂ
ａ ｂ 条件． （４）∵ ∀ ∈ ， ∈ ⇒ ⊆ ，
ｑ ｐ ａ ｂ ｃ 是 的必要 Ａ Ｂ 若 ｘ Ａ 则ｘ Ｂ
⇒ ，“ ＝ ， ≠０” “ ｃ ＝ ｃ ” ３．若ｘ Ａ 不妨令ｘ 则ｘ Ｂ 即ｐ不 ⊆ ⇒ ∀ ∈ ， ∈ ，
∈ ， ＝４， ∉ ， 若 ｘ Ａ 则ｘ Ｂ 是 Ａ Ｂ 的充
条件． 能推出ｑ 若ｘ Ｂ 设ｘ ｋ ｋ ∴ “ ∀ ∈ ， ∈ ” “ ⊆ ”
； ∈ ， ＝４ ＋２＝２（２ ＋ 要条件．故正确．
ｐ不能推出ｑ 整数的个位数字为 ｋ Ｚ 则ｘ Ａ 可得ｑ ｐ．所以ｐ是
（３） ，“ １）， ∈ ， ∈ ， ⇒ ５．略．
不是 整数能被 整除 的必要条件． ｑ的必要不充分条件 ｑ 是 ｐ 的充分不
５” “ ５ ” ， ６．略．
ｑ ｐ 整数能被 整除 是 整数的个 必要条件．
⇒ ，“ ５ ” “ Ｂ组
位数字为 的必要条件．
５” ２．２ 全称量词与存在量词
１．
ｐ ｑ 两个三角形的面积相等 是 （１）（－∞，－２］∪［２，＋∞）；
（４） ⇒ ，“ ”
１ 练 ． “ ｑ “ （ 习 １ 两 两 不 ） （ 个 个 能 因 第 三 三 推 为 １６ 角 角 出 若 页 形 形 ｐ ） ａ ｂ ， 的 全 “ ＝ 面 等 两 ｂ ｃ 积 ” 个 的 （ 相 三 ｂ 必 ｃ 等 角 ≠ 要 ” 形 ０ 条 的 ） 全 ， 件 必 则 等 要 ． ” ｂ 条 ２ 不 ＝ 件 是 ａ ． ｃ １ 练 ． 的 个 （ （ 习 ２ １ ” ” ） ） （ ； ； 全 全 全 第 称 称 称 ２０ 量 量 量 页 词 词 词 ） 命 命 命 题 题 题 ， ， 全 全 全 称 称 称 量 量 量 词 词 词 是 是 是 “ “ 任 所 每一 意 有 ２． （ ｙ （ ∀ ｎ ３ ２ ＝ ｎ ） ） ＞ ｚ （ ａ ｎ ２ － ＝ 都 ∞ 且 － 没 ， ２ １ ｎ － 有 ∈ （ ２ 答 ） 正 Ｚ ． ， 案 整 关 不 数 于 唯 解 ｘ 一 ． ， ｙ ） ， ； ｚ的方程ｘｎ ＋
（３） ， “
§3 不等式
为真命题 即ｐ ｑ 所以ｐ是ｑ的充分 的
， ⇒ ， ”；
条件． 全称量词命题 全称量词是
（４） ， “∀”； ３．１ 不等式的性质
ａ ｂ 全称量词命题 全称量词是 ．
当ａ
＝
ｂ
＝０
时
，
ｂ２
＝
ａｃ 成立
，
但
ｂ ＝ ｃ ２．
（５）
全称量词命
，
题 不是存
“
在
∀
量
”
词 练习
（１） ，
ｂｃ 不成立 即ｑ不能推出ｐ 所以 命题 １．略．
（ ≠０） ， ， ；
ｐ不是ｑ的必要条件． 存在量词命题 存在量词是 有 ２．设图 图 中两个广告牌的面积
（２） ， “ （１）， （２）
ｐ ｑ 所以 ｐ 是 ｑ 的充分条件 些 分别为Ｓ Ｓ 可直观比较得出Ｓ Ｓ
（２） ⇒ ， ； ”； １， ２， １≥ ２，
ｑ ｐ 所以ｐ是ｑ的必要条件． 存在量词命题 存在量词是 存在 ａ２ ｂ２
⇒ ， （３） ， “ 即 ＋ ａｂ．
ｐ不能推出ｑ 所以ｐ不是ｑ的充分 一条 ≥
（３） ， ”； ２
条件 ｑ ｐ 所以ｐ是ｑ的必要条件． 存在量词命题 存在量词是 存在 ３． 考虑两个代数式的差 因为
； ⇒ ， （４） ， “ （１） ，
２． 在一个平面内 两条直线垂直于 一个 ． ｘ ２ ｘ ｘ ｘ２ ｘ
（１） ，“ ” （ －２） －（ －１）（ －３）＝（ －４ ＋４）－
同一条直线 是 这两条直线平行 的 练习（第 页） ｘ２ ｘ
” “ ” ２２ （ －４ ＋３）＝１＞０，
充分条件 两条直线平行 是 这两条 １． 存在一个实数ｘ 使ｘ２ ｘ 所以 ｘ ２ ｘ ｘ
；“ ” “ （１） ， ≤ ； （ －２） ＞（ －１）（ －３）；
直线垂直于同一条直线 的必要条件． 存在三个连续整数 ｎ ｎ ｎ 因为 ｘ２ ｘ ｘ ｘ２ ｘ
” （２） ０， ０＋１， ０＋２ （２） ＋２ －（３ －１）＝ － ＋１＝
ａ ｂ ｃ 是 ａｃ ｂｃ 的充分条件 ｎ Ｚ 都不是 的倍数 ( ) ２
（２）“ ＞ ， ＜０” “ ＜ ” ； （ ０∈ ）， ３ ； ｘ １ ３
ａｃ ｂｃ 是 ａ ｂ ｃ 的必要条件． 有的矩形不是平行四边形 － ＋ ＞０，
“ ＜ ” “ ＞ ， ＜０” （３） ； ２ ４
四边形的一组对边平行且相等 有的平行四边形不是菱形 所以ｘ２ ｘ ｘ ．
（３）“ ” （４） ； ＋２ ＞３ －１
是 四边形是平行四边形 的充分条 ｘ Ｑ 使 ｘ２ ｘ Ｑ ４．由题意 若正常收购 则粮食收购站需
“ ” （５）∃ ∈ ， ３ ＋２ ＋１∉ ； ， ，
件 四边形是平行四边形 是 四边形 α ° ° α α． 支出 ｍａ ｎｂ 元
；“ ” “ （６）∀ ∈（０ ，９０ ），ｓｉｎ ≠ｃｏｓ （ ＋ ） ，
２
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ａ ｂ 由题意 得 ａｂ ．根据基本不等式
以两种价格的平均数收购 需支出 ＋ １ ａ １ ， ＝１００ ，
， ２ ａ －１ ＋１≥２ （ －１）·ａ －１ ＋１＝２＋１＝３， 得Ｌ ＝２（ ａ ＋ ｂ ）≥２·２ ａｂ ＝４ ａｂ ＝４０，
ｍ ｎ 元．
·（ ＋ ） 当且仅当 ａ １ 即 ａ 时 等号 当且仅当ａ ＝ ｂ ， 即ａ ＝１０， ｂ ＝１０ 时 ， 等号
ｍａ ｎｂ ａ ＋ ｂ ｍ ｎ １ ｍａ ｎｂ ｍｂ －１＝ａ －１ ， ＝２ ， 成立．
＋ － ２ （ ＋ ）＝ ２ （ ＋ － － 成立． 所以当矩形菜园的长 宽均为 时
、 １０ ｍ ，
ｎａ １ ｍ ｎ ａ ｂ ． ４． ａ ｂ ｃ 所用篱笆最短 最短的篱笆长度是
）＝ （ － ）（ － ） ∵ ＞０， ＞０， ＞０， ，
２ ａ ｂ ａｂ 当且仅当ａ ｂ 时等号 ．
因为ｂ ａ 即ａ ｂ 所以 ∴ ＋ ≥２ ， ＝ ４０ ｍ
＜ ， － ＞０， 成立 ｘ ｙ
ａ ｂ ， ４．由基本不等式 得 ＋ ｘｙ 又因为ｘｙ
（１） 当ｍ ＝ ｎ时 ， ｍａ ＋ ｎｂ ＝ ＋ （ ｍ ＋ ｎ ）， 两 ｂ ＋ ｃ ≥２ ｂｃ ， 当且仅当 ｂ ＝ ｃ 时等号 ， ２ ≥ ，
２ ｘ ｙ
种收购方式支出相同 成立 ｐ 所以 ＋ ｐ 所以ｘ ｙ ｐ
； ， ＝ ， ≥ ， ＋ ≥２ ，
ａ ｂ ｃ ａ ａｃ 当且仅当 ａ ｃ 时等号 ２
当ｍ ｎ时 ｍａ ｎｂ ＋ ｍ ｎ 以 ＋ ≥２ ， ＝ 当且仅当ｘ ｙ ｐ时 等号成立 此时ｘ
（２） ＞ ， ＋ ＞ （ ＋ ）， 成立 ＝ ＝ ， ，
２ ，
两种价格的平均数收购比正常收购支 ｙ取得最小值 最小值为 ｐ．
ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ ａｂ ｂｃ ＋ ， ２
出较少 收购站受益 ∴ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）≥２ ·２ 习题1-3
， ； ａｃ ａｂｃ 当且仅当ａ ｂ ｃ时等
ａ ｂ ·２ ＝８ ， ＝ ＝ Ａ组
当ｍ ｎ时 ｍａ ｎｂ ＋ ｍ ｎ 以 号成立
（３） ＜ ， ＋ ＜ （ ＋ ）， ， １． 令ｃ 则ａｃ２ ｂｃ２ 假命题
２ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ ａｂｃ． （１） ＝０， ＝ ； ；
两种价格的平均数收购比正常收购支 ∴ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）≥８ 不等式的性质 真命题
５．因为ａ ｂ均为正数 所以由基本不等式 （２） ３； ；
出较多 收购站亏损． ， ， 由 得 假命题
， ａ ｂ ａｂ 且 ａｂ （３） ４＞２，－１＞－２， －４＝－４； ；
５． ． ＋ ≥２ ， ＞０，
（１）＞；（２）＜；（３）＜；（４）＞；（５）＜；（６）＞ 若 则 １ 假命题．
６． 由ａ ｂ ｃ ｄ 得ａ ｂ ｄ ｃ 所以 可知 ａ ｂ ａｂ ａｂ ａｂ （４） ３＞－１， ＞－１；
（１） ＞ ， ＞ ， － ＞０， － ＜０， （ ＋ ）· ≥２ · ， ３
ａ － ｂ ＞ ｄ － ｃ ， 故 （１） 成立 ； 即 ａｂ ２ ａｂ 所以 ａｂ ２ 当且 ２．ｍ － ｎ ＝（ ｘ －１） ２ ＋（ ｙ ＋１） ２ ＋１＞０， 所以 ｍ
由 得 ≥ａ ｂ， ≥ ， ｎ．
（２） ３＞２，－２＞－３， ３＋（－３）＝ ２＋ ＋ １ １ ＞
故 不成立 ａ ＋ ｂ ３． ａ ａ ２ ａ ａ ．证明如下
（ （ 不 （ ３ ４ － 成 ） ） ２ 由 由 成 ） 立 ， 立 ３ ｃ ； ＞ ＞ ． （ ｄ ２ ２ ， ， ） 得 ２＞ － １ ｃ ， ＜ 得 － ｄ ； ， ３ 所 －２ 以 ＝ ａ ２ － － ｃ １ ＜ ， ａ 故 － ｄ （ ， ３ 故 ） １ 练 ． 仅 解 习 当 法 （第 一 ａ ＝ ３ ： ０ 函 ｂ 页 时 数 ） ， 等 ｙ ＝ 号 ｘ 成 （３ 立 －２ ． ｘ ） 的图象开口 （ 因 ≥ ａ １ ４ 为 ＝ １ ａ ＋ ａ １ ２ ａ ａ ２ ２ １ 时 ２ ） ＋ ， 即 ａ ， ≥ 等 ２ ２≥ （ ４ 号 ａ ２ １ １ ＋ ａ 成 １ ａ ２ ａ 立 ２ ２ ） ， ． ２ 所 ≥ 以 ４ ａ １ ａ ａ ２ １ ： ２ ＋ ， 当 ａ２ ２ 且 ＋２ 仅 ａ １ 当 ａ ２
（４） 向下 ， 对称轴为ｘ ＝ ３ ， ４． 因为ｎ ｍ 所以 １
３．２ 基本不等式 ４ （１） ＜ ＜０， ｍｎ＞０，
所以当ｘ ３ 时 函数ｙ ｘ ｘ 取得
练习（第 页） ＝ ， ＝ （３－２ ） 所以ｎ １ ｍ １ 即 １ １ ．
２８ ４ ·ｍｎ＜ ·ｍｎ， ｍ＜ ｎ
１．ＯＡ ａ ｂ ＯＢ ａ２ ｂ２ ＡＢ 最大值 且最大值为 ９ ． ｐ ｐ
＝ ２ （ ＋ ）， ＝ ＋ ， ， 又ｐ 所以 ．
ａ２ ｂ２． ８ ＜０， ｍ＞ ｎ
＝ ＋
因为ＯＡ ≤ ＯＢ ＋ ＢＡ ， 解法二 ： 因为 ０＜ ｘ ＜ ２ ３ ， 所以 ３－２ ｘ ＞０， 所 （２） 因为ｃ ＞ ｄ ＞０， 所以 ｃ １ ｄ＞０，
所以 ａ ｂ ａ２ ｂ２
２（ ＋ ）≤２ ＋ ， 以ｙ ｘ ｘ １ ｘ ｘ １
即 ａ ＋ ｂ ａ２ ＋ ｂ２ ． ＝ （３－２ ）＝ ２ ·２ ·（３－２ ）≤ ２ 所以ｃ ·ｃ １ ｄ＞ ｄ ·ｃ １ ｄ＞０， 得 １ ｄ ＞ １ ｃ ＞０ ．
２ ≤ ２ [ ２ ｘ ＋（３－２ ｘ ） ] ２ １ ９ ９ ａ ｂ
由基本不等式 得 ａｂ ａ ＋ ｂ ． · ２ ＝ ２ × ４ ＝ ８ ， 又ａ ＞ ｂ ＞０， 所以 ｄ ＞ ｃ ．
， ≤
２ 当且仅当 ｘ ｘ 即 ｘ ３ 时 等号 ５． 因为ｘ 所以ｘ
２ ＝３－２ ， ＝ ， （１） ＞０， ＋１＞０，
ａ ｂ ａ２ ｂ２ ４
所以 ａｂ
≤
＋
≤
＋ ． 成立． 所以 ｘ
＋ｘ
４
＝（
ｘ
＋１）＋ｘ
４
－１≥２·
２ ２ ＋１ ＋１
２． ｘ
（１）∵ ＞０， 所以当ｘ ３ 时 函数ｙ ｘ ｘ 取得
＝ ， ＝ （３－２ ） ｘ ４
４ （ ＋１）·ｘ －１＝３，
４ ｘ ４ ｘ ４ ＋１
∴ ｘ ＞０，∴ ＋ ｘ ≥２ · ｘ ＝４， 最大值 且最大值为 ９ ．
， 当且仅当ｘ ４ 即 ｘ 时 等号
８ ＋１＝ｘ ， ＝１ ，
当且仅当ｘ ４ 即ｘ 时等号成立 ２．设直角三角形两条直角边的长分别为 ＋１
＝ ｘ ， ＝２ ， 成立．
ｍ ｎ 则两条直角边长的和为 ｍ ｎ ．
， ， （ ＋ ）
故ｘ ＋ ４ ｘ ≥４ ． 由题意得 ｍｎ 即ｍｎ ．根据基本不 所以ｘ ＋ｘ ４ ≥３ ．
＝８， ＝１６ ＋１
（
∴
２
ｘ
）
＋
∵
ｘ３
ｘ
≥
＞０
２
，∴
ｘ
ｘ
·
３ ＞
ｘ
０
３
，
＝２ ｘ２ ， 等式 ， 得ｍ
２
＋ ｎ ≥２ ｍｎ ＝８， （２）
因为 ｘ２
＋
ｙ２
－
（ ｘ ＋
２
ｙ ） ２
＝ ２
１
（
ｘ２
＋
ｙ２
－
当且仅当ｘ ＝ ｘ３ ， 即ｘ ＝１ 时等号成立 ， 当且仅当 ｍ ＝ ｎ ， 即 ｍ ＝ ｎ ＝４ 时 ， 等号 ｘｙ （ ｘ － ｙ ） ２
故ｘ
＋
ｘ３
≥２
ｘ２． 成立． ２ ）＝
２
≥０，
所以当两条直角边的长均为 时 两条 当且仅当ｘ ｙ时 等号成立．
３．已知ａ 所以 １ ４ ， ＝ ，
＞１， ａ ＞０， 直角边的和最小 最小值是 ． ｘ ｙ ２
－１ ， ８ 所以ｘ２ ｙ２ （ ＋ ） ．
３．设矩形菜园的长 宽分别为 ａ ｂ ＋ ≥
根据基本不等式 得 ａ １ ａ 、 ｍ、 ｍ， ２
， ＋ａ ＝（ －１）＋ 则矩形菜园的周长为Ｌ ａ ｂ ． 因为ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ２
－１ ＝２（ ＋ ）（ｍ） （３） （ － ）－ （ － ）＝（ － ） ≥
３
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等当且仅当ｘ ｙ时 等号成立 由不等式性质 得
０， ＝ ， ， ， ＝５０００＋４４ １０×２ ４０＝６７６０，
所以ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｙ ． Ｐ ａ ｂ
（ － ）≥ （ － ） ＝２４００００＋７２０（ ＋ ） 当且仅当 λ ５ 即 λ ５ 时 等号
（４）
因为ｘ
＞０，
ｙ
＞０， ≥２４００００＋７２０×２
ａｂ ８ ＝ λ， ＝
８
，
所以ｘ ｙ ｘｙ 当且仅当ｘ ｙ时 等 成立．
＋ ≥２ ， ＝ ， ＝２４００００＋５７６００＝２９７６００，
号成立． 当且仅当 ａ ｂ 即 ａ ｂ 时 等号 所以当画面的高为 宽为
＝ ， ＝ ＝４０ ， ８８ ｃｍ， ５５ ｃｍ
又 ｘｙ ｘ ｙ 成立． 时 宣传画所用纸张面积最小．
＞０， ＋ ＞０， ，
所以当池底的长 宽均为 时 水
所以 ｘｙ ｘ ｙ ｘｙ ｘｙ 、 ４０ ｍ ，
（ ＋ ）≥２ · ， 池总 造 价 最 低 最 低 造 价 为 §4 一元二次函数与
ｘｙ ，
即 ｘｙ ２ ．
≥ｘ ｙ 元． 一元二次不等式
＋ ２９７６００
Ｂ组
ｃ ｄ ｃ ｄ ｂｃ ａｄ
６． － 由此可
ａ ＞ ｂ ⇔ ａ － ｂ ＞０⇔ ａｂ ＞０， １． ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ ４．１ 一元二次函数
（ － ２ ＋１）（ ＋ ２ ＋１）－（ － ＋１）
以构造三个真命题
： ·（
ｘ２
＋
ｘ
＋１）
练习
ｃ ｄ
若 ａ ｃ ＞ ｄ ｂ ， ａｂ ＜０， 则ｂｃ ＜ ａｄ． ＝ ［（ ［ ｘ （ ２ ｘ ＋ ２ １ ＋ ） １ － ） ｘ ］ － ［（ ２ ｘ ｘ ２ ＋ ］ １ ［ ） （ ＋ ｘ ｘ ２ ］ ＋１）＋ ２ ｘ ］－ １． （１） ｙ ＝ ２ １ ｘ２ －５ ｘ ＋１＝ ２ １ （ ｘ２ －１０ ｘ ）＋１
若 ａ ＞ ｂ ， ｂｃ ＜ ａｄ ， 则ａｂ ＜０ ． ＝［（ ｘ２ ＋１） ２ －２ ｘ２ ］－［（ ｘ２ ＋１） ２ － ｘ２ ］ １ ｘ２ ｘ
ｃ ｄ ＝－
ｘ２
≤０，
＝
２
（ －１０ ＋２５－２５）＋１
若ａｂ ｂｃ ａｄ 则 ． 当且仅当ｘ 时 等号成立．
＜０， ＜ ， ａ ＞ ｂ ＝０ ， １ ｘ ２ ２３．
＝ （ －５） －
７．因为设ｘ
，
ｙ是正数
，
所以
（
ｘ２
－ ２
ｘ
＋１）（
ｘ２
＋ ２
ｘ
＋１）≤（
ｘ２
－
ｘ
所以
２
函数图象的
２
对称轴为直线ｘ 当
所以ｘｙ １ ｘ ｙ １ ( ２ ｘ ＋ ｙ) ２ ＋１）（ ｘ２ ＋ ｘ ＋１） ． ｘ 时 函数取得最小值 最小 ＝ 值 ５， 为
＝ ·２ · ≤ · ＝ ２． 设从 地到 地的距离为ｓ ＝５ ， ，
２ ２ ２ （１） Ａ Ｂ ，
( ) ２ ｔ ｓ ２３．
１ ２０ 由题意 有ｓ １ ｍ ｎ 即ｔ ２ ． －
× ＝５０， ， ＝ （ ＋ ）， １＝ｍ ｎ ２
２ ２ ２ ＋ ｙ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ
当且仅当 ｘ ｙ 即ｘ ｙ 时 等号 ｓ ｓ （２） ＝－３ ＋１２ －８＝－３（ －４ ）－８
成立． ２ ＝ ， ＝５， ＝１０ ， ｓ ( ) ｓ ＝－３（ ｘ２ －４ ｘ ＋４－４）－８
同理 得ｔ ２ ２ １ １
所以ｘｙ的最大值为 ． ， ２＝ ｍ＋ ｎ ＝ ｍ＋ ｎ ＝ ＝－３（ ｘ －２） ２ ＋４ ．
５０ ２ ２ 所以函数图象的对称轴为直线ｘ 当
８．设直角三角形两条直角边长分别为ｍ ， · ｍ ｍ ＋ ｎ ｎ ． ｘ 时 函数取得最大值 最大值 ＝ 为 ２， ．
ｎ 则斜边长为 ｍ２ ｎ２ 三角形周长为 ＝２ ， ， ４
， ＋ ， 因为ｔ ｔ
Ｌ ｍ ｎ ｍ２ ｎ２． （２） １＞０，２＞０， ２．ｙ ＝－ １ ｘ２ ＋４ ｘ ＋２＝－ １ （ ｘ２ －８ ｘ ）＋２
＝ ＋ ＋ ＋ ｔ ｍｎ ｍｎ ２ ２
ｍｎ 所以 １ ４ ４
由题意 ， 得 ＝１， 即ｍｎ ＝２ ． ｔ ２ ＝ （ ｍ ＋ ｎ ） ２≤ （２ ｍｎ ） ２ ＝１， ＝－ １ （ ｘ２ －８ ｘ ＋１６－１６）＋２
２ 又ｍ ｎ 所以等号不成立 ２
根据基本不等式ｍ ｎ ｍｎ ｍ２ ｎ２ ≠ ， ，
＋ ≥２ ， ＋ ｔ １ ｘ ２ ．
ｍｎ 得 即 １ ｔ ｔ ．故甲先到达 地． ＝－ （ －４） ＋１０
≥２ ， ｔ ＜１，１＜ ２ Ｂ ２
Ｌ
＝
ｍ
＋
ｎ
＋
ｍ２
＋
ｎ２
≥２
ｍｎ
＋ ２
ｍｎ
＝ ３． ａ
２
ｂ ｘ 函数ｙ １ ｘ２ ｘ 的图象可以
∵ ＞０， ＞０， ＞０， （１） ＝－ ＋４ ＋２
ｂ ２
２ ２＋２， ａｘ
当且仅当 ｍ ｎ 即 ｍ ｎ 时 等号 ∴ ＞０， ｘ ＞０， 由函数ｙ １ ｘ２ 的图象先向右平移
＝ ， ＝ ＝ ２ ， ＝－ ４
成立． ｂ ｂ ２
ａｘ ａｂ 当且仅当ａｘ 即 个单位长度 再向上平移 个单位长
∴ ＋ ｘ ≥２ ， ＝ ｘ ， ， １０
所以当两条直角边长均为 时 周长最
２ ，
度得到．
ｂ
小为Ｌ ． ｘ 时等号成立．
＝２ ２＋２ ＝ ａ 函数ｙ １ ｘ２ ｘ 的图象开口
故较经济的是选择 长度的铁管． （２） ＝－ ＋４ ＋２
５ ｍ ２
９．设圆内接矩形的一边长为ｘ ， 则其邻边 ∴ 当ｘ ＝ ａ ｂ 时 ， ａｘ ＋ ｂ ｘ 有最小值 ， 最小 向下 ， 对称轴为直线 ｘ ＝ ４； 在区间
长为 ｄ２
－
ｘ２
，
设面积为Ｓ
，
由题意
，
得
值为 ａｂ． 大 （－∞ 在 ， 区 ４］ 间
上
，
函数值
上
ｙ随
函
ｘ
数
的
值
增
ｙ
大
随
而
ｘ
增
的
ｘ２ ｄ２ ｘ２ ２ ｄ２ ２ ， ［４，＋∞） ，
Ｓ
＝
ｘ ｄ２
－
ｘ２
≤
＋（ － ）
＝ ，
４．设画面的高为ｘ
ｃｍ，
宽为 λｘ
ｃｍ，
则画 增大而减小
；
当ｘ
＝４
时
，
函数取得最大
２ ２ 面的面积为λｘ２ ． 值 最大值为 ．
当且仅当ｘ２ ＝ ｄ２ － ｘ２ ， 即ｘ ＝
ｄ２
时 ， 等 由题意 ， 得宣传画
＝４
所
８
用
４０
纸张的高为 （ ｘ ＋ ４．２
，
一元二
１０
次不等式及其解法
２ 宽为 λｘ 面积为
号成立．此时矩形为正方形 长 宽之比 １６）ｃｍ， （ ＋１０）ｃｍ， 练习
， 、 Ｓ ｘ λｘ ｘ λｘ．
ｄ２ ＝（ ＋１６）（ ＋１０）＝５０００＋１０ ＋１６ １． 图略 ｘ ｘ 或ｘ
为 面积最大值为 ． （１） ，｛ ｜ ＜－２ ＞－１｝；
１，
２
因为λｘ２
＝４ ８４０，
所以 ｘ
＝２２·
１
λ
０
， 图略
{
ｘ ｘ ３
}
１０．设池底的长为 ａ 宽为 ｂ 则 ａｂ （２） ， ≠ ；
， ， ３ ＝ æ ö ２
４８００， 即ａｂ ＝１６００ ． 所以Ｓ ＝５０００＋４４ １０è ç ８ λ ＋ ５ λø ÷ 图略 { ｘ ｘ ３ }
由题意 水池总造价为 （３） ， －１＜ ＜ ；
， ２
Ｐ ａｂ ａ ｂ { }
＝１５０ ＋２（ ＋ ）×３×１２０＝２４０ ０００＋ λ ５ 图略 ｘ ２ ｘ ３ ．
ａ ｂ ≥５０００＋４４ １０×２ ８ × λ （４） ， － ＜ ＜
７２０（ ＋ ）， ３ ２
４
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２． 方程 ｘ２ ｘ 的两根是ｘ 当 ａ ａ 即ａ 时 二次函数ｙ 结论正确
（１） ２ －１３ ＋２０＝０ １＝ （１） － ＜２ ， ＞０ ， ＝ （３） ；
ｘ２ ａｘ ａ２ 的图象与ｘ轴从左至右有两 当ａ 时 解集为 ｘ ｘ
５ ｘ ． － －２ （４） ＜０ ， （－∞， １）∪（ ２，
， ２＝４ 个交点 ａ 与 ａ ．所以原不等 结论错误．
２ ，（－ ，０） （２ ，０） ＋∞），
函数ｙ ｘ２ ｘ 的图象是开口向 式的解集为 ａ ａ ． ( )
＝２ －１３ ＋２０ （－∞，－ ）∪（２ ，＋∞） ３． １
上的抛物线 且与 ｘ 轴有两个交点 当 ａ ａ 即ａ 时 二次函数ｙ （１）（－∞，０）∪ ，＋∞ ；
， ， （２） － ＝２ ， ＝０ ， ＝ ２
( ) ｘ２ ａｘ ａ２ 的图象与 ｘ 轴有一个交点 [ ]
５ 与 ． － －２ ５
，０ （４，０） ．所以原不等式的解集为 （２） －２， ；
２ （０，０） （－∞， ３
( )
．
所以原不等式的解集为 ５ ０）∪（０，＋∞） （３）（－∞，－４］∪［５，＋∞）；
－∞， ∪ 当 ａ ａ 即ａ 时 二次函数ｙ æ ö æ ö
２ （３） － ＞２ ， ＜０ ， ＝ ç ３－ ６５÷ ç３＋ ６５ ÷．
（４，＋∞）
． ｘ２
－
ａｘ
－２
ａ２ 的图象与ｘ轴从左至右有两 （４）è－∞，
４
ø∪è
４
，＋∞ø
（２）
考虑方程
７
ｘ２
＋５
ｘ
＋１＝０，
Δ
＝２５－２８＜
个交点
，（２
ａ
，０）
与
（－
ａ
，０）
．所以原不等 ４．方程ｘ２
－（
ｋ
＋３）
ｘ
＋
ｋ
＋３＝０
有两个不相
则方程无实根． 式的解集为 ａ ａ ． 等的实数根
０， （－∞，２ ）∪（－ ，＋∞） ，
函数ｙ ＝７ ｘ２ ＋５ ｘ ＋１ 的图象是开口向上 综上 ， 当 ａ ＞０ 时 ， 不等式的解集为 当且仅当它的判别式Δ ＝（ ｋ ＋３） ２ －４（ ｋ ＋
的抛物线 且与 ｘ 轴无交点 即图象恒 ａ ａ 时成立
， ， （－∞，－ ）∪（２ ，＋∞）； ３）＞０ ，
在ｘ轴上方． 当ａ 时 不等式的解集为 即 ｋ ｋ ．
＝０ ， （－∞，０）∪ （ ＋３）（ －１）＞０
所以原不等式的解集为 ． 求解不等式 得到其解集为
⌀ （０，＋∞）； ， （－∞，－３）
（３） 方程 ４ ｘ２ －４ ｘ ＋１＝０ 的两根是 ｘ １＝ 当ａ ＜０ 时 ， 不等式的解集为 （－∞，２ ａ ） ∪（１，＋∞） ．
ａ ． 所以当ｋ 时 方
ｘ
２＝ ２
１ ．
４．
∪
略
（
．
－ ，＋∞）
程ｘ２ ｋ
∈（－
ｘ
∞，
ｋ
－３）∪（
有
１，
两
＋∞
个
）
不相
，
等
－（ ＋３） ＋ ＋３＝０
函数ｙ
＝４
ｘ２
－４
ｘ
＋１
的图象是开口向上
４．３ 一元二次不等式的应用 的实数根．
的抛 物 线 且 与 ｘ 轴 有 一 个 交
， ５．设售价提高ｘ元 则每个玩具魔方的销
( ) 练习 ，
点 １ ． 售价格为 ｘ 元 日销售量为
，０ １．设售价提高ｘ元 则每本书的销售价格 （１５＋ ） ， （３０－
２ ， ｘ 个 所以每天获得的销售收入为
所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 为 ｘ 元 日销售量为 ２ ） ，
（２５＋ ） ， （８ ０００－ ｘ ｘ 元
{ } { } ｘ 本 所以每天获得的销售收入为 ［（１５＋ ）（３０－２ ）］ ，
ｘ ｘ １ １ ． ２００ ） ， 由题意 得 ｘ ｘ
＝ ＝ ｘ ｘ 元 由题意 得 ， （１５＋ ）（３０－２ ）≥４００，
２ ２ ［（２５＋ ）（８０００－２００ ）］ ， ， 化简得ｘ２ 解得 ｘ ．
原不等式可化为ｘ２ ｘ ． ｘ ｘ －２５≤０， ０≤ ≤５
（４） －８ ＋２＞０ （２５＋ ）（８０００－２００ ）≥２０００００， 所以这批玩具魔方的销售价格最高是
方程ｘ２ ｘ 的两根是 ｘ 化简得ｘ２ ｘ
－８ ＋２＝０ １ ＝４－ －１５ ≤０， 元．
ｘ ． 解得 ｘ 所以这种图书的最高定 ２０
函数 １４， ｙ ＝ ２ ｘ ＝ ２ ４ － ＋ ８ ｘ ＋ １ ２ ４ 的图象是开口向上的 价是 ０ ４ ≤ ０ 元 ≤ ． １５， ６．解不等式 １２ ． ＜０ ． ０１ ｘ２ ＋０ ． １ ｘ ＜１５， 得 ３０＜ ｘ
２．设汽车总质量为Ｍ 依题意 设ｓ ｋ Ｍ ＜－５＋５ ６１
抛物线 ， 与ｘ轴有两个交点 ，（４－ １４， ｖ２ 其中ｋ为比例 ， 系数． ， ＝ · 解不等式 １１＜０ ． ００５ ｘ２ ＋０ ． ０５ ｘ ＜１２， 得 －５
与 ． · ，
０） （４＋ １４，０） 将 ｖ ＝ ５９， ｓ ＝ ２０ 代入 ， 得 ｋ · Ｍ ＝ ＋５ ８９＜ ｘ ＜－５＋５ ９７ ．
所以原不等式的解集为 所以乙车违法超速行驶．
（－∞，４－ １４）
２０ ｋ ２０ ．
． ２， ＝ ２Ｍ Ｂ组
∪（４＋ １４，＋∞） ５９ ５９
（５）
原不等式可化为
４
ｘ２
－１２
ｘ
＋９＞０
． 因为卡车司机发现障碍物到踩刹车需
１．由题意知 １ １ 为方程ａｘ２ ｂｘ
方程
４
ｘ２
－１２
ｘ
＋９ ＝ ０
的两根是 ｘ
１ 经过 １ ｓ， 所以行驶路程为 ｖ · １ · 的两根 且
－
ａ ３
，
４
＋ ＋１＝０
ｘ ３ ． ３６００ ， ＜０，
函 ＝ 数 ２＝ ｙ ２
＝４
ｘ２
－１２
ｘ
＋９
的图象是开口向上 １０００＝
１
５
８
ｖ （ｍ） ． ì
í
ï ï－
３
１ ＋
４
１ ＝－ ａ ｂ ，
( ) ｖ ｖ ∴ ï
的 所 抛 以 物线 原 ， 与 不 ｘ轴 等 有一 式 个 的 交点 解 ３ ２ 集 ，０ 为 ． 由 ２０ ． － １ ５ ８ － ｋ ·２ Ｍ · ｖ２ ≥５， 得 ５ ８ ９ ２ ｖ２ ＋ １８ － î ï － { ３ １ ａ × ４ １ ＝ ａ １ ，
３≤０ 解得 ＝－１２，
( ) ( ) 因为ｖ 所以 ｖ ． ． ｂ ．
３ ３ ． ≥０， ０≤ ＜２６１ ＝－１
－∞， ∪ ，＋∞ 故最大限制时速应是 ． ２． 方程ｘ２ ｍ ｘ ｍ２ ｍ 的解
２ ２ ２６ ｋｍ （１） －（２ ＋１） ＋ ＋ ＝０
（６）
原不等式可化为ｘ２
－
ｘ
－２≤０
． 习题1-4 为ｘ
１＝
ｍ
，
ｘ
２＝
ｍ
＋１，
且ｘ
１＜
ｘ
２
．
方程ｘ２ ｘ 的两根是 ｘ ｘ Ａ组 设函数ｙ ｘ２ ｍ ｘ ｍ２ ｍ 其图象
－ －２＝０ １＝－１， ２ ＝ －（２ ＋１） ＋ ＋ ，
． １． Δ 不合题意 是开口向上的抛物线．图象与ｘ轴从左
＝２ （１） ＝５＞０， ；
函数ｙ ｘ２ ｘ 的图象是开口向上的 Δ 不合题意 至右有两个交点 ｍ 与 ｍ ．
＝ － －２ （２） ＝２０－４ ５＞０， ； ，（ ，０） （ ＋１，０）
抛物线 与ｘ轴有两个交点 与 Δ 开口向上 解集为 Ｒ 符 所以原不等式的解集为 ｍ ｍ ．
， ，（－１，０） （３） ＝－４＜０， ， ， （ ， ＋１）
． 合题意 原不等式可化为 ｘ２ ｍ ｘ ｍ
（２，０） ； （２） ＋（ －１） －
所以不等式的解集为 ． Δ 开口向上 解集为 ．
［－１，２］ （４） ＝９－３２＜０， ， ⌀， ≥０
３．方程ｘ２ ａｘ ａ２ 的两根为 ｘ ａ 不符合题意． 方程ｘ２ ｍ ｘ ｍ 的解为ｘ
－ －２ ＝０ １＝－ ， ＋（ －１） － ＝０ １＝１，
ｘ ａ． ２． 解集为 结论错误 ｘ ｍ．
２＝２ （１） （－４，４）， ； ２＝－
设函数ｙ ｘ２ ａｘ ａ２ 其图象是开口向 解集为 结论 设函数ｙ ｘ２ ｍ ｘ ｍ 其图象是开
＝ － －２ ， （２） （－∞，－２］∪［２，＋∞）， ＝ ＋（ －１） － ，
上的抛物线． 错误 口向上的抛物线．
；
５
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等当 ｍ 即ｍ 时 二次函数ｙ 所以第 天时 总水量就超过水库的最 当ａ 时 不等式的解集为
① － ＜１， ＞－１ ， ＝ ９ ， －２）； ＝－２ ， ⌀；
ｘ２ ｍ ｘ ｍ的图象与ｘ轴从左至右 大容量 即该水库堤坝在第 天发生 当ａ 时 不等式的解集为 ａ ．
＋（ －１） － ， ９ ＞－２ ， （－２， ）
有两个交点 ，（－ ｍ ，０） 与 （１，０） ．原不等 危险． ８． ∵ （ ａ － ｂ ） ２ ≥０， 当且仅当 ａ ＝ ｂ 时等号
式的解集为 ｍ ． 复习题一 成立
（－∞，－ ］∪［１，＋∞） ，
②
当
－
ｍ
＝１，
即ｍ
＝－１
时
，
二次函数ｙ
＝ Ａ组 ∴
ａ２
＋
ｂ２
≥２
ａｂ
，
③ 点 ｘ２ ＋ 当 （ （ １ － ｍ ，０ ｍ － ） ＞ １ ． ） 原 １ ｘ ， － 不 即 ｍ 等 ｍ 的 式 ＜ 图 － 的 １ 象 解 时 与 集 ， ｘ 二 为 轴 次 Ｒ 有 ． 函 一 数 个 ｙ 交 ＝ １ ２ ． ． （ （ １ １ ） ）｛ Ｂ ｘ ；（ ｜ ｘ ２ ＝ ） ９ Ｄ ｋ ； ＋ （ ２ ３ ， ） ｋ Ｃ ∈ ； Ｎ （４ ｝ ） ； Ａ． ∴ ∴ ２ ａ （ ２ ２ ＋ ａ ｂ ２ ２ ＋ ≥ ｂ２ （ ） ａ ≥ ＋ ４ ａ ｂ ） ２ ＋ ２ ｂ ， ２ ＋２ ａｂ ＝（ ａ ＋ ｂ ） ２ ，
ｘ２
＋（
ｍ
－１）
ｘ
－
ｍ的图象与ｘ轴从左至右
（２）（－∞，１）∪［３，＋∞）； ａ ｂ ａ２ ｂ２
＋ ＋
有两个交点 ，（１，０） 与 （－ ｍ ，０） ．原不等 （３）［－１，１）； ∴ ２ ≤ ２ ，
式的解集为 （－∞，１］∪［－ ｍ ，＋∞） ． （４）４； 当且仅当ａ ＝ ｂ时等号成立．
综上 ， 当 ａ ｍ ＞－１ 时 ， 不 当 等式 ｍ 的解 时 集为 不 ３． （５）∁ 充 Ｒ Ａ 分 ⫋ 条 ∁Ｒ 件 Ｂ． 但不是必要条件 ９． （１） 设两个正数分别为ｍ ， ｎ ， 则ｍｎ ＝６４ ．
（－∞，－ ］∪［１，＋∞）， ＝－１ ， （１） ； 根据基本不等式 得 ｍ ｎ ｍｎ
等式的解集为Ｒ 当ｍ 时 不等式 必要条件但不是充分条件 ， ＋ ≥２ ＝
； ＜－１ ， （２） ；
的解集为 ｍ ． 充要条件 ２ ６４＝１６，
（－∞，１］∪［－ ，＋∞） （３） ； 当且仅当 ｍ ｎ 即 ｍ ｎ 时 等号
当ｍ 时 原不等式可化为 ｘ 必要条件但不是充分条件． ＝ ， ＝ ＝８ ，
（３）① ＝０ ， － － （４） 成立．
即ｘ ． ４． ｘ Ｒ ｘ没有平方根
１≤０， ≥－１ （１）∀ ∈ ， ； 所以两个正数的和的最小值为 ．
②
当ｍ
≠０
时
，
考虑方程ｍｘ２
＋（
ｍ
－１）· （２）∃
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ没有立方根
； 设两个正数分别为 ｍ ｎ 则
１６
ｍ ｎ
ｘ －１＝０， （３） 过直线 ｌ 外一点 Ａ ， 对于任意的一 （２） ． ， ， ＋
条直线ｍ 有ｍ与ｌ不垂直 ＝２４
解得 当 ｘ １ １ ＝ ｍ １ ， ｘ 即 ２＝－１ ． ｍ 时 原不等式 ｍ （４ ， ） 与 过 直 直 线 线 ， ｌ无 ｌ 外 公 一 共 点 点． Ａ ， 存在 ； 一条直线 根 ≤ 据 (ｍ 基 ＋ ｎ 本 ) 不 ２ ＝ 等 ( ２ 式 ４ ) ｍ ２ ＋ ＝ ｎ １４ ≥ ４， ２ ｍｎ ， 得 ｍｎ
（ｉ） ｍ＜－１， －１＜ ＜０ ， ５．因为ａ ｂ ｃ 所以当 ｘ 时 ａｘ２ ２ ２
＋ ＋ ＝０， ＝１ ， ＋ 当且仅当 ｍ ｎ 即 ｍ ｎ 时 等号
{ } ｂｘ ｃ ａ ｂ ｃ 即ｘ 是方程ａｘ２ ｂｘ ＝ ， ＝ ＝１２ ，
的解集为 ｘ ｘ 或ｘ １ ． ＋ ＝ ＋ ＋ ＝０， ＝１ ＋ 成立．
≥－１ ≤ｍ ｃ 的实数根．即 ａ ｂ ｃ 是 ｘ 是
＋ ＝０ “ ＋ ＋ ＝０” “ ＝１ 所以两个正数的积的最大值为 ．
方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 的实数根 的充分条件． １４４
（ｉｉ） 当 ｍ １ ＝－１， 即ｍ ＝－１ 时 ， 原不等式 若关于ｘ ＋ 的 ＋ 方 ＝ 程 ０ ａｘ２ ｂｘ ｃ ” 有一个解 １０．设实际电价为ｘ元／ （ｋＷ·ｈ）， 电力部
的解集为Ｒ． 为 则ａ ｂ ｃ ．即 ＋ ａ ＋ ｂ ＝ ｃ ０ 是 ｘ 门的收益为ｙ元 ， 依题意可知 ，
１， ＋ ＋ ＝０ “ ＋ ＋ ＝０” “ ＝ ( ． ａ )
（ｉｉｉ） 当 ｍ １ ＞－１， 即ｍ ＜－１ 或ｍ ＞０ 时 ， 当 １ 是方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝０ 的实数根 ” 的必 ｙ ＝ ｘ ０２ ． ＋ ａ （ ｘ －０ ． ３），０ ． ５５≤ ｘ ≤
要条件． －０４
ｍ 时 原 不 等 式 的 解 集 为 ． ．
＜－ １ ， 综上 ｘ 是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 的实 ０７５
{ } ，“ ＝１ ＋ ＋ ＝０ 由不等式组
ｘ ｘ ≥ｍ １ 或ｍ ≤－１ ； 当 ｍ ＞０ 时 ， 原 数根 ” 的充要条件是 “ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝０” ． {( ．ａ )
( ) ０２ ａ ｘ ． ａ ． ． ％
{ } ６． ３ ｘ ． ＋ （ －０３）≥ （０８－０３）（１＋２０ ），
不等式的解集为 ｘ ｘ １ （１） － ，５ ； －０４
－１≤ ≤ｍ ； ２ ． ｘ ．
０５５≤ ≤０７５，
综上 ， 当ｍ ＝０ 时 ， 不等式的解集为 ｛ ｘ ｜ ｘ （２）（ [ －∞，１］∪ ] ［３，＋∞）； 得 { １０ ｘ２ －１１ ｘ ＋３≥０，
１ ． ｘ ．
≥－１｝； （３） － ，１ ； ０５５≤ ≤０７５，
当 ｍ 时 不等式的解集 ( ３ ) 解得 ． ｘ ． 所以当定价在 ．
－ １ ＜ ＜ ０ ， ０６≤ ≤０ ７５， ０ ６
为 { ｘ ｘ 或ｘ １ } （４） － ２ ５ ，２ ． ～０ ． ７５ 元／ （ｋＷ·ｈ） 时 ， 可保证电力部
当
当
ｍ
ｍ
＝－
＜
１
≥
－
时
－１
，
１
不
时
等
，
≤
式
不
的
ｍ
解
等
；
集
式
为
的
Ｒ ；
解 集
７．
构
ｘ
方
２＝
造
程
ａ
函
（
．
ａ
数
－ ｘ
ｙ
）
＝
（
（
ｘ
ａ
＋
－
２
ｘ
）
）
＝
（ ｘ
０
＋
的
２）
解
， 其
为
图
ｘ
象
１＝
是
－２
开
，
１
Ｂ
． （
组
门
１）
的
１６
收
；（
益
２）
增
２９
长
．
率不低于 ２０ ％．
{ } 口向下的抛物线． ２．当污水处理池的长和宽分别为
为 ｘ ｘ １ 或ｍ ９ ３ ｍ，
≥ｍ ≤－１ ；
当ａ 时 二次函数ｙ ａ ｘ ｘ
当 ｍ 时 不 等 式 的 解 集 （１） ＜－２ ， ＝（ － ）（ ５０ ３ 时 总造价最低．
＞ ０ ， 的图象与 ｘ 轴从左至右有两个交 ｍ ，
{ } ＋２） ９
为 ｘ ｘ １ ． 点 ａ 与 ．原不等式的解集 ３．略．
－１≤ ≤ｍ ，（ ，０） （－２，０）
为 ａ ． Ｃ组
３．设第ｎ天会发生危险 则 （ ，－２）
， 当ａ 时 二次函数ｙ ｘ ２ １． 部分 Ａ Ｂ Ｃ
（２） ＝－２ ， ＝－（ ＋２） Ⅰ ： ∩ ∩ ，
５ ０００ ｎ （ ｎ ＋２４） －４ ０００ ｎ ＞１２８ ０００－ ≤０ ． 原不等式的解集为 ⌀ ． Ⅱ 部分 ： Ａ ∩ Ｂ ∩∁Ｕ Ｃ ，
当ａ 时 二次函数ｙ ａ ｘ ｘ 部分 Ａ Ｃ Ｂ
８００００， （３） ＞－２ ， ＝（ － ）（ Ⅲ ： ∩ ∩∁Ｕ ，
即 ｎ ｎ ｎ 的图象与 ｘ 轴从左至右有两个交 部分 Ｂ Ｃ Ａ
５ （ ＋２４）＞４ ＋４８， ＋２） Ⅳ ： ∩ ∩∁Ｕ ，
化简得ｎ２
＋２４
ｎ
－２５６＞０，
点
，（－２，０）
与
（
ａ
，０）
．原不等式的解集
Ⅴ
部分
：
Ａ
∩∁Ｕ（
Ｂ
∪
Ｃ
），
解得ｎ 或ｎ ． 为 ａ ． 部分 Ｃ Ａ Ｂ
＜－３２ ＞８ （－２， ） Ⅵ ： ∩∁Ｕ（ ∪ ），
由于ｎ Ｎ 所以取ｎ ． 综上 当ａ 时 不等式的解集为 ａ 部分 Ｂ Ａ Ｃ
∈ ， ＞８ ， ＜－２ ， （ ， Ⅶ ： ∩∁Ｕ（ ∪ ），
６
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部分 Ａ Ｂ Ｃ ． ３．不是函数图象 是使用条形图描述数 ｆ ｘ 的最小值．
Ⅷ ：∁Ｕ（ ∪ ∪ ） ， （ ）
据 不是用坐标表示点． ３． 函数在给定区间上单调递减 最小
， （１） ；
第二章 函数 ４．略． 值为 最大值为
－３５， －１０；
é ù 函数在给定区间上单调递增 最小
§1 生活中的变量关系 ５．ｌ ｄ ｄ êê ２úú 图象略 ． （２） ；
＝２ ， ∈ë０， û（ ） 值为 无最大值
２ １０， ；
练习 习题2-2 函数在 上单调递
（３） ［－１，０］，（１，２］
１．设售出台数为ｘ
，
利润为ｙ元
，
Ａ组 减
，
在
（０，１］，（２，３］
上单调递增
；
最小
则ｙ ＝（２９８０－２５００）· ｘ ＝４８０ ｘ ， １．函数一般可以用解析式 、 图象 、 表格的 值为 ０， 最大值为 ３ ．
显然 ， 随着售出台数的增加 ， 商店的利 方法表示 ， 每一个函数解析式也不一定 ４． （１） ｆ （５０）＝２９ ． ２， 它的实际意义为当汽
润也增加
，
利润和售出台数之间存在函 都有对应的图象
，
如狄利克雷函数． 车行驶速度为每小时
５０ ｋｍ
时
，
使用单
数关系． [ ) 位体积燃料可行驶 ．
２． ｘ ｘ ２ ｘ ２９２ ｋｍ；
２．坐电梯时 电梯距地面的高度随时间的 （１）｛ ｜ ≠１｝；（２） ，＋∞ ；（３）｛ ｜ 当速度为每小时 时 汽车最
， ３ （２） ６０ ｋｍ ，
确定而确定． ｘ 且ｘ ｘ ｘ 且ｘ 省油．
≥－１， ≠３｝；（４）｛ ｜ ≠－２， ≠
３．在一定量的水中加入蔗糖 糖水的浓度 ｘ ｘ ． 练习（第 页）
， ４｝；（５）｛ ｜ ＞－１｝ ６４
随所加蔗糖的质量的确定而确定． [ ) １． 可以判定函数ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上单调
３． １ （１） （ ） （ ， ）
习题2-1 （１）（－５，４）；（２） － ，＋∞ ；（３）（０， 递增 不能判定函数ｆ ｘ 在 ａ
４ ；（２）（３） （ ） （ ，
Ａ组 ｂ 上单调递增．
＋∞）；（４）｛２，４，６，８｝ ）
１． 地球绕太阳公转的过程中 二者间 ４． 不是同一函数 函数定义域不同．函 ２．ｍ ．
（１） ， （１） ， ∈（－∞，１］∪［２，＋∞）
的距离是时间的函数关系 数ｆ ｘ 的定义域为 ｘ ｘ 函数 ３．在定义域Ｒ上任取ｘ ｘ 且ｘ ｘ 则
； （ ） ｛ ｜ ≠０｝， １， ２， １＜ ２，
在空中做斜抛运动的铅球 铅球距 ｇ ｘ 的定义域为Ｒ ｙ ｙ ｘ ｘ ｘ ｘ ．
（２） ， （ ） ； １－ ２＝２ １＋３－（２ ２＋３）＝２（ １－ ２）
地面的高度是时间的函数关系 不是同一函数 对应关系不同 因为ｘ ｘ 所以ｘ ｘ 即ｙ ｙ ．
； （２） ， ； １＜ ２， １－ ２＜０， １＜ ２
某超市一天的销售额与客流量之 是同一函数 定义域及对应关系都 故函数 ｙ ｘ 在定义域 Ｒ 上是增
（３） （３） ， ＝２ ＋３
间是依赖关系 但不是函数关系 不同． 函数．
， ；
某十字路口 通过汽车的数量是时 Ｂ组 习题2-3
（４） ，
间的函数关系 ( ) Ａ组
； １．定义域为 ３ ．
往烧杯中注水 水的体积是时间的 － ，＋∞ １． 单调递增
（５） ， ２ （１） ；
函数关系 ２． ( )
； 当 ｘ １ 时 函数单调递增
抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币 （２） ∈ ０， ， ；
４
（６） ( )
正面朝上的次数之间是依赖关系 但不 当ｘ １ 时 函数单调递减．
， ∈ ，＋∞ ，
是函数关系． ４
２． 当ｘ 时 函数最小值为 当ｘ
２．略． （１） ＝１ ， ２， ＝４
时 函数最大值为
３．略． ， １７；
当ｘ 时 函数最小值为 当ｘ
Ｂ组 （２） ＝－２ ， ５，
３．因为ｘ Ａ ｆ ｘ ｘ １ Ｂ 时 函数最大值为
１．略． ０∈ ，（ ０）＝ ０＋ ∈ ， ＝－６ ， ３７；
( ２ ) 当ｘ 时 函数最小值为 当ｘ
（３） ＝０ ， １， ＝２
§2 函数 所以 ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ １ 或ｘ 时 函数最大值为
（ （ ０））＝ ０＋ ＝ ２－２· ＝－２ ， ５；
２
( ) 当ｘ 时 函数最小值为 当ｘ
２．１ 函数概念 ｘ １ ｘ Ａ （４） ＝０ ， １， ＝４
练习
０＋
２
＝１－２ ０∈ ，
３．结
时
论 ，
函
ｆ
数
ａ
最大
ｆ
值
ｂ
为
ｆ １７
．
ａ ｆ ｂ ．
所以 ｘ １ ：（ ）＋（ ）＞（－ ）＋（－ ）
１．
（１）１７；（２）２９；（３）２６
． ０≤１－２ ０＜
２
， 证明
：
因为ｆ
（
ｘ
）
在 Ｒ上是减函数
，
ａ
，
ｂ
２． 不是同一函数．因为定义域不同 函 ( ] Ｒ ａ ｂ
（１） ， 解得ｘ １ １ ． ∈ ， ＋ ＞０，
数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ的定义域为Ｒ
，
而函数ｇ
（
ｘ
）
０∈
４
，
２
所以ａ
＞－
ｂ
，
ｂ
＞－
ａ
，
所以ｆ
（
ａ
）＞
ｆ
（－
ｂ
），
ｘ２ ( ] ｆ ｂ ｆ ａ
的定义域为 ｘ ｘ 所以实数ｘ 的取值范围是 １ １ ． （ ）＞（－ ），
＝ ｘ ｛ ｜ ≠０｝； ０ ， 所以ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ ．
４ ２ （ ）＋（ ）＞（－ ）＋（－ ）
是同一函数．因为对应关系相同 定 ì ｘ ｘ ４． ｋ ｋ
（２） ， ï２ ， ∈［０，４］， （１） ∈（－∞，０）；（２） ∈（０，＋∞）；
义域也相同 定义域都是 ｘ ｘ ． ï ｘ ｋ ．
， ｛ ｜ ≠０｝ ４．ｙ í８， ∈（４，８］， （３） ∈（－∞，０］
２．２ 函数的表示法
＝ï
ï－２
ｘ
＋２４，
ｘ
∈（８，１２］，
５．在
（０，＋∞）
上任取ｘ
１，
ｘ
２，
且ｘ
１＜
ｘ
２，
则
î ｘ ． ( )
练习 ０， ∈（１２，１６］ ｙ １－ ｙ ２ ＝ １ － ｘ １ － １－ｘ １ ＝ ｘ １ － ｘ １
１． 定义域为Ｒ 值域为Ｒ §3 函数的单调性和最值 ｘ ｘ １ ２ ２ １
（ （
为
２ １ ） ）
ｂ
定义
ｂ
域为 ［ ａ ， １， ａ ２］∪［ ａ ； ３， ａ ４］， 值域
１
练
．略
习
．
（第 ６２ 页）
因
＝
为
ｘ １
１
－ ｘ
２
２．
ｘ ｘ 所以ｘ ｘ ｘ ｘ 即
（ 域 ３ 为 ［ ） 定 ４， 义 ３ 域 ］； 为 ｛１，２，３，４，５，６，７，８｝， ． 值 ２． ｆ 函 ｘ 数 的 ｙ ＝ 定 ｆ （ 义 ｘ 域 ） 的 为 最 Ｄ 小 若 值 存 定 在 义 实 ： 函 数 数 Ｍ ｙ 对 ＝ ｙ １＜ ｙ ２ ０ ． ＜ １＜ ２， １－ ２＜０， １ ２＞０，
｛１，８，２７，６４，１２５，２１６，３４３，５１２｝ （ ） ， ， 故函数 ｙ １ 在 上单调
２．不是函数图象 表格不是表示数集与数 所有的ｘ Ｄ 都有ｆ ｘ Ｍ 且存在ｘ ＝１－ ｘ （０，＋∞）
， ∈ ， （ ）≥ ， ０
集之间的对应关系． Ｄ 使得ｆ ｘ Ｍ 则称Ｍ为函数ｙ 递增．
∈ ， （ ０）＝ ， ＝
７
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等Ｂ组 对任意的ｘ Ｒ 有ｆ ｘ ｘ ２ 当ｘ 时 ｘ
（２） ∈ ， （－ ）＝（－ ） ＋ ＜０ ，－ ＞０，
１．结论 当ｍ 时 函数 ｆ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｆ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ２ ｘ
： ∈（０，＋∞） ， （ ）＝ ２（－ ）＋１＝ －２ ＋１， ∴ （－ ）＝（－ ） ＋２（－ ）＝ －２ ，
ｍｘ２ ｂ 在 上单调递增 在 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 都不恒 又 ｆ ｘ 为奇函数
＋ ［０，＋∞） ， （－ ）＝ （ ）， （－ ）＝ － （ ） ∵ （ ） ，
上单调递减 当ｍ 成立 ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ．
（－∞，０） ； ∈（－∞，０） ， ∴ （ ）＝－（－ ）＝－ ＋２
时
，
函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｍｘ２
＋
ｂ在
［０，＋∞）
上单 所以函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋２
ｘ
＋１
既不是奇函
综上所述 ｆ ｘ
{ｘ２
＋２
ｘ
，
ｘ
≥０，
调递减
，
在
（－∞，０）
上单调递增
，
当ｍ
＝
数也不是偶函数． ，（ ）＝
－
ｘ２
＋２
ｘ
，
ｘ
＜０
．
时 函数ｆ ｘ ｍｘ２ ｂ为常数函数． 因为ｘ 所以函数ｆ ｘ ｆ ｘ 的图象如下
０ ， （ ）＝ ＋ （３） ∈［０，＋∞）， （ ）＝ （ ） ：
证明 ：（１） 当ｍ ＝０ 时 ， 函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｂ 为 （ ｘ ） ２ 是非奇非偶函数．
常数函数
； 对任意的 ｘ Ｒ 有 ｆ ｘ １
当ｍ 时 （４） ∈ ， （－ ）＝ ｘ＋
（２） ≠０ ， －
任取ｘ ｘ Ｒ 且ｘ ｘ 则 ( )
１， ２∈ ， １＜ ２， ｘ １ ｘ ｆ ｘ
ｆ ｘ ｆ ｘ ｍｘ２ ｂ ｍｘ２ ｂ ｍ ｘ２ （－ ）＝－ ｘ ＋ ＝－（ ），
（ １）－（ ２）＝ １＋ －（ ２＋ ）＝ （ １－
ｘ
因
２ ２）
为
＝ ｍ
ｘ
（ ｘ
ｘ
１＋ ｘ
所
２）
以
（ ｘ
ｘ
１－ ｘ
ｘ
２） ．
．
所以函数ｆ
（
ｘ
）＝
１
ｘ ＋
ｘ是奇函数．
ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数
１＜ ２， １－ ２＜０ （２）∵ （ ） ，
时 ① 若 ， ｘ １ ｍ ＋ ｘ ∈ ２＞ （ ０ ０ ． ，＋∞）， 当ｘ １， ｘ ２∈［０，＋∞） （５） 对任意的ｘ ∈ Ｒ ， 有ｆ （－ ｘ ）＝ （－ １ ｘ ） ２ ＋ ∴ 为 不 ｆ （ 等 ｘ － 式 ２） ｆ ＞ （ － ｘ ｆ － （ ２ ｘ ） ２ － ＋ ２ ｆ （ ｘ ） ｘ２ ＝ － ｆ ２ （ ｘ － ） ｘ ＞ ２ ＋ ０ ２ 可 ｘ ） 变 ． 形
ｍ 当 （ ｘ ｘ
１
１
，
＋ ｘ ｘ
２
２
∈
）（
（
ｘ
－
１
∞
－ ｘ
，
２）
０）
＜ 时 ０，
，
即 ｘ
１
ｆ
＋
（ ｘ ｘ
２
１
＜
）
０
＜ ． ｆ （ ｘ ２） ． （－ １ ｘ ） ４ ＝ｘ １ ２ ＋ｘ １ ４ ＝ ｆ （ ｘ ），
∴
又由 ｘ
－
（
２
１
＞
）
－
可 ｘ２
＋
知
２
ｘ ｆ （
，
ｘ ） 在Ｒ上单调递增 ，
ｍ
所 （ 以
ｘ
１ 当 ＋
ｘ
２ ｍ ）（
ｘ
１－
ｘ
２）＞０，
即
时
ｆ
（ 函
ｘ
１ 数 ）＞
ｆ
ｆ （
ｘ
ｘ ２）
． 所以函数ｆ
（
ｘ
）＝ ｘ
１
２ ＋ｘ
１
４
是偶函数．
解
即
得
ｘ２
－ ｘ
ｘ
－２ 或 ＞０ ｘ ，
∈（０，＋∞） ， （ ）＝ 对任意的ｘ ｘ ｘ 有ｆ ｘ ＞２ ＜－１，
ｍｘ２
＋
ｂ 在
［０，＋∞）
上单调递增
，
在 （６）
ｘ ｘ
∈｛ ｜ ≠０｝， （－ ）＝
∴
不等式ｆ
（
ｘ
－２）＋
ｆ
（
ｘ２
－２
ｘ
）＞０
的解集
（－∞，０） 上单调递减． ｜－ ｘ ｜ ＝－ ｜ ｘ ｜ ＝－ ｆ （ ｘ ）， 为 （－∞，－１）∪（２，＋∞） ．
若ｍ 当ｘ ｘ － Ｂ组
② ∈（－∞，０）， １， ２∈［０，＋∞） ｘ
时 ｘ ｘ ． 所以函数ｆ ｘ ｜ ｜是奇函数．
， １＋ ２＞０ （ ）＝ ｘ １． 因为ｆ ｘｙ ｘｙ ｘ ｙ ｆ ｘ
ｍ ｘ ｘ ｘ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ ． （１） （ ）＝ ＝ · ＝ （ ）·
（ １＋ ２）（ １－ ２）＞０， （ １）＞（ ２） 对任意的ｘ 有 ｘ ｆ ｙ 所以ｆ ｘ ｘ不满足性质Ｔ 满
当ｘ
１，
ｘ
２∈（－∞，０）
时
，
ｘ
１＋
ｘ
２＜０
． （７）
ｆ ｘ ｆ
∈
ｘ
［－１，１］， － ∈［－１，
足
（
性
），
质Ｔ
（ ）＝ １，
ｍ
所 （ 以
ｘ
１ 当 ＋
ｘ
２ ｍ ）（
ｘ
１－
ｘ
２）＜０，
即
时
ｆ
（ 函
ｘ
１ 数 ）＜
ｆ
ｆ （
ｘ
ｘ ２）
． １
对
］
任
，（
意
－
的
）＝
ｘ ∈
１＝
（１
（
，＋
）
∞
；
）， 有 － ｘ ∈（－∞， （２） 因为
２；
ｆ （ ｘｙ ） ＝ （ ｘｙ ） ３ ＝ ｘ３ｙ３ ＝
２． 调 当 （ ｍ － ｘ 递 ２ ∞ ｘ ＋ ∈ 减 ， ｂ ０ （ ； ） 在 － 当 上 ∞ ∈ ［ 单 ｘ ， ０ （ １ ∈ ， 调 ］ － ＋ 和 （ ∞ 递 ∞ １ ， ， ｘ 增 ０ ） ∈ ２ ） ． ］ 上 （ 和 ２ 单 ， ， ３ ｘ 调 ］ ∈ 时 递 （ ， ３ 函 ， 减 （ ＋ 数 ， ∞ ） 在 单 ＝ ） 对 所 － ＋∞ １ 以 任 ） ） ， 意 ｆ ， ｆ （ ｆ （ 的 － ｘ － ｘ ） ｘ ｘ ） ＝ ∈ { ＝ － － （ － ｘ （ ， ｘ － － ｘ ＝ ＜ ∞ ｘ ） － ｆ （ ｘ ， １ ＝ ｘ ， － ｘ ） １ ＝ ． ） 即 ｆ （ ， ｘ 有 ｆ ）； － ｘ ｘ ∈ ｆ （ ｘ １， ｆ ｆ （ Ｔ （ （ １ ３ ｘ ｘ ， ） ） ） 满 因 ｆ ＋ （ 足 ｆ 为 ｙ （ ） 性 ｙ ， ｆ ） （ 所 质 ， ｘ 所 以 ＋ Ｔ ｙ ２ 以 ； ） ｆ （ ＝ ｆ ｘ （ ２ ） ｘ （ ＝ ） ｘ ｘ ＝ ＋ ３ ｙ ２ 不 ） ｘ ＝ 满 满 ２ 足 足 ｘ ＋ 性 性 ２ ｙ 质 质 ＝
时 函数单调递增． （－ ）＝ １，－１≤ ≤１， （－ ）＝ （ ）， Ｔ 不满足性质Ｔ
， ｘ ｘ １， ２；
３． ｆ ． ｆ ． ｆ ｆ ， ＞１， 因为ｆ ｘｙ ｆ ｘ ｆ ｙ 所
（１） （１ ２）＞ （１ ５）；（２） （－１）＞ （３）； { ｘ ｘ （４） （ ）＝１＝１×１＝ （ ） （ ），
４． （
（
３
１
）
）
ｆ 不 （－ 一 ２ 定 ）＜ 单 ｆ （２ 调 ） 递 ；（ 增 ４）
；
ｆ （
（
－
２）
２ 一 ）＜ 定 ｆ （ 单 ３ 调 ） ． 递 故函数ｆ （ ｘ ）＝ １
ｘ
－ ，
ｘ
－ ， １ ＜ ≤ － ｘ １ ≤ ， １， 是偶函数． 以 质Ｔ ｆ （ ２； ｘ ）＝ １ 不满足性质 Ｔ １， 满足性
增 调递 ；（ 增 ３） ． 不一定单调递增 ；（４） 不一定单 （８） 对任意的ｘ ∈ ， ［－ ＞ １ １ ，１］， 有 － ｘ ∈［－１， （５） 因为ｆ （ ｘｙ ）＝ ｘ １ ｙ＝ １ ｘ · １ ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）·
ｆ ｘ ｘ
§4 函数的奇偶性与 １ 对 ］ 任 ，（ 意 － 的 ）＝ ｘ ∈ － （ ； １，＋∞）， 有 － ｘ ∈（－∞， ｆ （ ｙ ）， 所以ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ 不满足性质Ｔ １， 满
简单的幂函数 －１）， ｆ （－ ｘ ）＝－（－ ｘ ＋１） ２ －１＝－（ ｘ －１） ２ － 足性质Ｔ ．
练习 ｘ ２ ２
１＝－［（ －１） ＋１］；
复习题二
１． 奇函数 偶函数 非奇非偶 对任意的 ｘ 有 ｘ
（１） ；（２） ；（３） ∈（－∞，－１）， － ∈（１，
函数． ｆ ｘ ｘ ２ ｘ ２ Ａ组
＋∞），（－ ）＝（－ －１） ＋１＝（ ＋１） ＋１
２．略． ｘ ２ ． １． Ｒ ｘ ｘ 且ｘ
＝－［－（ ＋１） －１］ （１）［０，１］；（２） ；（３）｛ ｜ ≠１， ≠
习题2-4 { ｘ ２ ｘ ｘ ｘ 且ｘ ．
－［－（ ＋１） －１］， ＜－１， －１｝；（４）｛ ｜ ≥－１， ≠２｝
Ａ组 所以ｆ ｘ ｘ ｘ ２． ．
（－ ）＝ － ，－１≤ ≤１， （１）－５；（２）－３，０；（３）０，３
１．对任意的 ｘ ∈ Ｒ ， 有 ｆ （－ ｘ ）＝ ３（－ ｘ ） ３ ＝ －［（ ｘ －１） ２ ＋１］， ｘ ＞１， ３．ａ ( １ ) ．
－３
ｘ３
＝－
ｆ
（
ｘ
），
即ｆ
（－
ｘ
）＝－
ｆ
（
ｘ
），
∈
２
，＋∞
所以函数ｆ
（
ｘ
）＝３
ｘ３ 是奇函数． {
－（
ｘ
＋１）
２
－１，
ｘ
＜－１，
{ａｘ
，０≤
ｘ
≤３５０，
２．对任意的 ｘ ∈ Ｒ ， 有 ｆ （－ ｘ ）＝ （－ ｘ ） ２ ＋ 故函数 ｆ （ ｘ ）＝ １，－１≤ ｘ ≤１， 是 ４． （１） ｙ ＝ ３５０ ａ ＋ ｂ （ ｘ －３５０），３５０＜ ｘ ≤５００，
（－ ｘ ） ４ ＝ ｘ２ ＋ ｘ４ ＝ ｆ （ ｘ ）， （ ｘ －１） ２ ＋１， ｘ ＞１ ３５０ ａ ＋１５０ ｂ ＋ ｃ （ ｘ －５００）， ｘ ＞５００ ．
所以函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ４ 是偶函数． 奇函数． 由 ａ ． 得ａ ． ．
（ ）＝ ＋ （２） ４０ ＝１０５２， ＝２６３
３． 对任意的ｘ Ｒ 有ｆ ｘ ｘ ４．略． 由 ｂ ． 得ｂ ． ．
（１） ∈ ， （－ ）＝３（－ ）－ ５０ ＝１４２５， ＝２８５
ｘ ３ ｘ ｘ３ ｆ ｘ ５． ｆ ｘ 是定义在 Ｒ 上的奇函数 由 ｃ ． 得ｃ ． ．
（－ ） ＝－３ ＋ ＝－（ ）， （１）∵ （ ） ， ３０ ＝１２７５， ＝４２４
所以函数ｆ ｘ ｘ ｘ３ 是奇函数． ｆ ． ５．如图 水库蓄水量随水深的增大而增
（ ）＝３ － ∴ （０）＝０ ，
８
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大 而且增量有增大的趋势． 即ｆ ｘ ｆ ｘ ．
， （－ ）＝－（ ） ｘ １ ｘ ｙ２ ３．
所以函数ｆ ｘ 在Ｒ上是奇函数． （７） ＋ ｘ ＋２；（８）４ －
（ ）
{ ａ ３． ． ．
[ ] （１）６；（２）０３５
３．由题意 得 ≥０，所以ａ １ ． ( ) ２ æ βö２ ２ β
， ２ ∈ ０， ４． ９ ３ ç１０ ÷ １０
ａ ３ （１） ＝ ＝ è αø ＝ ２ α
３ ≤１， ４ ２ １０ １０
β α
２－２
第三章 指数运算与指数函数 ＝１０ ；
α β αβ
２ ２ ２ ＋
（２）１２＝２ ×３＝（１０ ） ×１０ ＝１０ ；
§1 指数幂的拓展 ３ ２ α ３ β ２
（３） ７２ ＝ ２ × ３ ＝ （１０ ） ×（１０ ）
α β
Ｂ组 练习 ＝１０ ３ ＋２ ；
１．略． １． ｂ －３ ５ ｂ －４ ３ ｂ － ３ ２ ｍ ｎ ｍ ６ （２×３） １ ２ （１０ α ×１０ β ） １ ２
２．定义域为 ． （１） ＝２ ；（２） ＝３ ；（３） ＝π （ ， （４） ＝ α ＝ α ＝
［０，１） ｎ Ｎ ． ２ １０ １０
３．ａ ＝－４ 或ａ ＝８ ． ２． ∈ １ ＋） １ ． （１０ α ＋ β ） １ ２ １０ α＋ ２ β β－ ２ α ．
ｘ （１） ；（２） α ＝ α ＝１０
４． 因为ｆ ｘ １－ 当ｘ 时 ２ ９ １０ １０
（１） （ ）＝ １＋ ｘ， ≠±１ ， 习题3-1 ５．ｙ ＝１２０ ｎ ；１２０ ５ ≈２ ． ４５×１０ １０．
ｆ ｘ １－（－ ｘ ） １＋ ｘ ｆ ( １ ) Ａ组 Ｂ组
（－ ）＝ １＋（－ ｘ ） ＝ １－ ｘ＝ ｘ ； １． ３ ３ａ６ ４ ． １． （１）２２９ ． ０９；（２）２９ ． １９；（３）９ ． ８６；
ｘ （１） ２７；（２） ；（３） １６ ． ．
因为ｆ ｘ １－ 当ｘ 时 且ｘ （４）０７８
（２） （ ）＝ １＋ ｘ， ≠－１ ， ２． （１） １ ；（２）１；（３） ２ ；（４）２；（５）６４； ａ－２ １ ａ１ ２ ａ１ ２ ２
８ ５ ２． １－ ２ （ －１）
( ) １－ １ ｘ ｘ ４ ． （１） １＋ ａ－２ １ ＋ａ －１ ＝ （ ａ１ ２ ＋１）（ ａ１ ２ －１） ＋
≠０ 时 ， ｆ １ ｘ ＝ ＝ｘ －１ ＝－ ｆ （ ｘ ） ． （６）１０；（７） ７ ；（８）１ ａ１ ２ ａ ａ１ ２ ａ１ ２ ａ
１ ＋１ ( ) ． ( ) ． ２ １＋ －２ ＋２ １＋
１＋ ｘ ３．ｆ １ ００００１５×１００００ １ １５ ａ －１ ＝ ａ －１ ＝ａ －１ ；
（１０ ０００）＝ ＝ ＝
５．当ｘ 或 ｘ 时 函数值小于 ３ ３ ｂ２ ｂ－２ ｂ ｂ－１ ２ ｂ ｂ－１
＜－１ ０＜ ＜１ ， ０； －２＋ （ － ） －
当ｘ
＝－１
或ｘ
＝１
时
，
函数值等于
０； １ ３
（２） ｂ２
－
ｂ－２ ＝
（
ｂ
＋
ｂ－１
）（
ｂ
－
ｂ－１
）
＝ｂ
＋
ｂ－１
当 当 － ｘ １ ∈ ＜ （ ｘ ＜ － ０ ∞ 或 ，０ ｘ ） ＞ 和 １ 时 （０ ， ， 函 ＋ 数 ∞ 值 ） 时 大 ， 于 函 ０ 数 ； 单 ｆ （２ ２ ０ ７ ＝ ０００ ９ ） ； ＝ ( １ ) ０ ． ０００１５×２００００ ＝ ( １ ) ３ ＝ｂ ｂ ２ ２ ＋ － １ １．
调递增． ３ ３ ３． 因为 ｘ１ ２ ｘ－２ １ ２ ｘ ｘ－１ 且 ｘ
（１） （ ＋ ） ＝ ＋ ＋２， ＋
６．略． ＝ １ ． ｘ－１ ＝３， 所以ｘ１ ２ ＋ ｘ－２ １ ＝ ５；
７．ａ ． ２７
＝１ 该型号汽车行驶 和 因为 ｘ１ ２ ｘ－２ １ ２ ｘ ｘ－１ 且 ｘ
８．因为ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 为偶函数 １００００ｋｍ ２００００ｋｍ （２） （ － ） ＝ ＋ －２， ＋
所以ｂ （ ）＝ ＋ ＋ （ ≠０） ， 时的存电比例分别为 ３ １ ． ｘ－１ ＝３， 所以ｘ１ ２ － ｘ－２ １ ＝１；
所以ｇ ＝
（
ｘ ０
）
，
＝
ａｘ３
＋
ｃｘ
（
ａ
≠０），
ｇ
（－
ｘ
）＝ Ｂ组
９ ， ２７
（３）
因为ｘ３ ２
＋
ｘ－２ ３
＝（
ｘ１ ２
＋
ｘ－２ １
）
３
－３（
ｘ１ ２
＋
ａ 函 所 （ 数 以 － ｘ ． ） ｇ ３ （ ＋ ｘ ｃ ） （－ ＝ ｘ ａ ） ｘ ＝ ３ ＋ －（ ｂｘ ａ ２ ｘ ＋ ３ ＋ ｃ ｃ ｘ ｘ （ ） ａ ＝ ≠ － ｇ ０ （ ） ｘ 为 ）， 奇 １． ａ （１ １ ３ ） ｍ ａ ２ ３ ５ ６ ；（２）（ ３ ｍ ａ － ２ ｎ ） ａ ３ ２ ２ ３ （ ｍ ａ ＞ ２ ３ ｎ － ）； ２ ３ （３ ａ ） － ａ ６ ５． １ ２ · ｘ ２ －２ １ ５ ） 因 ； ， 且 为 ｘ ｘ １ ２ ３ ２ ＋ ｘ ｘ － － ２ ３ ２ １ ＝ ｘ ５ １ ２ ， 所 ｘ－ 以 ２ １ ｘ ３ ３ ２ ＋ ｘ－ ｘ ２ ３ １ ２ ＝
１
Ｃ
．
组
ｘ ｙ ｘ２ ｘｙ ｙ２ ｘ３ ｘ２ｙ ｘｙ２
＝ ；（４） ａ３ ＝ ａ３ ２ ＝ ＝ （
ｘ－
４
２ １
）
）， 且ｘ１ ２ －
－
ｘ－２ １ ＝
＝
１
（
， 所
－
以ｘ３ ２
）
－ ｘ
－
－
３
２ ３
（
＝－２
－
．
（１）（ － ）（ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ －
ｘ２ｙ ｘｙ２ ｙ３ ｘ３ ｙ３ §2 指数幂的运算性质
－ － ＝ － ； §3 指数函数
在Ｒ上任取ｘ ｘ 且ｘ ｘ 则 练习
（２） １， ２， １＜ ２， 练习（第 页）
ｆ （ ｘ １）－ ｆ （ ｘ ２）＝－ ｘ３ １＋１－（－ ｘ３ ２＋１）＝ ｘ３ ２－ ｘ３ １ １． （１）３ ２ ×３ １ ２ ×３ －３ ＝３ －２ １ ； １．ｙ ｘ ｘ ８６ Ｎ ．
＝（
ｘ
２－
ｘ
１）（
ｘ２
２＋
ｘ
２
ｘ
１＋
ｘ２
１）＝ （
ｘ
２－
ｘ
１） ｘｙ－１ １ ２ ｘ－２ １ ｙ１ ２ ． ２．
＝２（ ∈ ＋）
（２）（ ） ·（２ ）·（３ ）＝６
· é ë êê æ è çｘ ２＋ ｘ １ ö ø ÷ ２ ＋ ３ ｘ２ １ ù û úú． ２． （１） ２ ＝１０ α － β ； ｘ １ １ ３
２ ４ ３ －４ －２ － ０ ３
因为 ｘ ｘ 所以 ｘ ｘ 又因为 α α ２ ４ ２
１＜ ２， ２－ １＞０， （２）８＝２ ３ ＝（１０ ） ３ ＝１０ ３ ；
æ çｘ ｘ １ ö ÷ ２ ３ ｘ２ １ 所以 ｆ ｘ ｆ ｘ （３）２４＝２ ３ ×３＝１０ ３ α ×１０ β ＝１０ ３ α ＋ β ； ｙ ＝２ ｘ ０ ． １ ０ ． ３ ０ ． ７ １ １ ． ２ ２ ． ８ ８ ． ０
è ２
．
＋ ２ ø ＋ ４ ＞０， （ １）－ （ ２）
（４）
３
＝
１０
α
β ２
＝１０
β ２－ α．
程
根据
ｘ
函数
的
ｙ
近
＝
似
２ ｘ
解
的
为
图
ｘ
象 （ 图
． ．
象略 ） 得方
＞０ ２ １０ ２ ＝５ ＝２３
故函数ｆ （ ｘ ）＝－ ｘ３ ＋１ 在Ｒ上是减函数． 习题3-2 ３． （１）３ －２ ． １ ＞３ －２ ． ７ ；（２）２ １ ． ６ ＞２ ０ ． ６．
２．结论 函数ｆ ｘ 在Ｒ上是奇函数． Ａ组 练习（第 页）
： （ ） ８９
证 对 明 任意 ： 因 的 为 ｘ 函 ｙ 数 Ｒ ｆ （ ｘ 都 ） 在 有 Ｒ ｆ 上 ｘ 满 ｙ 足 ： ｆ ｘ １． （１） ａ１ ６ １ ；（２） ｘ１ ３ｙ－３ １ｚ２ ３ ；（３） ５ ｒ２ ｓ ｔ３ ． １． （１）２ －１ ． ５ ＜２ １ ． ５ ；（２） ( １ ) － ６ ＞ ( １ ) －１ ． ５ ；
， ∈ ， （ ＋ ）＝ （ ）＋ ４ ６ ６
ｆ （ ｙ ）， ２． ａ－１ １ ２ ｂ５ ２ ３ ａ－３ ２ ｂ２ｃ１ ２ ２ ( １ ) －１ ． ４ ０ ． １ ０ ． ２．
令ｘ ｙ 得ｆ ｆ ｆ 所以 （１） ；（２）－６ ；（３）－ ； （３）８ ＞ ；（４）２ ＜３
＝ ＝０， （０）＝ （０）＋ （０）， ５ ８
ｆ
（０）＝０
．
３
ｂ３
ｘ１ ６ １ ｘ２ ３ ｘ－４ ７ｙ２
２．
（１）
由ｘ
－２＞－３，
解得ｘ
＞－１；
令ｙ ｘ 得ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ （４） ａ４；（５）６ －３ ；（６）２ ； 由ｘ２ ｘ 解得ｘ Ｒ．
＝－ ， （０）＝ （ ）＋（－ ）， ２ （２） ＋１＞ ， ∈
９
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等１ 练 习 ． （ 习 题 １） （ 3 第 ( - ３ ５ ９ 3 １ ) － 页 ５ ２ ＜ ） ( ５ ３ ) －５ ３ ；（２）２ ０ ． １ ＞０ ． ３ ２． 的 单 象 长 图 位 向 度 象 长 右 得 度 平 到 ， 将 得 移 ｙ ｙ ＝ 到 １ ＝ ３ ３ 个 ｘ ｙ ＋ ｘ ３ ＋ 单 的 ３的 ｘ 图 位 － 图 １的 象 长 象 图 ， 度 向 将 象 得 右 ｙ ． 到 平 ＝３ 移 ｙ ｘ ＝ 的 ４ ３ 图 个 ｘ －１ 所 ＝± 以 ｘ ｘ （ ｘ １ ２ １ ２ － － ＋ ｙ ｙ ｙ ） １ ２ １ ２ ２ － ＝ ４ ｘ ｘ ｙ ＋ ＝ ｙ － ｘ ± ２ － ６ ｘ ｙ １ ２ ３ ｙ ， １ ２ ＝ ± １２ ６ － ３ ６ ＝
＝３
( )ｘ
Ａ组
将ｙ １ 的图象向右平移 个 ±
３．
１． 定义域 Ｒ 值域 （２） ＝ ２ １ ３
（１） ： ， ：（０，＋∞）； ( )ｘ
（２） 定义域 ： Ｒ ， 值域 ：（０，＋∞）； 单位长度得到ｙ ＝ １ －１ 的图象 ， 将ｙ ２．ｇ （２）＝ ｆ （２）＝－ ｆ （－２）＝－２ －２ ＝－ ４ １ ．
（３） 定义域 ： Ｒ ， 值域 ：（０，＋∞）； ( )ｘ －１ ２ ３．由于ｆ （１）＝２， ｆ （ ａ ）＝－２＜０， ｆ （ ａ ）＝ ａ ＋１，
（４） 定义域 ：｛ ｘ ｜ ｘ ≠０｝， 值域 ：｛ ｙ ｜ ｙ ＞０， ＝ １ 的图象向上平移 ２ 个单位长 解得ａ ＝－３ ．
且ｙ
≠１｝；
２
( )ｘ －１ ４．略．
（５） 定义域 ：｛ ｘ ｜ ｘ ≠２｝， 值域 ：｛ ｙ ｜ ｙ ＞０， 度得到 ｙ ＝ １ ＋２ 的图象 ， 将 ｙ ＝ Ｃ组
且
（６）
ｙ
定 ≠１ 义 ｝ 域 ； ：｛ ｘ ｜ ｘ ≠０｝， 值域 ：｛ ｙ ｜ ｙ ＞０，
(
２ １
)ｘ
－１ 的图象
２
先向左平移 １ 个单位长
１．由
５，
已
ｔ ∈
知
［１
令
，４
ｔ
］ ＝ ． ２ 当
ｘ
，
ｘ
ｔ ∈ ＝４ ［０ 时 ，２ ， ］ 函 ，
ｆ
数 （
ｔ
取 ）＝ 得
ｔ２
最 －３ 大
ｔ
＋
且ｙ ．
≠１｝ 度 ， 再向下平移 １ 个单位长度得到 ｙ ＝ 值 最大值为 当ｔ ３ 时 函数取得最
２． ａ ｂ ｃ ( )ｘ ， ９； ＝ ，
（１） ＜ ＜ ； １ 的图象． ２
指数函数的底数越大 它的图象与 －１
（２） ， ２ 小值 最小值为１１．
直线ｘ 的交点的纵坐标越大． ６． ｘ ｘ ，
３． （１）π －０ ＝ ． ２ １ ＞π －１ ；（２） ( １ ４ ) －１ ． １ ＞ ( ４ １ ) １ ． １ ． ７． （ （ 略 ３ １ ． ） ） ｘ ∈ ∈ ［ ［ ２ ０ ， ， ＋ ＋ ∞ ∞ ） ） ； ； （ （ ４ ２ ） ） ｘ ∈ ∈ ［ （ ０ － ， ∞ ＋∞ ，０］ ） ； ． ２． （１） ｆ ｍ （ ｘ ）＝ [ ３ ( · １ ２ ｘ ) ４ ； ｘ ( １ )ｘ] 且 ｘ
４． ( １ ) ３ ． ２ １ ． ２ ２ ． ２ 复习题三 （２） ≤ ａ ＋ ｂ ｍｉｎ ， ∈
（１） ＜３ ＜３ ； 所以ｍ ．
２ （－∞，０］， ∈（－∞，２］
( ) １ ( ) １ ( ) １ Ａ组 ３．略．
－５ －３ －２
７ ３ ３ ．
（２） ＜ ＜ １． 由 ｘ ｘ２ 解得ｘ 或ｘ ４．略．
３ ４ ４ （１） ２ －３＝－ ， ＝－３ ＝１；
５． ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ．
（１） ＜ ；（２） ＞ ；（３） ＞ ；（４） ＜ 由 ｘ ｘ 解得ｘ ５ ． 第四章 对数运算与对数函数
６． ａ ａ ａ （２） ２ ＝１０－２ ， ＝
（１）０＜ ＜１；（２） ＞１；（３）０＜ ＜１；（４）０＜ ２
ａ ＜１ ． ２． ． －１ ． ２ ． －０ ． ６ ( １ ) １ ３ §1 对数的概念
７．略． （１） ０ ４ ＞ ０ ４ ；（２） ＞
５ 练习
８． ｆ ｘ ａｘ 的图象经过点 ( ) ２
∵ ｆ （ ）＝ ａ２ （２，３）， １ ３ ；（３）２ －１ ． ３ ＜０ ． ２ －０ ． ３ ；（４）０ ． ８ － ２ ＜ １． （１）ｌｏｇ２１０２４＝１０；（２）ｌｏｇ１ ３２７＝－３；
∴ （２）＝ ＝３， ５ ． ． ．
又 ∵ ａ ＞０，∴ ａ ＝ ３， １ ． ５ ３． ２． （ （ １ ３ ） ） ３ ｌｇ ４ ＝ ０ ８ ０ １ ０ ； ０ （ １ ２ ＝ ） － １ ４ ０ ； ５ （ ＝ ４ １ ） ０ ｌ ０ ｏｇ ０ １ ． ０ ２２ ０； ０ （ ７３ ３） ６ ｅ ＝ ３ ４ ＝
ｆ ｘ ｘ ３． ３ ． ( ) －４
∴ （ ）＝（ ３） ， （１） ；（２）２ ２－３ ３ １ ．
２ ｅ ；（４） ＝６２５
ｆ －２ １ ４． ｘ ｘ ｘ ｘ ５
∴ （－２）＝（ ３） ＝ ， （１）｛ ｜ ≠－１｝；（２）［０，＋∞）；（３）｛ ｜ ３．
３ 当ａ 时 ｘ 当 （１）４；（２）－２；（３）２；（４）１；（５）２；
≠０｝；（４） ＞１ ， ∈（０，＋∞）； ０ ．
ｆ ｍ １ ｆ ． ａ 时 ｘ ． （６）６；（７）２；（８）６
∴ （２ －１）＞ ＝ （－２） ＜ ＜１ ， ∈（－∞，０） 习题4-1
３ ５． ｍ ｎ ｍ ｎ 当 ａ 时 ｍ
又 ｆ ｘ ｘ 在Ｒ上单调 （１） ＞ ；（２） ＜ ；（３） ０＜ ＜１ ， Ａ组
∵ ３＞１，∴ （ ）＝（ ３） ｎ 当ａ 时 ｍ ｎ．
递增 ＞ ； ＞１ ， ＜ １．
ｍ ， ６． ２ －４ ９． （１）ｌｏｇ３７２９＝６；（２）ｌｏｇ２４０９６＝１２；
解 ∴２ 得 － ｍ １＞－ １ ２， ７． （１） ｙ ∈（－∞，６］；（２） ｙ ∈ [ １ ， １ ] ． （３）ｌｏｇ２ ８ ７ ９ ４ ＝ ３ ２ ；（４）ｌｏｇ６４ １ ４ ＝－ ３ １ ．
＞－ ， ６４ ４ ２． ９ ３ ２
２ ８． ｘ ｘ （１）２ ＝５１２；（２）２５ ＝１２５；
( ) （１）｛ ｜ ≠０｝； ( )ｍ
ｍ的取值范围为 １ ． ｆ ｘ 为偶函数．理由为 因为ｆ ｘ －６ ． １ ． ．
∴ － ，＋∞ （２） （ ） ： （－ ） （３）１０ ＝００００００１；（４） ＝４２
２ æ ö ｘ ｘ ３
１ Ｂ ． 组 错 错 对 错． ＝（－ ｘ ）·è ç ２ － ｘ １ －１ ＋ ２ １ ø ÷ ＝－ ２ · １ １ － ＋ ２ ２ ｘ＝ ３ Ｂ ． （ 组 １）１；（２）－２；（３）０；（４）２；（５）３；（６）５ ．
２． （ ｘ－ １ ｙ ） ｘ－ ｘ ；（ ｘ ２ ｘ ） ｘｙ． ；（３） ；（４） ｆ （ ｘ ）， 所以ｆ （ ｘ ） 为偶函数． { ｘ２
＞ ＞ ＞ æ ö ｘ ｘ ２ －１＞０，
３． 当ｘ １ 时 ｙ ｙ （３） ｆ （ ｘ ）＝ ｘ è ç ｘ １ ＋ １ ø ÷ ＝ · ２ ｘ ＋１． １．由题意 ， 得 ３ ｘ２ ＋２ ｘ －１＞０， 解得ｘ ＝
（１） ＝－
５
， １＝ ２；
ｘ
２ －１
ｘ
２ ２ ２ －１
２
ｘ２
－１＝３
ｘ２
＋２
ｘ
－１，
设ｇ ｘ ２ ＋１ ２ －１＋２ ２ ． ．
若ａ 当ｘ １ 时 ｙ ｙ 若 ａ （ ）＝ ｘ ＝ ｘ ＝１＋ ｘ －２
（２） ＞１， ＞－ ， １＞ ２； ０＜ ２ －１ ２ －１ ２ －１
５ 当ｘ 时 ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ
＞０ ，２ ＞１， （ ）＞０，（ ）＞０； §2 对数的运算
＜１， 当ｘ ＜－ ５ １ 时 ， ｙ １＞ ｙ ２ ． 当ｘ ＜０ 时 ，２ ｘ ＜１， ｇ （ ｘ ）＜０， ｆ （ ｘ ）＞０ ．
４． （１） ｆ （ ｘ ）· ｆ （ ｙ ）＝３ ｘ ·３ ｙ ＝３ ｘ ＋ ｙ ＝ ｆ （ ｘ ＋ ｙ ）； 综上 ， 对任意的 ｘ ∈｛ ｘ ｜ ｘ ≠０｝， 都有 ２．１ 对数的运算性质
（２） ｆ ｆ （ ｘ ｙ ） ＝ ３ ｙ ｘ ＝３ ｘ － ｙ ＝ ｆ （ ｘ － ｙ ） ． Ｂ ｆ 组 （ ｘ ）＞０ ． 练习
（ ） ３ １． ｘ ｘ １ ｘ ４ ｘ
５． 将ｙ ｘ 的图象向左平移 个单位 １．由已知 有ｘ ｙ ｘ ｙ ２ （１） ＝８；（２） ＝ ；（３） ＝ ；（４） ＝
（１） ＝３ ３ ， － ＝± （ － ） ２５ ３
１０
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ｘ ． ｘ ．
６；（５） ＝０１；（６） ＝３ １ ． （２）
２． （６）４０；（７）１；（８）
（１）１０；（２）５；（３）１８；（４）１；（５）－１； ２ ｘ ．
０００００１ １００００
．
３． （６）２ ｘｙｚ ｘ ｙ ｚ ７． ０ ． ７５ ｘ ＝ １ ， ｙ ＝ｌｇ ｘ －５ ４
（１）ｌｇ（ ）＝ｌｇ ＋ｌｇ ＋ｌｇ ； ３
（ （ ３ ２ ） ） ｌ ｌ ｇ ｇ（ ｘ ｚ ｘ ２ ３ ２ ｙ ｙ ＝ ｚ３ ２ ） ｌｇ ＝ ｘ ２ ＋ ｌｇ ｌｇ ｘ ｙ ＋ － ｌｇ ３ｌ ｙ ｇ ＋ ｚ ３ ； ｌｇ ｚ ； ｘ ＝ｌｏｇ３ ４ １ ３ ＝
ｌ
ｌ
ｇ
ｇ ３ １ ３ ＝ ｌｇ３ － － ｌｇ ２ ３ ｌｇ２ ≈３ ． ８ ． ２． （ （ ２ １ ） ） ｙ ｙ ＝ ＝ ２ ( ｘ ３ ４ 与 ) ｙ ｘ ＝ 与 ｌｏ ｘ ｇ２ ＝ ｘ ｌｏ 互 ｇ 为 ４ ３ ｘ 反 互 函 为 数 反 ； 函数 ；
４ ｙ ｘ 与ｙ ｘ互为反函数．
（４）ｌｇ（ ｘ－２ １ｙｚ２ ３ ）＝－ １ ｌｇ ｘ ＋ｌｇ ｙ ＋ ２ ｌｇ ｚ． 估计经过 ４ 年 ， 该物质的剩余量是原来 （３） ＝ｅ ＝ｌｎ ( )ｘ
２ ３ ３． ｙ ． ｘ ｙ ｘ ｙ １ ．
的 １ ． （１） ＝２５ ；（２） ＝π ；（３） ＝
２．２ 换底公式 ４
３ ４． ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｂ组 （１） ＝ｌｏｇ４ ；（２） ＝ｌｏｇ１ ． ４ ；（３） ＝
练习 ｘ．
１．设 ｂ ｘ 则ａｘ ｂ １． ｌｏｇπ ２
ｌｏｇａ ＝ ， ＝ ， ３．２ 对数函数ｙ＝ ｘ
两边同取以ｃ为底数的对数
，
有 ｘ
ｌｏｇｃ
ａ 对数
ｌｏｇ２０
．
５ ｌｏｇ２１ ｌｏｇ２１
．
５ ｌｏｇ２２
ｌｏｇ２
＝ｌｏｇｃ ｂ ， 所以 ｌｏｇａ ｂ ＝ ｌｏｇｃ ａ ｂ ． 对数值 －１ ． ００ ０ ． ００ ０ ． ５９ １ ． ００ 练习 的图象和性质
ｌｏｇｃ
对数 ． ．
ｌｏｇ２２５ ｌｏｇ２３ ｌｏｇ２３５ ｌｏｇ２４ １． ． ．
２．
（１）
９
；（２）１５；（３）１；（４）－２
．
对数值 ． ． ． ．
（１）ｌｏｇ２０８
．
＞ｌｏｇ２０３；
．
３．
１０
．
１３２ １５９ １８１ ２００ （２）ｌｏｇ０ ． ５０１＞ｌｏｇ０ ． ５１１；
结
（１
论
）４；（２）
ｂ
ｌｏｇ３４；（
ｃ
３）１
ｃ．
对数
ｌｏｇ２４
．
５ ｌｏｇ２５ ｌｏｇ２５
．
５ ｌｏｇ２６ （３）ｌｏｇ３ ２７＞ｌｏｇ３５；
４．原式左 ：ｌｏ 边 ｇａ ·ｌｏｇｂ ＝ｌｏｇ 右 ａ 边 对数值 ． ． ． ． （４）ｌｏｇ１ ３０ ． ８＞ｌｏｇ１ ３１ ． ２ ．
×２＝６， 所以
＝ｌ
原
ｏｇ２
式
６４
成
＝
立
６，
．
＝３ｌｏｇ８６４＝３
对数 ｌｏ
２
ｇ２
１
６
７
． ５ ｌ
２
ｏｇ
３
２
２
７ ｌｏ
２
ｇ２
４
７
６
． ５ ｌ
２
ｏｇ
５
２
９
８ ２． （１） ｘ ＜ ２ ３ ；（２） ｘ ＞１ ．
ｂ
５． （１）ｌｏｇａα ｂ ＝
ｌ
ｌ
ｏ
ｏ
ｇ
ｇ
ｂ
ｂ ａα＝α
ｌｏ
１
ｇｂ
ａ； 对数值 ２ ． ７０ ２ ． ８１ ２ ． ９１ ３ ． ００ ３．３ 对数函数ｙ＝ ｌｏｇａ ｘ
（２）ｌｏｇａα ｂβ ＝ ｌｏｇａ ａ ｂβ α＝α β ｌｏｇａ ｂ ａ＝ α β ｌｏｇａ ｂ． 但 结论 是 ： 增 随 量 着 越 真 来 数 越 的 小 增 等 大 ． ， 对数值也增大 ， 练习 的图象和性质
ｌｏｇａ ｌｏｇａ
２． ．
６．因为 ａ ｂ ａｂ ｂａ 所以 ｂ ａ （１）８；（２）５ １．相同点 定义域为 值域为Ｒ
＞０， ＞０， ＝ ， ｌｎ ＝ ３． ｘ ｘ ３ ： （０，＋∞）； ；
ａ ｂ． （１） ＝１０；（２） ＝ｅ ； 无最值 且图象过点 ．
ｌｎ ， （１，０）
因为 ｂ ａ 所以 ａ ａ ａ ａ 即 ｘ －３ １ ｘ １ ． 不同点 ｙ ｘ 在定义域 上
ａ
＝３
ａ
， ３ ｌｎ ＝ ｌｎ ３ ， （３） ＝１０ ；（４） ＝
４ 是增函数
： ＝
ｙ
ｌｏｇ３
ｘ在定义
（
域
０，＋∞）
３ 所 ｌｎ 以 ＝ ａ３ ｌｎ３ ａ ， 所以ａ ． ４．由已知 ， 得 ｌｎ ａ ＋ｌｎ ｂ ＝ ３ ，ｌｎ ａ ·ｌｎ ｂ 上是减函数 ； ． ＝ｌｏｇ１ ３ （０，＋∞）
＝３ ， ＝ ３ ２
习题4-2
１ ． ２． ｘ ｘ １ ｘ ．
Ａ组 ＝ ２ （１） ＜１；（２） ＞ ２ ；（３）０＜ ≤１
１． １ １ ｌｎ ａ ＋ｌｎ ｂ ３． （１）ｌｇ６＜ｌｇ８；（２）ｌｇ０ ． ３５＞ｌｇ０ ． ３７；
（１） ａ＋ ｂ＝ ａ ｂ＝３； 当 ａ 时 ． ． 当ａ
( ) ３ ｌｎ ｌｎ ｌｎ ·ｌｎ （３） ０＜ ＜１ ，ｌｇａ２ ５＞ｌｇａ３ ８； ＞１
指数式 １ ＝ １ １０ ４ ＝１００００ ６ ３ ＝２１６ ｂ ａ ｌｎ ｂ ｌｎ ａ ｌｎ ２ａ ＋ｌｎ ２ｂ 时 ，ｌｇａ２ ． ５＜ｌｇａ３ ． ８ ．
２ ８ （２）ｌｏｇａ ＋ｌｏｇｂ ＝ ａ＋ ｂ＝ ａ ｂ 习题4-3
ｌｎ ｌｎ ｌｎ ·ｌｎ
对数式 １ ａ ｂ ２ ａ ｂ Ａ组
ｌｏｇ１ ２ ８ ＝３ ｌｇ１００００＝４ｌｏｇ６２１６＝３ ＝ （ｌｎ ＋ｌｎ ａ ） －２ｌｎ ｂ ·ｌｎ ( )ｘ
ｌｎ ·ｌｎ １． ｙ ｘ ｙ ． ｘ ｙ １ ．
指数式 ９ ３ ＝７２９ （ ５） ６ ＝１２５（ｅ） －３ ＝ ｅ １ ３ ＝ （ ｌ ｌ ｎ ｎ ａ ａ · ＋ｌｎ ｌｎ ｂ ｂ ） ２ －２＝ ２ ５ ． ２． （１） ＝３ ；（２） ＝０７ ；（３） ＝ ５
（１）
对数式 ｌｏｇ９７２９＝３ ｌｏｇ５１２５＝６ ｌｎ ｅ １ ３ ＝－３ ５． （１）８；（２） ５ ４ ． ｘ １ ３ ９
２． 错 错 错 对 错． Ｎ ｙ ｘ
（１） ；（２） ；（３） ；（４） ；（５） ６．因为
ｌｇ
Ｎ
＝
ｌｎ
＝
１
·ｌｎ
Ｎ
＝
Ａ
·ｌｎ
Ｎ
，
＝ｌｏｇ３ ０ １ ２
３． １ ｌｎ１０ ｌｎ１０
（１）２；（２）－５；（３）－ ；（４）４；（５）２； （２）
４ 所以Ａ １ ．
＝ ｘ ． ．
２ ． ｌｎ１０ ００１ ０００１ １０００
（６）－１；（７）－２；（８） ７．略．
３ ｙ ｘ
＝ｌｇ －２ －３ ３
４． （１） ｘ ＝ １ ；（２） ｘ ＝１０； §3 对数函数 ( )
５ ３． ４
（１）（－∞，３）；（２） － ，＋∞ ；
ｘ ｘ １ ． ３．１ 对数函数的概念 ( ] ３
（３） ＝５；（４） ＝
２７ １ ．
ａ 练习 （３） ２ ，１
５． ａ ｂ ３
（１）ｌｇ６＝ ＋ ；（２）ｌｏｇ３８＝ ｂ ； １． （１） ４． （１）ｌｎ５＜ｌｎ９；（２）ｌｏｇ０ ． ３１ ． ６＜ｌｏｇ０ ． ３１ ． ５；
（３）ｌｏｇ２２４＝３＋ ａ ｂ ；（４）ｌｇ ２
８
７ ＝３ ｂ －３ ａ．
ｙ
ｘ
ｘ
０ ． ２５ ０ ． ５ １ ２ ４ ８
（
（
４
３
）
）ｌ 当 ｏｇ１
０
． ２
＜
６ ａ ＜
＜
ｌｏ
１
ｇ１ ． 时 ２８；
，ｌｏｇａ
ｍ
＜ｌｏｇａ
ｎ
；
当 ａ
＞１
６． （１）－１；（２）３；（３）２；（４）２；（５）１； ＝ｌｏｇ１ ２ ２ １ ０ －１ －２ －３ 时 ，ｌｏｇａ ｍ ＞ｌｏｇａ ｎ．
１１
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等５． ｍ ｎ ｍ ｎ 当 ａ 时 ｍ １．观察ｆ ｘ 的图象 在 内ｆ ｘ
（１） ＜ ；（２） ＜ ；（３） ０＜ ＜１ ， （２）ｌｏｇ０ ． ２７＞ｌｏｇ０ ． ２９； ｉ（ ） ， （－∞，０） １（ ），
ｎ 当ａ 时 ｍ ｎ． ｆ ｘ 都与ｘ轴有交点 所以ｆ ｘ
＜ ； ＞１ ， ＞ （３）ｌｏｇ０ ． ３５＜ｌｏｇ３５； ２（ ） ， １（ ）＝ ０，
６．ｃ ａ ｂ． 当 ａ 时 当 ａ ｆ ｘ 有解 而在 内ｆ ｘ
＜ ＜ （４） ０＜ ＜１ ，ｌｏｇａ２＞ｌｏｇａ６， ＞１ ２（ ）＝０ ， （－∞，０） ３（ ），
Ｂ组 时 ． ｆ ｘ 都 与 ｘ 轴 没 有 交 点 所 以
，ｌｏｇａ２＜ｌｏｇａ６ ４（ ） ，
１． 不一定成立 ｘ 的取值范围不同． ８． ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ． ｆ ｘ ｆ ｘ 无解．
（１） ， （１） ＞ ；（２） ＞ ；（３）｜ ｜＜｜ ｜ ３（ ）＝０，４（ ）＝０
ｌｏｇａ
ｘ２ 中ｘ
∈｛
ｘ
｜
ｘ
≠０｝，
而
２ｌｏｇａ
ｘ中ｘ
∈
９．
（１）
非奇非偶函数
；（２）
非奇非偶函数
；
２．有解．
ｘ ｘ 奇函数 偶函数 奇函数． [ ]
｛ ｜ ＞０｝； （３） ；（４） ；（５） ３． 可以是 １ ３
（ （ ３ ２ ） ） 一 不 定 一 成 定 立 成 ； 立 ， 应改为 ｌｏｇａ｜ ｘ · ｙ ｜ ＝ １ １ ０ １ ． ． （１） ｘ Ｄ ＝ ｍ３ｎ ； Ａ （ ． ２） ｘ ＝ ｂ ｃ ２ ． （ （ ２ １ ） ） 可以是 [ １ ２ ， ， ２ １ ] ； ．
ｌｏｇａ｜ ｘ ｜＋ｌｏｇａ｜ ｙ ｜； （１） ；（２） ３ ２
１２． ． ．
（４） 不一定成立 ， 函数ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ的单调 Ｂ组 ０００６ １．２ 利用二分法求
性不确定
，
而且ｘ３
，
ｘ２ 的大小关系也不
１． 当ａ 时 若ｘ 则ｙ ｘ ． 方程的近似解
确定． （１） ＞１ ， ＞２， ＝ｌｏｇａ ＞０
因为 ｙ 所以 ｘ 即ｘ ａ 所以 练习
２．设ｙ ａｘ 当 ｘ 时 ｙ ． ％ 即 ｜ ｜＞１， ｌｏｇａ ＞１， ＞ ，
０ ． ． ９５６ ＝ ７＝ ， ａ 若 １００ ， ＝ 所 ． １０ 以 ０ ． ａ ， ＝ ０ ＝ ． ９ ９ ５ ５ ｘ ６ ７６ 则 ７ １ １ ００ ， ｘ ≈ １ （ ＜ ２ ａ ） ＜ 当 ２ ． ０＜ ａ ＜１ 时 ， 若ｘ ＞２， 则ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ ＜０ ． １．由 函 于 数 ｙ 它 １＝ 们 ０ 的 ． ９ ｘ 图 是 象 减 最 函 多 数 有 ， ｙ 一 ２＝ 个 ２ ２ 交 １ ｘ 点 是增 所
０ ｌｏｇ ９ ０ ９ ． ９ ９ ９９ ５ ５５ ５ ７０ ７ ． ， ５≈ ０ １５ ５ ． ６ ＝ ６， ０ 所 ９９ 以 ９ 大 ５５ 约 ７ ， 经过 １ ＝ ６ 因为 ｜ ｙ ｜＞１， 所以 －ｌｏｇａ ｘ ＞１， 即ｘ ＞ ａ １ ， 所 以方程 ， ． ｘ ２ ｘ 只有一个实数 ， 解．
年后其剩余的质量为原来的 ％． ０９ － ＝０
５０ 以 １ ａ ． ２１
３．ｆ ａ ｆ ｂ １－ ａ １－ ｂ ２ ＜ ＜１ 对于函数ｆ ｘ ． ｘ ２ ｘ 它的图象是
（ ） ＋ （ ） ＝ ｌｇ ａ ＋ ｌｇ ｂ ＝ ( ) （ ）＝０９ － ，
( ａ ｂ) ａ １＋ ｂ ａｂ １＋ 综上 ， ａ ∈ １ ，１ ∪（１，２） ． ２１
１－ １－ １－ － ＋ ２ 连续曲线 又 ｆ ． ５ ２
ｌ ｆ ｇ ( ａ １ ＋ ＋ ａ ｂ ａ ｂ · ) ＝ １＋ ｌｇ ｂ １ ＝ － １ ｌ ａ ａ ｇ ＋ ＋ １ ａ ｂ ｂ ＋ ｂ ａ ＝ ＋ ｌ ｂ ｇ ＋ ａ １ ｂ － ， １ ａ ａ ＋ － ａ ｂ ｂ ｂ ＋ ａ ａ ｂ ｂ ＝ ２ ３ ４ ． ． ． （ ｘ （ １ １ ＝ ） ） ３ ① ｘ ． １＝ １； １ ② ０ ３ ００ · ， ２ ｘ ２ ２ ｎ ＝ ；③ ０ ． １ ３ ； · （２ ２ ） ２ ｎ ｘ ． ＝－１ ． ０ ｆ （ ． ５ ６ ９ ） ０ ＝ ５ ０ － ． ９ ０ ６ ． ， ４ － ７６ ２ ２ × ＞ ６ （ ０ ≈ ５ ， ） ０ ． ＝ ５３１ ０ ４ ９ －０ － ． ５ ２ ７ １ １ × ４＜ ５ ０ ≈ ，
１＋ ＋ １＋ ＋ ＋ 增长从慢到快依次为对数函数 幂 ２１
１＋ ａｂ ａｂ （２） 、 所以在区间 内有一个实数解．
１＋ １＋ 函数 指数函数． （５，６）
ａ ｂ ａｂ 、
１－ － ＋ Ｃ组 由二分法得到方程 ． ｘ ２ ｘ 的实
ｌｇ １＋ ａ ＋ ｂ ＋ ａｂ， １．因为 ｘ ｙ ｚ ０ ９ － ２１ ＝０
( ａ ｂ ) ２ ＝３ ＝１２≠１， 数解所在区间如下表
所以ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ＋ ． 所以令 ｘ ｙ ｚ ｍ 则ｘ ｍ ｙ ：
（ ）＋（ ）＝
１＋
ａｂ ２ ＝３ ＝１２ ＝ ， ＝ｌｏｇ２ ， ＝
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值区间长度
ｍ ｚ ｍ ２ ２ 第 次 ． ．
§4 指数函数、幂函数、
ｌｏｇ３ ， ＝ｌｏｇ１２ ， ｘ ＝
ｌｏｇ２
ｍ＝２ｌｏｇｍ２＝
第
１
２ 次 ５
５
． ５
０
０ ．
１
０
１
３
４
６
２
３
９
７
９
８
５
４
２
７
４
７
６
６
－
－
０
０ ．
０
０
３
３
９
９
９
９
８
８
７
７
５
５
７
７
１
１ ０
１
． ５
第 次 ． ． ． ． ．
对数函数增长的比较 ｌｏｇｍ４， １ ｙ ＝ １ ｍ ＝ ｌｏｇｍ３， １ ｚ ＝ １ ｍ 第 ３ ４ 次 ５ ５ ． ６２ ５ ５ ０ ０ ． ０ ０ １ ３ ７ ６ １ ３ ４ ７ ４ ８ ３ ４ ７ ７ ３ ７ ５ ５ ． ７ ７ ５ ５ － － ０ ０ ． ０ ０ ０ ０ １ １ ９ ９ ９ ９ ３ ３ ８ ８ ３ ３ ６ ６ ０ ０ ． １ ２ ２ ５ ５
ｌｏｇ３ ｌｏｇ１２ 第 次 ． ． ． ． ．
练习 ５ ５６８７５ ０００７５６３３６ ５７５ －０００１９９３８３６ ００６２５
＝ｌｏｇｍ１２，
至此 可以看出区间 ． ． 的
１．略． ， ［５ ６８７ ５，５ ７５］
习题4-4 所以 ２ ｘ ＋ １ ｙ ＝ｌｏｇｍ４＋ｌｏｇｍ３＝ｌｏｇｍ１２＝ １ ｚ ． 长度是 ０ ． ０６２ ５， 它小于 ０ ． １， 所以可取
区间内的任意一个数 如 ． 作为方
１
２
．
．
略
略
．
．
２．
时
（１
，
）
ｘ
当
∈
０
（
＜
０，
ａ
＋
＜
∞
１ 时
）；
， ｘ ∈（－∞，０）； 当ａ ＞１
习
程
题
的
5
一
-
个
1
近似解．
（ ５ ７）
当 ａ 或 ａ 时 ｆ ｘ 都为增
复习题四 函 （２ 数 ） ． ＞１ ０＜ ＜１ ， （ ） Ａ组
Ａ组 ３． 因为 ｘ ｙ
１． ａ Ｎ
（１）
所以
＝ｌｎ
ｘ
π
ｙ
＞ｌｎ ｅ＝１， ＝ｌｏｇ５２＜ １．
（１）
在
（－∞，０）
内
，
函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－
１
ｘ ＞
（１）ｌｏｇａ１＝０；（２）ｌｏｇａ ＝１；（３）ｌｏｇａ ＝２ ｌｏｇ５５＝１， ＞ ；
（ Ｎ ＞０）；（４）ｌｏｇａ ｍ ＝ １ （ ｍ ＞０） ． （２） 因为ｚ ＝ｅ －２ １ ＝ １ ＞ １ ， ０， 所以方程ｘ２ － １ ｘ ＝０ 在 （－∞，０） 内没
２． ａ２ ａ－２
３
ｍ ａ２ ａ
ｅ ２ 有实数解．
（ （ １ ４ ） ） ａ－１ ＝ ＝ １ ２ ２ ａ ； ． （２） ＝ ；（３） ＝ ＋１； ｙ ＝ｌｏｇ５２＜ｌｏｇ５ ５＝ ２ １ ， 所以ｚ ＞ ｙ． （２ 所 ） 在 以 ［ 方 －１ 程 ，１］ ｘ 内 ， 函数 在 ｆ （ ｘ ）＝ ｜ 内 ｘ ｜ 没 －２ 有 ＜
３． ４ ． ４．略． ０， ｜ ｜－２＝０ ［－１，１］
（１） ；（２）１ 实数解．
９
４． 不恒等 不恒等 不恒等 第五章 函数应用 ２． ｆ ｘ ｘ２ ｘ 是二次函数 最多有
（１） ；（２） ；（３） ； （１） （ ）＝ ＋ －１ ，
恒等． 两个零点．而ｆ ｆ
（４） §1 方程解的存在性 （０）＝ －１＜０， （－２）＝ １＞
５． ｆ
（１）Ｄ；（２）Ｂ；（３）Ａ；（４）Ｃ． ０，（１）＝１＞０，
[ ) 及方程的近似解 且ｆ ｘ ｘ２ ｘ 的图象是连续曲线
６． １ （ ）＝ ＋ －１ ，
（１）（－１，＋∞）；（２） ，＋∞ ； 所以方程ｘ２ ｘ 在区间 内
３ １．１ 利用函数性质判定 ＋ －１＝０ ［－２，０］
[ ) 和 内各有一个实数解．
１ ． ［０，１］
（３） ，＋∞ ；（４）（－∞，０） 方程解的存在性 函数ｆ ｘ ｘ是定义在
２ （２） （ ）＝ｌｇ （０，＋∞）
７． ． ． 练习 内的增函数 ｆ 所以ｆ ｘ
（１）ｌｏｇ６０７＜ｌｏｇ６９１； ，（１）＝ｌｇ１＝０， （ ）＝
１２
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ｘ 在 内是单调递减的 在 个水文监测站到情报中心的通信电缆 长度小于 ． 所以任取其内一个数 如
｜ｌｇ ｜－ ２ （０，１） ， ０１， （
（１，＋∞） 内是单调递增的．而ｆ （０ ． １）＝１ 长度 （ 曲线长度 ） 就唯一确定了 ， 因此 ， １ ． ３５） 作为方程的一个近似解．
表示情报中心位置的数值与专用通信
ｆ ． ２． 第 个月需求量为ａ ｆ ５１
－ ２＜０，（００１）＝２－ ２＞０， 电缆的总长度就构成了一个函数关系． （１） １ １＝ （１）＝ ，
９０
ｆ ｆ 当 ｎ 时 第 ｎ 个月需求量为 ａ
（１０）＝１－ ２＜０，（１００）＝２－ ２＞０， 现在将弯曲的河道 拉直 使刻画曲 ≥２ ， ｎ ＝
“ ”，
所以方程 ｘ 在区间 ．
｜ｌｇ ｜－ ２＝０ ［０ ０１， 线段长度的问题变成了刻画直线段长 ｆ ｎ ｆ ｎ １ ｎ２ ｎ ．
． 和 内各有一个实数解． （ ）－（ －１）＝ （－３ ＋３５ ＋１９）
０１］ ［１０，１００］ 度的问题．将 变直了 的河道当作一个 ９０
“ ”
３．由二分法得到方程 ｘ３ ＋ ｘ －３＝０ 的实数 数轴 ， 不妨设 Ａ为原点 ， ＡＢ ＝ ｂ ， ＡＣ ＝ ｃ ， 令ａ ｎ＞１ ． ３， 得１４ ＜ ｎ ＜７， 所以 ｎ ＝５ 或 ｎ
解所在区间如下表 ： ＡＤ ＝ ｄ ， ＡＥ ＝ ｅ ， ＡＦ ＝ ｆ ， 于是 ， 水文监测站 ． ３
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ和Ｆ在数轴上的位置就可 即 ＝６ 在这一年内 第 两个月需求量超
第 第 １ ２ 次 次 １ １ － － １ １ １ ２ ． ５ １ ． ８ ７ ７５ ０ １ ． ５ 以 ， 用 ， ０， ， ｂ ， ， ｃ ， ｄ ， ｅ ， ｆ 表示出来．表示情报 过 １ ． ３ 万件． ， ５，６
第 次 ． ． ． 中心位置的数值可以看作一个变量 用 设每月初投放 ｄ 万件 则 ｎｄ
３ １ －１ １２５ ０２０３１２５ ０２５ ， （２） ， ≥
第 ４ 次 １ ． １２５ －０ ． ４５１１７１８７５ １ ． ２５ ０ ． ２０３１２５ ０ ． １２５ ｘ表示 这样 对于给定的ｘ的值 就能
第 次 ． ． ． ． ． ， ， ， ｆ ｎ 即ｄ １ ｎ ｎ
５ １１８７５ －０１３７９３９４５３ １２５ ０２０３１２５ ００６２５ 计算出情报中心到每一个水文监测站 （ ）， ≥ （ ＋２）（１８－ ），
至此 可以看出区间 ． ． 的长 ９０
， ［１ １８７ ５，１ ２５］ 的长度 从而可得出所需电缆的总长度
度小于 ． 所以任取其内一个数 如 ． ， 所以ｄ １０．
０１， （ １２） ｆ ｘ ｘ ｘ ｂ ｘ ｃ ｘ ｄ ｘ ｅ ≥ ９
作为方程的一个近似解． （ ）＝ ｜ ｜＋｜ － ｜＋｜ － ｜＋｜ － ｜＋｜ － ｜ 即每月至少投入 ． 万件 才能保
ｘ ｆ ． １ １１１ ２ ，
Ｂ组 ＋｜ － ｜ 证该产品全年不脱销．
练习（第 页）
１３９ Ｂ组
１． 在区间 内 函数ｆ ｘ １ ｘ １．当地点 到 地的距离为 ．
（１） （０，１０） ， （ ）＝ ＋ Ｃ Ａ ２８ １２５ ｋｍ １．设ｔ为下落时间 ｓ为下落距离 则ｓ是ｔ
２ 时 总运费最低． ， ，
ｘ 的图象是连续曲线 而 ｆ ． ， 的函数 由已知 得 ｓ ｓ
ｌｎ ， （０ ５）≈ ， ， （０）＝ ０， （１）＝
２．２ 用函数模型解决实际问题 ｓ ｓ
． ｆ １ １６，， （２）＝ １６＋４８＝６４， （３）＝ ６４＋８０
－０４４３＜０，（１）＝ ＞０， ．
２ 练习 ＝１４４
以ｔ为横轴 ｓ为纵轴 建立平面直角坐
所以方程 １ ｘ ｘ 在区间 内 １．设售价为ｘ元 每天的利润为 ｙ 元 于 ， ，
＋ｌｎ ＝０ （０，１０） ， ， 标系 描点
２ 是利润与售价之间的函数关系式为ｙ ， 并用 （ 光 ０， 滑 ０） 曲 ，（ 线 １， 连 １６ 接 ），（ 图 ２， 象 ６４ 近 ）， 似 （３ 看 ，
有实数解． ＝
１４４）， ，
ｘ ｘ ｘ ２ 作一条过原点的抛物线．
通过函数图象可知 对于任意的 ｘ （ －６０）［３０＋（９０－ ）］ ＝－（ －９０）
（２） ， ． 于是 设ｓ ｔ ａｔ２ 代入 ａ ２ 得ａ
都有ｘ２ ｘ 即函数ｆ ｘ ＋９００ ， （ ）＝ ， ６４＝ ·２ ，
∈（０，１０）， ＞ｌｇ ， （ ）＝ 当每件售价为 元时 每天的利润最大． ．即ｓ ｔ ｔ２．那么 在第 秒内
ｘ２ ｘ 所以方程ｘ２ ｘ 在区间 ９０ ， ＝１６ （ ）＝１６ ， １０ ，
－ｌｇ ＞０， －ｌｇ ＝０ 习题5-2 飞行员落下的距离是ｓ ｓ
内没有实数解． （１０）－ （９）＝ １６
２． （
时 是
指 ０
连
数
，
，
２
１
续
函
２
０
＜
）
曲
数
２ ３ ， 线
ｙ
所
＝
， 以 当
２ ｘ
在
和
ｘ ＝ 区
幂
１ 间
函
时 （
数
， １ ２ ， １
ｙ
２ ＞
＝
） １ 内
ｘ
３
３
， 方 当
的
程
图
ｘ ＝
象
２ ２ ｘ
１ Ａ ．由
面
组 题
材
意
料
知
厚度
Ｖ
＝ 为 π ｂ
ｒ２
，
ｈ
( 则
．设
用
材
料 Ｖ
料
为
比
Ａ Ｖ
重
＝２
为
) π ｒｈ
δ
， ｂδ
侧
＋
２．设
ｙ ｎ
×
ａ ＝
１
２
０ ａ
（ －
２
ａ
与
２
－
－ （
１
ａ
各
ａ
６
１ １
×
）
测
＋
９
２ ａ
２
＋
量
２
＝
＋ （
３ 值
… ａ
０
－
４ 的
＋ ａ
（
ａ ２
ｆ 差
ｎ
ｔ
） ）
）
２
的 ．
ａ ＋ ＋ …
平
ａ２ １
方
＋ ＋ （ ａ
和
２ ２ ａ ＋ －
为
… ａ ｎ ＋
ｙ
）
，
ａ ２
则
２ｎ ＝ ，
ｘ３ 有实数解 由于当 ｘ 充分大以后 ｒ２ ｂδ ｂδ ｒ２ 这是关于 ａ 的二次函数 所以当 ａ
＝ ； ， ２π ·２ ＝２π ２ ＋ ｒ＋ ｒ ， ＝
指数函数比幂函数的增长速度快很多 ２π ２π ａ ａ ａ
所以对于很大的ｘ
，
总是
２
ｘ
＞
ｘ３
，
于是在 ，
≥２π
ｂδ
·３
３
２
ｒ２
·
Ｖ
ｒ·
Ｖ
ｒ
－ －２（ １＋
２
２ ｎ ＋…＋ ｎ）时 ， ｙ 取得最小值 ，
区间
（２，＋∞）
内方程
２
ｘ
＝
ｘ３ 有实数解． ２π ２π
所以 最佳近似值 ａ １ ａ ａ
由二分法得到方程
２
ｘ
－
ｘ３
＝０
的实数解
ｂδ
３ Ｖ２ “ ” ＝ ｎ （ １＋ ２＋…＋
所在区间如下表
＝６π
２π
２， ａ
ｎ）
．
： Ｖ Ｖ Ｃ组
第 第 次 １ ２ 数 次 次 左端 １ １ 点 左端点 １ １ 函数值 右 １ 端 ２ ． ５ 点 － 右 ０ ． 端 ５４ 点 ６ － ５ 函 ４ ７２ 数 ８ 值 ７５ 区间 ０ １ ． 长 ５ 度 当 号成 ２ ｒ 立 ２ ＝ ２ Ａ π 取 ｒ， 得 即 最 ｒ ＝ 小 ４ １ 值 · ． π ｒ２ ＝ ４ １ ｈ时 ， 等 １． （１） ｙ ＝ ｋｘ ( １－ｍ ｘ ) ， 定义域为 ｛ ｘ ｜０＜ ｘ ＜
第 第 第 ３ ４ 次 次 次 ． １ １ ． ． ２ ２ ５ ５ ０ ０ ． ． ． ４ ４ ２ ２ ５ ５ ２ ２ ８ ８ ９ ９ ２ ２ ３ ３ １ １ ． ． ３ ． ７ ５ ５ － － ０ ０ ． ． ． ５ ０ ４ ０ ６ ５ ５ ９ ７ ３ ２ ０ ８ ２ ７ ６ ５ ６ ０ ． ０ ． ． １ ２ ２ ５ ５ 所 市 以 场 ， 当 上 ， ｒ 可 与 口 ｈ 可 之 乐 比是 百 １ 事 ∶ 可 ４ 时 乐 ， 等 用 很 料最 多 少 罐 ． ｍ ｝； 当ｘ ｍ 时 可得ｙ ｋｍ
第 第 ５ ６ ７ 次 次 １ １ １ ． ． ３ ３ ３ ５ ４ ９ １ ３ ２ ３ ７ ７ ５ ５ ５ ０ ０ ０ ． ． ０ ２ １ ５ ２ １ ３ ２ １ ７ ７ ７ ５ ２ ４ ０ ９ ０ ４ ２ ８ ３ ９ ３ ９ ６ １ １ １ ． ． ３ ３ ３ ７ ７ ７ ５ ５ ５ － － － ０ ０ ０ ． ． ０ ０ ０ ０ ０ ０ ５ ５ ５ ９ ９ ９ ３ ３ ３ ０ ０ ０ ２ ２ ２ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ０ ０ ０ ． ． ０ ０ １ ０ ３ ５ ６ １ ２ ６ ２ ２ ５ ５ ５ Ｂ 装 （ 组 饮料都大体符合 、 这一结果． ） （２） ｘ ＝ ｙ ２ ｍ 即 ， ｍ ｍａ ｋ ｘ ｍ ＝ ４ ｍ ； 所以
第 ８ 次 １ ． ３６７１８７５０ ． ０２４１２２６０２ １ ． ３７５ －０ ． ００５９３０２６６０ ． ００７８１２５ １．略． （３）０＜ ＋ ＜ ， ０＜ ２ ＋ ４ ＜ ， ０＜
至此 可以看出区间 ． ． ｋ ．
， ［１３６７ １８７ ５，１３７５］ ＜２
的长度小于 ． 所以 可任取其内任意 复习题五 第六章 统计
００１， ，
一个数 如 ． 作为方程的一个近 Ａ组
（ １ ３７）
似解． １．有实数解．由二分法得到方程ｘ３ ｘ §1 获取数据的途径
－ －１＝
实数解所在区间如下表 略．
§2 实际问题中的函数模型
０
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右
：
端点函数值区间长度 §2 抽样的基本方法
第 次 ． ． ．
１ １ －１ １５ ０８７５ ０５
２．１ 实际问题的函数刻画 第 ２ 次 １ ． ２５ －０ ． ２９６８７５ １ ． ５ ０ ． ８７５ ０ ． ２５ ２．１ 简单随机抽样
第 次 ． ． ． ． ．
３ １２５ －０２９６８７５ １３７５ ０２２４６０９３７５ ０１２５
练习（第 页） 第 次 ． ． ． ． ． 练习
１３７ ４ １３１２５ －００５１５１３６７２ １３７５ ０２２４６０９３７５ ００６２５
１．情报中心在河边的位置一旦确定 每一 至此 可以看出区间 ． ． 的 １．第一步 将全年级 名同学进行编
， ， ［１３１２５，１３７５］ ： ３００
１３
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， ０００，００１，００２，…，２９９ ２４１，２４２，…，３９９ （１，１，１，２，３，４，４，４，６，６，６，７，８，８，１１，
第二步 从随机数表中确定任意一个位 要的号码读出．
： １２，１２，１３，１５，１５，１６，１６，１７，１７，１８，３１，
置 比如 从教材第 页给出的随机 Ｂ组
， ， １５３ ３５，３７，３８，３８，４０，４３，４４，４４，４５，４７，４８，
数表的第 行 第 个数字开始 每次 １．这是一个开放性问题 答案不唯一．例
４ 、 １３ ， ， ５３，５４，５５，５５，５６，５６，５７，５８，６０，６４，６５，
连续读出 个数字 如果读出的数字在
３ ， 如 可以考虑男 女生生理差异较大 饭
内 就记录下该数字 否则跳 ， 、 ， ６５，６６，７２，７３，８０，８８，９３，９８，１０３，１０６，
０００～２９９ ， ， 量大小有区别 按男 女分层 也可以考 共 个
过 读出的数字如果与前面的数字重 ， 、 ； １０７）， ５９ ；（１１１，１１４，１１５，１２６，
， 虑不同年级学生的年龄差异 按年级分
复 也跳过 直至记录的数字满 个 ， １３１，１３３，１３８，１４１，１４２，１４３，１４３，１４７，
， ， ２０ 层 也可以考虑身高因素 等等． 共 个
为止． ； ， １５７，１６０，１６５，１８２）， １６ ；（２３３，
２．不合理．因为一年中不同季节的游客量 共 个
按照上面的方法依次读出记录下的数 ２４１，２７２，２７９，３０７，３１２）， ６ ；（３４３，
不同 不能用 月的游客量作为全 共 个 共
字为 ， １～３ ３４７，３６７，３７８，３９７）， ５ ；（４９２），
：２４１，０１１，２３１，２４３，０９１，２７７，１４９， 年游客量的估计．比较合理的抽样方案 个 共 个
１ ；（５５６）， １ ；（６７６，７４１，７７３），
１９７，１４８，１６２，０７４，１１１，１６３，０２４，０４２，
则这些编码对 是由每月各随机选取几天 如各抽取 共 个 共 个
１９６，１２５，２９２，０１９，２６４， （ ３ ３ ；（７８３，８１３）， ２ ；（９１５，９４７，
应的 名学生参加这项课外活动． 天 组成样本 以此来估计全年游客量． 共 个．
２０ ） ， ９６５，９９８）， ４
答案不唯一 随着在随机数表中选取初 答案不唯一．只要能体现不同季节游客 图略．
，
始位置的不同 抽取的样本也会不同 量不同 采用分层随机抽样即可．例如 停车时间不超过 的顾客．
， ， ， ， （２） ２０ ｍｉｎ
但都是符合要求的答案． 体现旺季与淡季的分层随机抽样． 停车时间超过 的顾客．
（３） ８００ ｍｉｎ
２．２ 分层随机抽样
§3 用样本估计总体的分布 §4 用样本估计总体的
练习
数字特征
１．由于用分层随机抽样法抽取样本 共需 ３．１ 从频数到频率
，
抽取 人 抽样比为 １６ １ 因此 练习 ４．１ 样本的数字特征
１６ ， ＝ ， ，
５４＋４２ ６ １．不能 因为这只是部分民众的意愿． 练习
，
在一班应抽取 １ 人 在二班
５４× ６ ＝９（ ）， ３．２ 频率分布直方图 １．随着人民生活水平的提高 ， 我国儿童
的平均身高也在增长．根据这种情况
应抽取 １ 人 ． 练习 ，
４２× ＝７（ ） 铁道部出台新的儿童票身高限高标准
习题6-2 ６ １． （１） 表格补充如下 （ 为使频率和为 １， 这是统计调查在现实生活中的具体 ，
的频率取 ．
Ａ组 ［７０，８０） ０２８４）： 应用．
１．由于男 女生对新设水果窗口的意见差 频率
、 高度分组／ 频数 频率 ４．２ 分层随机抽样的均值与方差
异较大 故采用分层随机抽样方法抽取 ｃｍ 组距
，
样本． 练习（第 页）
． ． １７３
［４０，５０） ６ ０１ ００１ １．不能．因为浙江省 区域调查人均可支
抽样比为 ４９０ ＝ ７ ， 因此应当 ［５０，６０） ８ ０ ． １３３ ０ ． ０１３３ 配收入的取样人数 Ａ 与青海省 区域调
４０００＋３０００ １００ Ｂ
． ． 查人均可支配收入的取样人数没有给
从男生中抽取 ７ 人 从 ［６０，７０） １５ ０２５ ００２５
４０００× ＝２８０（ ）， 出 在权重不知道的情况下 直接计算
１００ ． ． ， ，
［７０，８０） １７ ０２８４ ００２８４ 两个数的平均数 这样得到的平均数没
女生中抽取 ７ 人 ． ，
３０００×
１００
＝２１０（ ）
［８０，９０） ８ ０
．
１３３ ０
．
０１３３
有代表性．
２． 方式 用的是简单随机抽样 方式 ． ． 练习（第 页）
（１） １ ， ［９０，１００］ ６ ０１ ００１ １７５
用的是分层随机抽样．
２ 图略．此类植物生长 年之后 高度 １． ｘ １ ． ． ． ． ．
用方式 抽取样本的步骤 将 个 （２） １ ， （１） 甲＝ ×（７ ９＋８ １＋８ ４＋８ ５＋８ ５＋
（２） １ ： １０ 主要分布在 到 之间 约 ７
班按照班号写在 个号签上 将号签 ５０ ｃｍ ９０ ｃｍ ， ． ． ．
１０ ， 占 ％． ８５＋９９）＝８５４，
置于密闭容器中摇匀 从中摸出一支号 ８０
， 习题6-3 ｘ １ ． ． ． ． ． ．
签 该号签上号码对应的班就是样本． 乙＝ ×（７０＋８ ４＋８ ４＋８ ４＋８ ６＋８ ７＋
， Ａ组 ７
用方式 抽取样本的步骤 由于抽样比 ． ． ．
２ ： １． 停车时间的最大值为 最小 ９０）＝８３６
（１） ９９８ｍｉｎ， 甲选手的最终得分为 ． 乙选手的最
为４０ ＝ １ ， 因此按比例抽取样本 ， 每 值为 １ ｍｉｎ ． 终得分为 ． ． ８５４，
４００ １０ 极差 ８３６
人抽取 人．优秀学生 人 抽取 ① ：９９８－１＝９９７；
１０ １ ６０ ， ６０ 确定组距与组数 共有 个数据 极 （２） ｘ 甲＝ １ ×（８ ． １＋８ ． ４＋８ ． ５＋８ ． ５＋８ ． ５）＝
１ 人 良好学生有 人 抽取 ② ： ９７ ， ５
× １０ ＝６（ ）； １８０ ， 差为 ９９７，９９７÷９＝１１０ ． ８， 组距取为 １１１； ８ ． ４，
分组 将左端点取作
１ 人 普通学生有 人 ③ ：１１１×９＝９９９， ０， ｘ １ ． ． ． ． ． ． ．
１８０× ＝１８（ ）； １６０ ， 右端点取作 分为 组 乙＝ ×（８４＋８４＋８４＋８６＋８７）＝８５
１０ ９９９， ９ ： ５
甲选手的最终得分为 ． 乙选手的最
抽取 １ 人 然后可以用随机 ［０，１１１），［１１１，２２２），［２２２，３３３）， ８ ４，
１６０× ＝６（ ）， 终得分为 ． ．
１０ ［３３３，４４４），［４４４，５５５），［５５５，６６６）， ８５
数法抽取需要的样本． ．
［６６６，７７７），［７７７，８８８），［８８８，９９９］ ４．３ 百分位数
编号时可以将优秀学生编号为 读取数字 数出各组内的频数 计算
０００， ④ ， ，
良好学生编号为 频率 练习
００１，００２，…，０５９， ０６０， 频率 ．数据分组如下
普通学生编号为 、组距 ： １． 将这 个国家和地区的人均二氧
０６１，０６２，…２３９， ２４０， （１） ２０
１４
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化碳排放量按从小到大排列为 ． ２ ２
：１ ７， ｓ２ １ ． ． ２ ． ． ２ （１００－１０３） ＋（１００－１０８） ＋（１００－
７ ２ ． ． ４ ０ ， ，２ ７ ． ． ６ ５ ， ， ３ １ ． ９ ０ ， ． ２ ５ ， ． ３ １ ， ０ ５ ． ． ７ ７ ， ， １ ６ ２ ． ２ ． ６ ， ， ６ ． １ ２ ２ ， ． ６ ７ ． ， ４ １ ， ５ ７ ． ． ７ ３ ， ， （ １ ４ ＝ ４ ． １ ０ ２ ３ ［ － （ ３ ４ ． ６ ４ ） ０ ２ ３ ＋ － （ ２ ４４ ５ ． ） ０３ ＋ － （ ４ ４ ０ ４ ． ７ ０ ） ３ ２ － ＋ ４ （４ ２ ４ ） ． ０ ＋ ３ １１ 种 ２） 轮 ２ ］ 胎 ≈ 行 ６３ 驶 ． １４ 的 ， 标 最 准 远 差 里 ｓ 程 Ａ＝ 样本 ｓ２ Ａ 最 ≈７ 大 ． ９ 值 ５ ．
１６ ． ６，１６ ． ６，１６ ． ９， 由于共有 ２０ 个数据 ， －２３ ． ６） ２ ＋（４４ ． ０３－７４） ２ ＋（４４ ． ０３－ Ｂ 为 最小值为 极差为
． ２ ． ． ２ ． １０８， ９３， １５，
故中位数为 １ ２ （７ ． ３＋７ ． ４）＝７ ． ３５ ． ２ ２ １ ０９ ． ３ ４ ） ） ２ ＋ ＋ （４ （ ４ ４ ． ４ ０３ ０ － ３ ６ － ２） ７ ２ １ ＋ ７ （ ） ４４ ． ＋ ０３ （ － ４ ４ ４ ． ９ ０ ） ３ ２ － ＋ 方差ｓ２ Ｂ＝ １ ［（１００－９３） ２ ＋（１００－９４） ２ ＋
％ ．故二氧化碳排放总量 ． ． ２ ． ８
（２）２０×１５ ＝３ （４４０３－１０５） ］≈３４４３６６，
（１００－９６）
２
＋（１００－９７）
２
＋（１００－１０１）
２
＋
较少的前
１５
％的国家和地区有
：
波兰
、
ｓ
１＝
ｓ２
１≈５８
．
６８， （１００－１０５） ２ ＋（１００－１０６） ２ ＋（１００－
南非 法国．
、 ｘ １ ． ． ． ． ． ． ２ ．
习题6-4 ２＝ （０３＋３０＋０７＋３２＋３４６＋１０８８＋ １０８） ］≈３３７１，
１２ 标准差ｓ ｓ２ ． ．
１．将本校一模考试总成绩按照从小到大
１４０
．
２＋１１５
．
０＋７４
．
７＋４８
．
６＋０
．
５＋１
．
７）＝ 从上
Ｂ
面
＝
计算
Ｂ≈
结
５
果
８１
可知 两种轮胎的
的顺序排列起来 设总人数为ｐ ｘ ｐ ． （３） ，
， ， ＝ × ４４２７５， 平均数 中位数相同 种轮胎的极差
位 ５ ％ 数 ， ｙ 的 ＝ 定 ｐ × 义 ５０ 及 ％ ， ｘ ｚ ＝ ｙ ｐ × ｚ ８ 的 ０ ％ 具 ， 体 则 值 根 可 据 以 百 预 分 ｓ２ ２＝ １ １ ２ ［（４４ ． ２７５－０ ． ３） ２ ＋（４４ ． ２７５－３） ２ ＋ 和标准差 、 较大．因此 Ａ ，Ａ 种轮胎不如 Ｂ 种
测今年专科 二类 ， 本 ， 科 一类本科的分 （４４ ． ２７５－０ ． ７） ２ ＋（４４ ． ２７５－３ ． ２） ２ ＋ 轮胎性能稳定．
数线． 、 、 （４４ ． ２７５－３４ ． ６） ２ ＋（４４ ． ２７５－１０８ ． ８） ２ ＋ ６． （１） 频数 、 频率 、 频 组 率 距 如下表．
． ． ２ ． ２
（４４ ２７５－１４０ ２） ＋（４４ ２７５－１１５） ＋
复习题六 （４４ ． ２７５－７４ ． ７） ２ ＋（４４ ． ２７５－４８ ． ６） ２ ＋ 频率
使用寿命分组／ 频数 频率
Ａ组 （４４ ． ２７５－０ ． ５） ２ ＋（４４ ． ２７５－１ ． ７） ２ ］ ≈ ｈ 组距
．
１．由题表可知 在 次火灾事故中 ２７５９７６，
， １ ０００ ， ． ．
烹饪 电器 明火 吸烟 纵火 儿童玩 ｓ ｓ２ ． ． ［０，５） ２ ００４ ０００８
、 、 、 、 、 ２＝ ２≈５２５３
火 其他的频数分别为 ４． 设男生得分的平均数与标准差分 ． ．
、 ：１６８，２７０，８０， （１） ［５，１０） ３ ００６ ００１２
故相应的频率依次 别为ｘ ｓ 女生得分的平均数与标准差 ． ．
１７６，１４０，６０，１０６， １， １， ［１０，１５） ２２ ０４４ ００８８
为 ． ． ． ． ． 分别为ｘ ｓ 则
：０ １６８，０ ２７０，０ ０８０，０ １７６，０ １４０， ２， ２， ． ．
． ． 各组数据对应的频数 频 ［１５，２０） １４ ０２８ ００５６
００６０，０１０６， 、 ｘ １
率如下表 ： １＝ ２０ （５４＋７０＋５７＋４６＋９０＋５８＋６３＋４６＋ ［２０，２５） ６ ０ ． １２ ０ ． ０２４
原因 烹饪 电器 明火 吸烟 纵火 儿童玩火 其他 ８５＋７３＋５５＋６６＋３８＋４４＋５６＋７５＋３５＋５８＋ ． ．
［２５，３０） １ ００２ ０００４
．
次数 １６８ ２７０ ８０ １７６ １４０ ６０ １０６ ９４＋５８）＝６１０５， ． ．
频率 ． ． ． ． ． ． ． ｓ ． ． ［３０，３５］ ２ ００４ ０００８
０１６８ ０２７０ ００８０ ０１７６ ０１４０ ００６０ ０１０６ １≈１６３１
频率分布直方图略．
还可以用条形统计图或者扇形统计图 ｘ １
来表示 图略．
２＝
１８
（７７＋５５＋６９＋５８＋７６＋７０＋７７＋８９＋
（２）
估计电池使用寿命的平均数为
２
．
５
，
． ． ． ． ． ． ．
２． 将 个数据从小到大依次排列 ５１＋５２＋６３＋６３＋６９＋８３＋８３＋６５＋１００＋ ×００４＋７５×００６＋１２５×０４４＋１７５×０２８
（１） ２０ ： ． ． ． ． ． ． ．
７４）＝７０７８， ＋２２５×０ １２＋２７ ５×０ ０２＋３２ ５×０ ０４＝
２５，２８，３８，３８，３９，４２，４５，４７，４８，４８，４８， ｓ ． ． ． 中位数约为 ． ．
则中位 ２≈１３１０ １５５， １４５５
５０，５１，５２，５２，５３，５６，５９，６２，６３， 男生得分的四分位数 ％分位数 ７． 共 个样本数据 最大值为 ．
（２） ：２５ （１） ３１ ， ２４ ６，
数为 众数为 平均数为ｘ １ 为 ％分位数为 ％分位数为 最小值为 ． 极差为 ． ．所以分
４８， ４８， ＝ （２５＋ ５０；５０ ５８；７５ ５ ０， １９ ６ ５
２０ ． ． 组 组距为 ． ． 左端点取
７１５ ， ４，５×４－１９６＝０４，
２８＋３８＋３８＋３９＋４２＋４５＋４７＋４８＋４８＋４８＋ 女生得分的四分位数 ％分位数为 ． 右端点取 ． 分组情况及其各组
：２５ ４８， ２４ ８，
５０＋５１＋５２＋５２＋５３＋５６＋５９＋６２＋６３）＝ ％分位数为 ． ％分位数 频率
． ． ６３；５０ ６９ ５；７５ 频数 频率 如下表 为使频率和为
４７２ 为 ． 、 、组距 （
由数据的中位数 众数 平均数都 ７７
（２） 、 、 ５． 种轮胎行驶的最远里程样本按照 ． ． 的频率取 ． ．
为 或者在 附近 可知该产品的售 （１）Ａ １，［４８，８８） ０１９３６）
４８ ４８ ， 从小到大排列为
后服务电话数量一般都在 次附近摆 ：８６，９６，９７，９８，１００， 频率
４８ 年平均气温／ 频数 频率
动 该产品售后服务每天应准备大约接 平均数为 １ ℃ 组距
， １０３，１０８，１１２， １００＋ （－１４－
听 次客户服务电话 还应加强产品 ８
质量 ４８ 管理． ， ４－３－２＋０＋３＋８＋１２）＝ １００， 中位数 ［４ ． ８，８ ． ８） ６ ０ ． １９３６０ ． ０４８４
为 ．
３． 用条形统计图 扇形统计图 折线 ９９ ． ． ． ．
（１） 、 、 种轮胎行驶的最远里程样本按照从 ［８８，１２８） ４ ０１２９０００３２３
统计 设 图 太 都 原 可 市 以 ， 图略 年 ． 月降水量的平均 Ｂ 小到大排列为 ：９３，９４，９６，９７，１０１，１０５， ［１２ ． ８，１６ ． ８） ８ ０ ． ２５８１０ ． ０６４５
（ 数 ２） 方差与标准 ２ 差 ０１６ 分别为ｘ ｓ２ ｓ 呼和 １０６，１０８， 平均数为 １００＋ １ （－７－６－４－３ ［１６ ． ８，２０ ． ８） ９ ０ ． ２９０３０ ． ０７２６
浩特 、 市 ２０１６ 年月降水量的 １， 平 １， 均 １ 数 ， 、 方 ＋１＋５＋６＋８）＝１００， 中位数 ８ 为 ９９ ． ［２０ ． ８，２４ ． ８］ ４ ０ ． １２９００ ． ０３２３
差与标准差分别为ｘ ｓ２ ｓ 则 种轮胎行驶的最远里程样本最大 频率分布直方图略．
２， ２， ２， （２）Ａ
值为 最小值为 极差为 年平均气温在各范围的频数如下表．
ｘ １ ． ． ． ． ． ． １１２， ８６， ２６， （２）
１＝
１２
（２５＋４２＋３６＋４０７＋２３６＋７４０＋
方差ｓ２ １ ２ ２ 年平均
． ． ． ． ． ． Ａ＝ ［（１００－８６） ＋（１００－９６） ＋ 气温／ ［０，５） ［５，１０） ［１０，１５）［１５，２０） ［２０，２５］
２０９４＋７１ ７＋２１ ３＋６２ ０＋４ ９＋１０ ５）≈ ８ ℃
４４ ． ０３， （１００－９７） ２ ＋（１００－９８） ２ ＋（１００－１００） ２ ＋ 频数 ０ ８ ５ １４ ４
１５
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等据此可以估计年平均气温在 甲 正 反 正 反 反 反 正 反
［１５，２０） ｝； ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ，
（ 单位 ：℃） 的最多． （３） Ω ＝｛２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１， 反 ， 反 ）｝， Ａ ∩ Ｂ ＝｛（ 反 ， 反 ， 反 ）｝， Ａ ∪ Ｃ
Ｂ组
正 正 正 正 正 反 正 反
１２｝； ＝｛（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ，
１．由题图可知 截至 年 月 日上 如果用 ｋ 表示 直到白球全部取
， ２００３ ５ １５ （４） “ 正 正 反 反 反 反 反 Ａ Ｃ
午 时 出 取球的次数为ｋ 这个结果 那么该 ），（ ， ， ），（ ， ， ）｝， ∩
１０ ： ， ” ，
月 日新增确诊病例最多 有 试验的样本空间 Ω ＝⌀；
（１）４ ２９ ， ＝｛４，５，６，７，８，９， Ａ与Ｂ不互斥 Ａ与Ｃ不互斥 Ｂ与
人 月 日新增疑似的人数最 ． （３） ， ，
１５７ ；４ ２７ １０｝ Ｃ不互斥．
多 有 人．
， １６２ １．３ 随机事件 习题7-1
月 日新增治愈人数最多 有
（ 人 ２）５ 月 １３ 日新增死亡人数最 ， 少 ４ 有 １ 练习 Ａ组
人 ；５ ． １５ ， １．Ａ ． １．Ｄ．
１ 从题图中可以看出 新增确诊和新 ２．Ａ
＝｛６，７，８，９，１０｝
２．Ｃ．
（３） ，
＝｛（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（１，
３．Ｄ．
增疑似的病例呈逐渐减少趋势 可以预
测这次北京市非典型性肺炎疫 ， 情新增 ５ Ｂ ） ＝ ， ｛ （ （ １ １ ， ， ６ ５ ） ） ｝ ， ， （２，４），（３，３），（４，２），（５， ４． （１）（３）（４） ．
２．样 病 控 本 制 例 数 ． 在 据 逐 共 步 有 减 ２９ 少 个 ， ， 疫 最 情 大 得 值为 到 ５ 了 ． ８ 有 ５， 效 最 ３． １ ｂ Ａ ） ２ ＝ ｗ ｝ ３ ｛ ． ， ｂ ｂ １ ２ ｗ ｂ １ １ ， ｝ ｂ ， １ ｗ ２， ｂ １ ｗ ３， ｂ １ ｂ ２， ｂ ２ ｗ １， ｂ ２ ｗ ２， ５． （ （ （ ２ １ ３ ） ） ） Ω Ω Ω ＝ ＝ ＝ ｛ ｛ ｛ ０ （ 黑 ， １ １ 桃 ， ， ２ ２ ， ） ， 方 ， ３ （ ， 片 １ ４ ， ， ， ３ ５ 红 ） ｝ ， 心 ； （１ ， ， 草 ４） 花 ， ｝ （ ． １，５），
小值为 ４ ． ８８， 极差为 ０ ． ９７ ．所以可以将 Ｂ ＝｛ ｗ １ ｂ １， ｗ １ ｂ ２， ｗ ２ ｂ １， ｗ ２ ｂ ２， ｗ ３ ｂ １， ｗ ３ ｂ ２， （１，６），（２，３），（２，４），（２，５），（２，６），
４ 组 样 ． ８ 频 本 ７， 数 数 右 据 、 端 频 分 点 率 ５ 取 、 组 频 组 ５ ， 率 距 ． 组 ８ 如 ７ 距 ， 下 分 为 表 组 ０ ． ． 情 ２， 况 左 及 端 其 点 各 取 ４． （ （ ｂ ｂ ２ １ ２ １ ｂ ｗ ） ） １ １ 事 事 ｝ ， ． ｂ 件 件 １ ｗ ２ Ｂ Ａ ， 表 ｂ 表 １ ｗ 示 示 ３， 摸 摸 ｂ ２ 出 出 ｗ １ 的 的 ， ｂ 都 两 １ ｂ 是 球 ２， 白 颜 ｂ ２ ｗ 球 色 ２， ； 不 ｂ ２ 同 ｗ ３ ； ， ６． （ （ （ （ ２ １ ３ ５ ） ） ， ， ４ ６ Ａ Ａ ） ） ∩ ∪ ， ｝ （ Ｂ Ｂ ． ３ ＝ ＝ ， ｛ ｛ ５ ３ ２ ） ， ， ， ４ ３ （ ｝ ， ３ ４ ； ， ， ６ ５｝ ） ； ，（４，５），（４，６），
事件Ｃ表示第一次摸出白球 第二 Ａ Ｂ
地球的平均密度 频率 （３） ， （３） ∩ ＝｛０，１，６，７，８，９，１０｝；
频数 频率 次摸出黑球．
相对于水的密度 组距 （４） Ａ ∩（ Ｂ ∩ Ｃ ）＝｛２，３，４｝ ．
１．４ 随机事件的运算 Ｂ组
． ． ． ． １．Ｃ．
［４８７，５０７） １ ００３４５ ０１７２５ 练习
． ． ． ． ２．Ｂ．
［５０７，５２７） ３ ０１０３５ ０５１７５ １． Ａ Ｂ是互斥事件 但不是对立事件
（１） ， ， ， ３． 前两次都命中目标
． ． ． ． Ａ的对立事件是 抽出的牌不是红心 （１） ；
［５２７，５４７） １１ ０３７９３ １８９６５ “ ”， 前两次都命中目标 第三次未命中
Ｂ的对立事件是 抽出的牌不是方片 （２） ，
． ． ． ． “ ”； 目标
［５４７，５６７） １０ ０３４４８ １７２４ Ａ Ｂ不是互斥事件 Ａ的对立事件 ；
． ． ． ． （２） ， ， 前两次都未命中目标
［５６７，５８７］ ４ ０１３７９ ０８６９５ 是 抽出的牌不是红心 Ｂ的对立事件 （３） ；
“ ”， 三次均未命中目标．
由频率分布表可知 地球的平均密度相 是 抽出的牌不是Ｋ （４）
， “ ”； ４．用数字 分别表示物理 化
对于水密度的估计值为 ． ． Ａ Ｂ既是互斥事件 也是对立事件 １，２，３，４，５，６ 、
４ ９７×０ ０３４ ５＋ （３） ， ， ； 学 生物学 历史 地理 政治 则不同选
． ． ． ． ． Ａ Ｂ不是互斥事件 Ａ的对立事件 、 、 、 、 ，
５１７×０ １０３ ５＋５ ３７×０ ３７９ ３＋５ ５７× （４） ， ， 考科目组合所构成的样本空间 Ω
． ． ． ． ．由此可 是 抽出的牌面不是 Ｂ ＝
０３３４８＋５ ７７×０ １３７ ９≈５ ４６ “ ２，３，４，６，１０”，
知 地球的平均密度约为 ． ３ 的对立事件是 抽出的牌不是方片 ｛（１，２，３），（１，２，４），（１，２，５），（１，２，
， ５ ４６×１０ “ ”；
３． Ａ Ｂ既是互斥事件 也是对立事件 ６），（１，３，４），（１，３，５），（１，３，６），（１，
ｋｇ／ｍ （５） ， ， ；
图略． Ａ Ｂ是互斥事件 但不是对立事件． ４，５），（１，４，６），（１，５，６），（２，３，４），
（６） ， ，
第七章 概率 Ａ的对立事件是 抽出的牌不是 （２，３，５），（２，３，６），（２，４，５），（２，４，
“ ２，３，４，
或者不是方片 Ｂ 的对立事件 ６），（２，５，６），（３，４，５），（３，４，６），（３，
５，６，７ ”， ．
§1 随机现象与随机事件 是 抽出的牌不是 或 ５，６），（４，５，６）｝
“ ８，９，１０，Ｊ，Ｑ，Ｋ，Ａ
者不是方片 ．
１．１ 随机现象 １．２ 样本空间 ” §2 古典概型
２． Ａ ＡＢ ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣ
（１） ；（２） ；（３） ；（４） ∪
练习 ２．１ 古典概型的概率计算公式
ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣ
１．略． ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ；
练习
ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣ．
２．略． （５） ∪ ∪
３． （１） Ω ＝｛（ 正 ， 正 ），（ 正 ， 反 ），（ 反 ， 正 ）， ３． 反 （１） Ａ ∪ 正 Ｂ 反 ＝｛ 正 （ 正 ， 正 正 ， 正 反 ）， 反 （ 正 ， 反 正 ， １． （１） １ ８ ；（２） １ ４ ；（３） ７ ８ ；（４） １ ２ ；
反 反 ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ，
（ ， ）｝； 反 反 Ａ Ｂ 正 正 正 Ａ Ｃ １ ３ ．
Ω 甲乙丙丁 甲乙丁丙 甲丙乙 ， ）｝， ∩ ＝｛（ ， ， ）｝， ∪ （５） ；（６）
（２） ＝｛ ， ， 正 正 正 正 正 反 正 反 ４ ４
丁 甲丙丁乙 甲丁乙丙 甲丁丙乙 乙 ＝｛（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ，
， ， ， ， 正 正 反 反 反 正 正 反 ２． １ ５ １ ．
甲丙丁 乙甲丁丙 乙丙甲丁 乙丙丁 ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， （１） ；（２） ；（３）
， ， ， 正 反 反 反 正 Ａ Ｃ 正 １２ １２ ４
甲 乙丁甲丙 乙丁丙甲 丙甲乙丁 丙 ， ），（ ， ， ）｝， ∩ ＝｛（ ，
， ， ， ， 正 正 正 正 反 正 反 正 ２．２ 古典概型的应用
甲丁乙 丙乙甲丁 丙乙丁甲 丙丁甲 ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），
， ， ，
乙 ， 丙丁乙甲 ， 丁甲乙丙 ， 丁甲丙乙 ， 丁 （ 正 ， 反 ， 反 ）｝； 练习（第 ２０１ 页）
乙甲丙 丁乙丙甲 丁丙甲乙 丁丙乙 Ａ Ｂ 正 正 正 反 正 １．摸出白球记为 ｗ ｗ 摸出黑球记为
， ， ， （２） ∪ ＝｛（ ， ， ），（ ， ， １， ２，
１６
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ｂ ｂ 从 个球中任意摸出 个 不区 这些数要么较小
１， ２， ４ ２ ， 故 张奖券的中奖概率为 ６１ ． ７，１４，１５，１６，１７，１８， ，
分先后共有 种摸法且可能性相等 其 １ 要么较大 出现的可能性远小于
６ ， １０００ ， ８，９，
中一个黑球都没有的摸法只有 种 因 设 张奖券既不中特等奖也不中 出现的可能性．所以此法
１ ， （３） “１ １０，１１，１２，１３
一等奖 为事件Ｎ 则事件Ｎ与 张奖 则不公平 对乙更有利．
此没有摸出黑球的概率为 １ 所以至 ” ， “１ ，
， 券中特等奖或中一等奖 为对立事件
６ ” ，
所以 Ｐ Ｎ Ｐ Ａ Ｂ §3 频率与概率
少摸出一个黑球的概率为 １ ５ ． （ ） ＝ １ － （ ∪ ） ＝ １ －
１－ ＝ ( )
练习
６ ６ １ １ ９８９ ．
＋ ＝ １．略．
２． ５ ５ ． １０００ １００ １０００
（１） ３６ ；（２） ９ 故 １ 张奖券既不中特等奖也不中一等 ２． （１） 不一定．降雨概率是 ８０ ％ ， 说明明天
练习（第 页）
降雨的可能性较大 但是否下雨不能完
２０５ 奖的概率为 ９８９ ． ，
１． １ １ ３ １ ． １０００
全确定．
（１） ；（２） ；（３） ；（４）
１３ ２６ １３ ４ ２． １ １ ３ ． （２） 不一定．中奖概率为 １ ％ ， 指的是整
２． １ １ ． （１） ８ ；（２） ４ ；（３） ４ 体的中奖比例 并不意味着买 张彩
（１） ２ ；（２） ６ ３．由数字 １，２，３，４，５ 任意排列成一行组 票一定中奖． ， １００
３． １ ． 成一个五位数 ， 则 １，２，３，４，５ 出现在个 （３） 不一定．抛掷一枚均匀的硬币 ， 出现
位的可能性相等 当个位是 时能
２
习题7-2 ， ２，４，５ 正面的概率是 １ 但抛掷一枚均匀的
，
被 或 整除 因此所求概率是 ３ ． ２
Ａ组 ２ ５ ， 硬币 一次出现正面 一次出现反面是
５ ， 、
随机事件 也可能两次都是正面 或两
１． ５ ． ４． １ １ ５ １ １ ． ， ，
１２
（１）
２
；（２）
６
；（３）
６
；（４）
２
；（５）
２
次都是反面．
５．只考虑第ｋ个人摸球的情况 ｍ ｎ 个 习题7-3
２． １ １ ３ １ ３ ． ，（ ＋ ）
（１） ２ ；（２） ２６ ；（３） ２６ ；（４） １３ ；（５） ４ 球中的每个球均有可能被第ｋ个人摸 Ａ组
３． １ ． 到 ， 且可能性相等 ， 其中有ｍ种情形是 １．Ｂ 分析 ： 设这批米内夹谷约为ｘ担 ， 由
３ 白球 因此第ｋ个人摸到白球的概率是 ｘ
， ２８ 得ｘ ．
４． １ １ ５ ． ｍ ＝ ， ≈１６９
（１） ；（２） ；（３） 与摸球人的摸球顺序无关． １５３４ ２５４
２ ２ ６ ｍ ｎ， ２．不对．抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数
＋
５． １ １ １ ． ６．假如继续比赛下去 最多还需两局可分
（１） ；（２） ；（３） ， 为 的概率为 １ 但频率具有随机性
３ ３ ３ 出胜负 两局可能的结果为 甲胜 甲 ５ ， ，
， ：（ ， ６
６． ７ ７ １１ １ 胜 甲胜 乙胜 乙胜 甲胜 乙 因此连续抛掷这枚骰子 次不一定会
（１） ；（２） ；（３） ；（４） ； ），（ ， ），（ ， ），（ ６
１２ １２ ３６ ２ 胜 乙胜 考虑到甲 乙赌技相当 四种 出现 次掷出的点数是 如果抛掷这
， ）， 、 ， １ ５，
１ １ ． 结果出现的可能性相等 其中有 种结 枚骰子的次数很多 那么出现 点的频
（５） ；（６） ， ３ ， ５
２ ３ 果是甲获得最终胜利 一种结果是乙获
７．设Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 分别表示等候人数 ， 率会稳定在 １ 左右．
， ， ， ， ， 得最终胜利．故建议 法郎按照
为 及以上的事件 易知 １００ ３ ∶ １ ６
Ａ Ｂ ０， Ｃ １， Ｄ ２，３ Ｅ ，４ Ｆ ， 彼 ５ 此互斥． ， 的比例分配 ， 甲得 ７５ 法郎 ， 乙得 ２５ ３． （１） 约为 ７ ．
， ， ， ， ， 法郎． ５０
设 Ｍ 表示事件 等候人数不超过 根据抽样的结果 男性老年人需要
（１） “ ７． 若三次掷出的点数均为奇数或一 （２） ，
则Ｍ Ａ Ｂ Ｃ 故Ｐ Ｍ Ｐ Ａ （１）
２”， ＝ ∪ ∪ ， （ ）＝ （ ）＋ 奇两偶 则点数之和为奇数 若三次掷 志愿者的比例约为 ４０ ％ 女性约
Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ ． ． ． ． ， ， ＝２０ ，
（ ）＋ （ ）＝ ０ ０５＋０ １４＋０ ３５＝０ ５４， 出的点数均为偶数或两奇一偶 则点数 ２００
即等候人数不超过 的概率为 ． ． ，
２ ０５４ 之和为偶数 根据对称性 三次掷出的 为３０ ％ 因此可以认为老年人是
设 Ｎ 表示事件 等候人数不小于 ， ， ＝１０ ，
（２） “ 均为奇数与三次掷出的均为偶数的可 ３００
则Ｎ Ｄ Ｅ Ｆ 故Ｐ Ｎ Ｐ Ｄ 否需要志愿者提供帮助与性别有关．
３”， ＝ ∪ ∪ ， （ ）＝ （ ）＋ 能性相同 而掷出一奇两偶与掷出两奇
Ｐ Ｅ Ｐ Ｆ ． ． ． ． ，
（ ）＋ （ ）＝ ０ ３０＋０ １０＋０ ０６＝０ ４６， 一偶的可能性也相同．所以三次掷出的 ４． ３ ．
即等候人数不小于 的概率为 ． ．
Ｂ组 ３ ０４６ 点数之和为奇数与三次掷出的点数之 Ｂ １ 组 ００
和为偶数的可能性相同 所以此规则 １．略．
，
１． （１） Ｐ （ Ａ ）＝ １ ， 公平． ２． ． 不正确．
１０００ 只考虑每天掷出骰子的奇偶性 一 ３． （１）０４６９６；（２）２ 略 １３ ． ００；（３）
Ｐ （ Ｂ ）＝ １０ ＝ １ ， （ 共 ２ 有 ） 种等可能的情形 奇 奇 奇 ， （１）１１；（２）～（５）
８ ：（ ， ， ），
１０００ １００
奇 奇 偶 奇 偶 奇 奇 偶 §4 事件的独立性
（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ，
Ｐ Ｃ ５０ １ ．
（ ）＝ ＝ 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 偶 练习
１０００ ２０ ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ，
张奖券中奖包含中特等奖 一等 偶 奇 偶 偶 偶 ．三次掷出的点数 １．若不放回摸球 则 Ａ 与 Ａ 不独立 若
（２）１ 、 ， ），（ ， ， ） ， １ ２ ；
奖 二等奖 设 张奖券中奖 这个事 均为奇数或均为偶数 只有 种情形 有放回摸球 则Ａ 与Ａ 独立．
、 ， “１ ” ， ２ ， ， １ ２
件为Ｍ 则Ｍ Ａ Ｂ Ｃ． 而一奇两偶与两奇一偶共有 种情形
， ＝ ∪ ∪ ６ ， ２． ８ １ ２ １４．
易知Ａ Ｂ Ｃ两两互斥 所以此法则不公平 对甲更有利． （１） ；（２） ；（３） ；（４）
、 、 ， ， １５ １５ ５ １５
所以Ｐ Ｍ Ｐ Ａ Ｂ Ｃ Ｐ Ａ 虽然有 种结果是甲取胜 种结 习题7-4
（ ）＝ （ ∪ ∪ ）＝ （ ）＋ （３） １０ ，６
果是乙取胜 但是由于甲对应取胜的结 Ａ组
Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ １ １ １ ６１ ． ，
（ ）＋ （ ）＝ ＋ ＋ ＝ 果是三次掷出的点数之和为 １．Ａ．
１０００ １００ １０ １０００ ：３，４，５，６，
１７
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等２． ． ． ５． 所不同 但抽中门票的总概率是相同
０４２ ，
３． ＡＢ ＡＢ ＡＢ ＡＢ ＡＢ ＡＢ互斥 ＡＢ独立 的 理由可参照习题 组第 题．
（１） ；（２） ；（３） ；（４） ∪ ； ， ， ， ７－２Ｂ ４
ＡＢ都发生 ＰＡＰＢ
， ０ （） （ ）
（５） ＡＢ ∪ ＡＢ ∪ ＡＢ． Ａ ， Ｂ都不发生 １－Ｐ （ Ａ ）－Ｐ （ Ｂ ） ［１－Ｐ （ Ａ ）］［１－Ｐ （ Ｂ ）］ 第八章 数学建模活动（一）
４．设事件 Ａ 表示
“
甲在罚球线投篮命 Ａ
，
Ｂ恰有一个发生 Ｐ
（
Ａ ）＋Ｐ
（
Ｂ
）
Ｐ
（
Ａ ）［１－Ｐ
（
Ｂ ）］＋Ｐ
（
Ｂ ）［１－Ｐ
（
Ａ
）］
中 事件Ｂ 表示 乙在罚球线投篮命 Ａ ， Ｂ至少有一个发生 Ｐ （ Ａ ）＋Ｐ （ Ｂ ） Ｐ （ Ａ ）＋Ｐ （ Ｂ ）－Ｐ （ Ａ ） Ｐ （ Ｂ ） §1 走近数学建模
”， “ Ａ
，
Ｂ至多有一个发生
１
１－Ｐ
（
Ａ
）
Ｐ
（
Ｂ
）
中 则Ａ Ｂ相互独立 习题8-1
”， ， ， 复习题七
设事件Ｃ表示 甲 乙两人在罚球线各 １．解法一 在平面直角坐标系中描出给定
“ 、 ：
投篮一次 恰好命中一次 Ａ组 的各点 画出散点图 图略 再用画斜
， ”， ， （ ），
１．Ａ．
则Ｃ ＡＢ ＡＢ 线的方法对给出的 只 蠓虫和 只
＝ ∪ ， ２．Ｃ． ９ Ａｆ ６
根据互斥事件的概率加法公式和相互 蠓虫进行区分．射线上方可代表
Ａｐｆ Ａｐｆ
３．Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ．
独立事件的概率乘法公式 得Ｐ Ｃ （ ）＞ （ ） 蠓虫 射线下方代表 蠓虫．在图中描
， （ ）＝ ４．Ｄ． ， Ａｆ
出 个待判断的蠓虫的点进行判断．
Ｐ （ ＡＢ ∪ ＡＢ ）＝ Ｐ （ ＡＢ ）＋（ ＡＢ ）＝ Ｐ （ Ａ ）［１ ５．Ｃ． ３
解法二 对已知的两组数据分别求算术
：
Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ １ ．
－ （ ）］＋ （ ）［１－ （ ）］＝ ６． １２ ３ ． 平均值 得到两个代表 蠓虫和
２ （１） ；（２） ， Ａｐｆ Ａｆ
２５ ５ 蠓虫的点的坐标 即点Ａ ｘ ｙ 和Ｂ ｘ′
５． ３ １１ １７． ， （ ， ） （ ，
（１） ；（２） ；（３） ７． １ １ ５ １ １ ． ｙ′ 然后分别计算 个点 ． ．
１０ ２０ ２０ （１） ；（２） ；（３） ；（４） ；（５） ）， ３ （１２４，１８０），
２ ６ ６ ２ ２
６．系统 正常工作的概率为 ． 系统 ． ． ． ． 与点Ａ ｘ ｙ
Ｎ１ ０ ７２，
８． １ ５ １ ．
（１２８，１８４），（１４０，２０４） （ ， ）
正常工作的概率为 ． ． （１） ；（２） ；（３） 和Ｂ ｘ′ ｙ′ 的距离 距离较小者为同
Ｎ２ ０９８ ６ ６ ３ （ ， ） ，
Ｂ组 ９． ． ． 一类．
０９５
１．Ｄ． Ｂ组
§2 数学建模的主要步骤
１．Ａ．
２．９１．
２．Ｂ． 习题8-2
２１６
３．设甲 乙 丙三台机床各自加工的零件 １． 可以关注不同的现实问题 如待转
、 、 ３． １ １ １ ． （１） ，
是一等品的概率分别为Ｐ Ａ Ｐ Ｂ （１） ；（２） ；（３） 线的车流量是多少 左转灯的绿灯设
（ ）， （ ）， ６ ６ ２ ？
ì ïＰ ＡＢ １ ４．如果随机安排马的对位 ， 共有 ６ 种对位 置多长时间合理 ？ 提出的问题只要能
ï （ ）＝ ， 方式 其中田忌能赢的对位只有 种
４ ， １ ， 解决问题 能够使数学用得恰到好处
ï ，
即用自己的上等马对齐王的中等马 用
Ｐ Ｃ ．由题意 得íＰ ＢＣ １ ， 即可．
（ ） ， ï ï （ ）＝ １２ ， 中等马对齐王的下等马 ， 用下等马对齐 （２） 在假设环节 ， 能做到合理假设即
ïＰ ＡＣ ２ 王的上等马．所以田忌赢得比赛的概率 可 能在此基础上建立模型 模型不会
î （ ）＝ ， ， ，
９
ì 是 １ ． 解也没有关系．
ïＰ Ａ Ｐ Ｂ １
ï （ ）［１－ （ ）］＝ ４ ， ６ ( )ｎ ２．略．
ï ５．设购买奖券ｎ张 由 １ ９
即íＰ Ｂ Ｐ Ｃ １ ， １－ １－ ＞ ，
ï （ ）［１－ （ ）］＝ １２ ， ( )ｎ ３ １０ §3 数学建模活动的主要过程
ï 得 ２ １ 所以ｎ 故至少购买 习题8-3
ïＰ Ａ Ｐ Ｃ ２ ＜ ， ≥６， ６
î （ ） （ ）＝ ， ３ １０
９ 张奖券． １．以牙膏的调查为例．
解得 Ｐ Ａ １ Ｐ Ｂ １ Ｐ Ｃ ６．将甲地区用户满意度为非常满意 满 下表是从某购物网站上查询到的同一
（ ）＝ ， （ ）＝ ， （ ） 、
３ ４ 意 不满意分别记作事件 Ａ Ａ Ａ 将 品牌四种质量不同 类型完全相同的牙
、 １， ２， ３， 、
２ ． 乙地区用户满意度为非常满意 满意 膏对应的价格
＝ 、 、 ：
３
不满意分别记作事件Ｂ Ｂ Ｂ 则Ｃ
４．设甲
、
乙
、
丙三个人各自独立解出某问 １， ２， ３， ＝ 质量／
ｇ
价格／元
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ａ Ｂ
题的概率分别为 Ｐ （ Ａ ）＝ ０ ． ４， Ｐ （ Ｂ ）＝ Ａ １ Ｂ ２∪ Ａ １ Ｂ ３∪ Ｐ ２ ３， Ａ Ｂ （ ）＝ Ｐ （ Ａ Ｂ １ ２∪ ６５ １４
０ ． ５， Ｐ （ Ｃ ）＝０ ． ６， 那么 ， 三人同时独立去 １ ３∪ ２ ３）＝ （ １ ２）＋ （ １ ３）＋ ．
９０ １７６
解决此问题 至少有一人解出此问题的 Ｐ Ａ Ｂ ４ ８ ４ １０ １２ １０
， （ ２ ３）＝ × ＋ × ＋ × ．
概率为 Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ２０ ２０ ２０ ２０ ２０ ２０ １２０ ２１６
１－［１－ （ ）］［１－ （ ）］［１－
Ｐ （ Ｃ ）］＝１－（１－０ ． ４）（１－０ ． ５）（１－０ ． ６）＝ ＝ １２． １８０ ２８ ． ３
２５
１－０ ． １２＝０ ． ８８ ． ７．王老师的抽签方法公平 每位同学抽中 四种牙膏的形状是一样的 （ 外包装盒为
，
也就是说 虽然甲 乙 丙三个人各自独 长方体形 可以认为它们是相似的．
， 、 、 的概率均为 ５ 即 １ ．小明的话看似也 ），
立解出某问题的概率不高 但三个人同 ， 假设商品的价格为 ｙ 元 质量为
， ５０ １０ （ ），
时去解决这个问题时 这个问题被解出 有道理 第二名同学在第一名同学抽中 ｘ 看能否找出 ｙ 与 ｘ 的函数关系
， ， （ｇ），
的可能性却很高． 和未抽中的情况下抽到门票的概率有 式 ｙ ｆ ｘ ．为了方便叙述 我们引入符
： ＝ （ ） ，
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号 当 ｙ 与 ｘ 成比例 即 ｙ ｋｘ ｋ 下面我们用实际数据来检验这一函数 ． 元 由此可见我们推导出来的函数
“∝”， ， ＝ （ ０４８ ，
为常数 时 记作ｙ ｘ． 表达式的准确性．因为函数中有两个待 表达式还是比较准确的．
） ， ∝
设商品的成本为Ｐ 元 一般来说 商 定系数 所以我们只需要代入两组 ｘ 关于模型假设 以上解决问题时的假设
（ ）， ， ， （ ， ，
品价格 商品成本 利润率 所以 ｙ 值即可求出ａ ｂ的值． 只考虑生产成本和包装成本两种主要
＝ ×（１＋ ）， ） ，
有ｙ Ｐ．而商品的成本主要分为生产成 将 和 ． 代入 ｙ ａｘ 的成本对价格的影响 目的是找到主要
∝ （６５，１４） （９０，１７ ６） ＝ ＋ ，
本和包装成本两部分 分别设为Ｐ 和 { ａ ２ ３ｂ 影响因素后 模型会相对比较简单 而
， １ ｂｘ２ ３中 得 ６５ ＋６５ ＝１４， ， ，
Ｐ ２， 即有ｙ ∝（ Ｐ １＋ Ｐ ２） ．商品的生产成本 ， ９０ ａ ＋９０ ２ ３ｂ ＝１７ ． ６， 且是熟悉的比例模型 ， 可操作性强．如
Ｐ 与商品的质量ｘ 成比例 即 Ｐ ｘ 解得ａ ． ｂ ． 果将运输成本 超市上架费 仓储费等
１ ， １∝ ； ≈００２２５， ≈０７７５６， 、 、
而商品的包装成本Ｐ
２
与商品的表面积 所以ｙ
＝０
．
０２２５
ｘ
＋０
．
７７５６
ｘ２ ３． 其他因素也考虑进去
，
结果可能会更准
Ｓ成比例 ， 即Ｐ ２∝ Ｓ ， 而Ｓ ∝ Ｖ２ ３ ， Ｖ ∝ ｘ （ 这 将ｘ ＝１２０ 代入 ， 得ｙ ＝２１ ． ５７， 与实际价 确 ， 但是模型也会复杂很多 ， 可操作性
里Ｖ指商品的体积
），
故有Ｐ
２∝
ｘ２ ３．从 格
入 ２ 得 １
．
６ ｙ
相差
． ０
．
０ 与 ３ 实
元
际 ；
再
价
将
格
ｘ
＝ ． １８ 相 ０ 差
代
２．略
就差
．
一些了．
而我们可以假设ｙ ａｘ ｂｘ２ ３． ， ＝２８ ７８， ２８ ３
＝ ＋
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