文档内容
第七章 相交线与平行线
01 思维导图
02 知识速记
【知识点1】对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
2
1 ∠1的两边与∠2
对顶角相等
对顶角 有公共顶点 的两边互为反向
即∠1=∠2
延长线
∠1与∠2
∠3与∠4有一条
邻补角互补即
邻补角 有公共顶点 边公共，另一边
∠3+∠4=180°
互为反向延长线.
【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
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学科网（北京）股份有限公司当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，
是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：PO⊥AB，点P到直线AB的距
离是垂线段PO的长.
特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
【知识点3】同位角、内错角与同旁内角
角的名称 位置特征 图形结构特征
形如字母“F”（或倒置、反转、旋
同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧
转）
既位于被截两直线之间，又位于截线两侧， 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋
内错角
即被截线“错开” 转）
既位于接线的同侧，又位于被截两直线之 形如字母“U”（或倒置、反转、旋
同旁内角
间. 转）
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学科网（北京）股份有限公司【知识点4】平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
【知识点5】平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.
【知识点6】平行公理
1．平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行．
2．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【知识点7】平行线的判定
判定方法1 判定方法2 判定方法3
两条直线被第三条直线 两条直线被第三条直
两条直线被第三条直线所
两条直 所截，如果同位角相 线所截，如果同旁内
截，如果同位内角相等，
线平行 等，那么这两条直线平 角互补，那么这两条
那么这两条直线平行，即
的判定 行，即同位角相等，两 直线平行，即同旁内
内错角相等，两直线平行
直线平行 角互补，两直线平行
那么
那么∠1=∠2 那么∠1=∠2
符号语 ∠1+∠2=180°
言
那么AB//CD 那么AB//CD
那么AB//CD
【知识点8】平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【知识点9】命题、定理、证明
1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
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学科网（北京）股份有限公司要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知
事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定
理也可以作为继续推理的依据.
3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
要点提醒：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基
本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
【知识点10】平移
1． 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点提醒：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2． 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体
来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点提醒：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到
的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3． 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
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学科网（北京）股份有限公司(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
03 题型归纳
题型一 对顶角、领补角的定义理解
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么
这两个角互为对顶角，据此求解即可．
【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的 与 互为对顶角，
故选：C．
巩固训练
1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中， 与 是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断
即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；
D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中， 与 互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】邻补角的定义理解
【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向
延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可．
【详解】A．不是邻补角，不符合题意；
B．不是邻补角，不符合题意；
C．不是邻补角，不符合题意；
D．是邻补角，符合题意．
故选D
3．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线 ， ， 相交于点O．则 的邻补角是
（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D．
【答案】A
【知识点】找邻补角
【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系
的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键．
【详解】解：根据邻补角的定义可知， 的邻补角是 和 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
题型二 对顶角、领补角性质的应用
例题：（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 相交于点 平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义．
（1）由角平分线的定义可求出 ，再根据对顶角相等即可求解；
（2）设 ，则 ，根据 ，可列出关于x的方程，解出x的值，
即可求出 的大小，进而可求出 的大小．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
；
（2）解：∵ ，
设 ，则 ，
∴根据题意得 ，
解得： ，
，则 ，
．
巩固训练
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 相交于点 ．
(1)若 ，则 的余角有__________．
(2)若 ，求 和 的度数．
【答案】(1) ，
(2) ， ．
【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角
这一要点．
（1）由垂线的性质求得 ，然后根据等量代换及余角的定义解答；
（2）根据垂直的定义求得 ，再由 求得 ，然后根据邻
补角定义和对顶角的性质即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，即 ，
∵ ，
的余角有： ， ；
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
， ，
∴ ，
，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线 上一点，过点O作 、 、 三条射线，
平分 ， ．
(1)若 ，则 的度数为___________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线 使得 ，求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) 的度数为 ；
(3) 的度数为 或 ．
【知识点】几何图形中角度计算问题、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条
件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键．
（1）由条件 平分 可得 ，再由条件 可得 ，通过
等量代换即可得到 的度数；
（2）由条件 ，并结合（1）的结论 ，可得 ，再利用
为平角找出等量关系列出等式，即可求解 的度数；
（3）分射线 在 的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算 的度数，
再根据 与 互补的关系即可得解．
【详解】（1） 平分 ，
．
，
同理， ，
，
．
（2）由题可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
，
，
由题可知 为平角，
，
即 ，
，
的度数为 ．
（3）当 在 内部时，如图①，
则 ．
；
当 在 外部时，如图②，
则 ，
．
综上所述， 的度数为 或 ．
题型三 垂线的定义的理解与应用
例题：（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是
（ ）
A．过 可画直线垂直于 B．过 可画直线 的垂线
C．连结 使 D．过 只能画1条直线与 垂直
【答案】C
【知识点】垂线的定义理解
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 为直线 上的一点，Q为 外一点， 过P可画直线垂直于 ，正确，不合题意；
B、 为直线 上的一点，Q为 外一点， 过Q可画直线 的垂线，正确，不合题意；
C、连接 不能保证 ，故错误，符合题意；
D、 为 外一点， 可以过Q可画直线与 垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，所以 与 在同一条直线上的理
由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】垂线的定义理解
【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为 ， ，
所以直线 与 重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 垂足为D，则下面说法中不正确
的是（ ）
A．点B到 的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直
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学科网（北京）股份有限公司C． 与 互相垂直 D．线段 的长度是点A到 的距离
【答案】A
【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解
【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴点B到 的垂线段是线段 ，故本选项错误，符合题意；
B、∵ ，
∴CD和AB互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∴ 与 互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
D、∵ ，
∴线段 的长度是点A到 的距离，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为 米，
米， 米，则黎明的跳远成绩应该为 米．
【答案】
【知识点】垂线段最短
【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂
线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂
线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．
【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是
图中线段 的长度，即为 米．
故答案为：
题型四 利用垂线的定义求角的度数
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学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线 与 相交于点O， 平分 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．
（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；
（2）由垂线得到 ，结合角平分线得到 ，则
，化简得 ，由 ，得到
方程 ，继而可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与 相交于点O，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵若 ，
∴
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 .
∴ ．
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 ， 相交于点 ， ．
(1)若 ，判断 与 的位置关系；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键．
（1）根据垂直定义，得到 即可求解；
（2）根据垂直定义结合已知，得到 ，再根据平角定义求解即可；
【详解】（1）解： ．
理由如下：因为 ，所以 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ；
（2）解：由（1）知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 相交于点 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关
键．
（1）根据对顶角相等可得 ，然后利用角的和差计算求解；
（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型五 点到直线的距离与垂线段最短
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学科网（北京）股份有限公司例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点 作 所在直线的垂线，如图三角板的位置摆
放正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】画垂线
【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可．
【详解】解：选项A中三角板过点 ，但不垂直 ，故不符合题意；
选项B中三角板过点 且垂直 ，故符合题意；
选项C中三角板不过点 ，故不符合题意；
选项D中三角板过点 但不垂直 ，故不符合题意，
故选：B．
巩固训练
1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中， ，已知 ， ， ，
则点B到直线 的距离是 ．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．
根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线 的距离是线段 长解题．
【详解】解：点B到直线 的距离是 ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为 ， 、 、
都在格点上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)利用网格作图：过点 画直线 的垂线 ，垂足为点 ；
(2)线段 的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小： ______ （填＞、＜或＝），理由：______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 垂线段最短
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线
【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离：
（1）取格点 ，作直线 ，交直线 于点 ；
（2）根据点到直线的距离的定义即可解答；
（3）根据垂线段最短即可解答．
【详解】（1）
（2）线段 的长度是点 到直线 的距离．
故答案为：
（3） ，理由：垂线段最短．
故答案为： 垂线段最短
3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶
点称为格点，点 、 、 、 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
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学科网（北京）股份有限公司(1)作线段 ，作射线 ；
(2)点 到直线 的距离为线段________的长度；
(3)在线段 上找一点 ，使它到 、 、 、 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)两点之间线段最短
【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，
是解题的关键．
（1）连接 画出线段 ，连接并延长 画出射线 即可；
（2）根据 可得点 到直线 的距离为线段 的长度；
（3）根据两点之间线段最短，可得 的最小值为 的长，得点 到 、 、 、 四个点的
距离之和最小值为 ．
【详解】（1）连接 ，连接并延长 ，即得．
（2）点 到直线 的距离为线段 的长度
故答案为：
（3）连接 ，交BD于点 ，
则 ，
当点O运动到 上时， ， 最小，
则 ，最小．
故答案为：两点之间线段最短．
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学科网（北京）股份有限公司题型六 同位角、内错角、同旁内角的辨别
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若 ，则 的同位角的大小是
， 的内错角的大小是 ， 的同旁内角的大小是 ．
【答案】
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得 的同位角、内错角都为 的
邻补角，接下来结合 的度数计算即可；同样由图可得 的同旁内角为 的对顶角， 与 为对
顶角，据此解答．
【详解】解：由图可得 的同位角、内错角都为 的邻补角，
又 ，
则其同位角大小为 ；
的内错角大小为 ；
的同旁内角为 的对顶角，则大小为 ；
故答案为： ； ； ．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线 上有一点 和 是直线 被直线
所截形成的 角； 和 是直线 和 被直线 所截形成的 角； 和
是直线 和 被直线 所截形成的 角．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 同位 内错 同旁内
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同
旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：直线 上有一点 和 是直线 被直线 所截形成的同位角； 和
是直线 和 被直线 所截形成的内错角； 和 是直线 和 被直线 所截
形成的同旁内角．
故答案为： ，同位； ，内错； ， ， ，同旁内．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1) 与 、 与 ， 与 各有什么特殊的位置关系？
(2) 与 是内错角吗？为什么？
(3)如果 ，那么 等于 吗？ 和 互补吗？为什么？
【答案】(1) 与 是内错角， 与 是同旁内角， 与 是同位角
(2) 与 不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
(3) ， 和 互补，理由见解析
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两
直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义．
（1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错
角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧
的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据图形中 和 的位置关系，可知 和 不在一条直线的两侧，即可判断答案；
（3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到 再根据平行线的性质，即可得到答案．
【详解】（1）∵ 与 两个角都在两直线的中间， 截线的两侧，
∴ 与 是内错角，
∵ 与 两个角都在两直线的中间， 截线的同旁，
∴ 与 是同旁内角，
∵ 与 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置，
∴ 与 是同位角．
故答案为： 与 是内错角， 与 是同旁内角， 与 是同位角
（2）∵内错角必须在两条被截直线之间，
∴ 与 不是内错角．
故答案为： 与 不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
（3）理由: ∵ ，而 ，
，
∵ 和 互补， ，
∴ 和 也互补．
故答案为： ， 和 互补
题型七 添加一条件使两条直线平行
例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，
点 为 内一点，连接 ， ，不添加辅助线，请添加一个条件使得 ，则可添加为
．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定
方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可
得结论．
21 / 48
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：添加 利用同位角相等，两直线平行判定 ；
添加 利用内错角相等，两直线平行判定 ；
添加 利用同旁内角互补，两直线平行判定 ．
故答案为： (答案不唯一)·
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段 的延长线上一点，添加一个条件，使 ，
则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
【答案】
【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁
内角互补，两直线平行．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答
（答案不唯一）．
【详解】解：若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
故答案为 或 或 或 ．（答案不唯一）
2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题 如图，已知 ，请
你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断 ，你添加的条件是
．
【答案】 平分 （答案不唯一）
【知识点】内错角相等两直线平行
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．
根据内错角相等，两直线平行，当 时， ，由于 ，易得 要平分
．
【详解】解∶当 时， ，
，
所以 需平分 ，
即添加的条件是 平分 ，
故答案为： 平分 （答案不唯一）．
题型八 平行线的判定
例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整：
如图，已知直线AB，CD被直线 所截， 为CD与 的交点， 于点 ， ，
，求证： ．
证明：∵ （已知），
∴ （ ）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （ ）（____________）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （____________）．
【答案】垂直的定义； ，对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，对顶角相等，由 ，得 ，从而
有 ，通过等量代换求出 即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵ （已知），
23 / 48
学科网（北京）股份有限公司∴ （垂直的定义），
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （对顶角相等）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （同位角相等，两直线平行），
故答案为：垂直的定义； ，对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在 上，已知 ， 平分 ，
平分 ，请说明 的理由．
解： （已知），
（_______）
（_______）．
∵ 平分 ，
_______（_______）．
平分 ，
_______，
得 （_______），
（_______）．
【答案】邻补角的定义；同角的补角相等； ；角平分线的定义； ；等量代换；内错角相
等，两直线平行；理由见解析
【知识点】内错角相等两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得 ，再由角平分线的定义得
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学科网（北京）股份有限公司， ，从而得 ，即可判定 ．
【详解】解：∵ （已知），
（邻补角的定义），
∴ （同角的补角相等）．
∵ 平分 ，
∴ （角平分线的定义）．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ （等量代换），
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等； ；角平分线的定义； ；等量代换；内错角
相等，两直线平行．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ）
∵ 平分 （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
∵ （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
【答案】角平分线的定义； ；角平分线的定义；等量代换； ；等量代换；同旁内角互补，两
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学科网（北京）股份有限公司直线平行
【知识点】同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即
可．
【详解】证明：∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）
∴ （等量代换）
∵ （已知），
∴ （等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
3．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图， ， ，垂足分别是 ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系；（不需要证明）
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据 可得 ，则 ，即可求证．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
（2）证明： ， ，
（等式的性质），
即 ，
（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同
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学科网（北京）股份有限公司位角相等，两直线平行．
4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中，点E在 的延长线上，点F在 的延
长线上，连接 相交于点O， ， 平分 ， ．
(1)试说明 ；
(2) 与 的位置关系如何？为什么？
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义：
（1）根据平角的定义和已知条件证明 ，即可证明 ；
（2）由角平分线的定义和已知条件证明 ，即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型九 根据平行线的性质与判定综合问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知： ， ， ，求
的度数.
解： ，
________（________）
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司________
________（________）
________ ，（________）
，
________.
【答案】 ，两直线平行，同位角相等； ； ，内错角相等，两直线平行； ，两直线平
行，同旁内角互补；
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键；
根据平行线性质推出 ，根据平行线判定推出 ，根据平行线判定推出
，求出即可．
【详解】解： ，
（两直线平行，同位角相等）
又 ，
，
（内错角相等，两直线平行）
，（两直线平行，同旁内角互补）
，
；
故答案为： ，两直线平行，同位角相等； ； ，内错角相等，两直线平行； ，两直线平
行，同旁内角互补；
巩固训练
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段 上，连接
交于点H，连接 并延长到点M， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解
【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得 ，从而得到 ，可求得
，即可判定 ；
（2）结合（1）可得 ， ，从而可求 的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
．
由（1）可得： ， ，
， ，
．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图， ， ， 的平分线 交 的延长
线于点 ， 的平分线 交 的延长线于点 ．
29 / 48
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）由平行线的性质得出 ，再结合 得出 ，即可得证；
（2）由平行线的性质得出 ，结合角平分线的定义得出 ，推出 ，
即可得解．
【详解】（1）证明： ，
，
∴ ；
（2）解： ，
平分 ， 平分
，
，
，
．
题型十 平行线的性质在生活中的应用
例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中
射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，
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学科网（北京）股份有限公司，则 的度数为 ．
【答案】 /122度
【知识点】平行线的性质在生活中的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出 ，再由两直线平行同旁内
角互补即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵水中的两条光线平行， ，
∴ ，
∵水面和杯底互相平行，
∴ ，
∵ ，
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时
，若此时 平行地面 ，则 度．
【答案】150
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B
作 ，可得 ，进而得到 ，由 即可得出
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学科网（北京）股份有限公司答案．
【详解】解：过点B作 ，如图，
∵ 平行地面 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：150．
2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图， 的一边 为平面镜， ，一束与水平
线 平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在 上的点E处（反
射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则 的度数是 ， 的度数
为 ．
【答案】 /36度 72°/72度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由 ，
得到 ， ，得到 ，又由 得到
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
32 / 48
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
题型十一 平行线间的距离问题
例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线 ，点 到直线 的距离是 ，到直线 的距
离是 ，那么直线 和直线 之间的距离为 ．
【答案】 或
【知识点】求平行线间的距离
【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（ ）当
在 和 的同侧时，（ ）当 在 之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨
论思想是解题的关键．
【详解】解：当 在 和 的同侧时，距离为 ；
当 在 之间时，距离为 ，
故答案为： 或 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， AD ， 的面积等于 ， ， ，则
的面积是 .
【答案】10
【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过 作 于点 ，过 作
于点 ，根据平行线间的距离相等得出 ，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等．
【详解】如图，过 作 于点 ，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 的面积等于 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
2．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图， ，点 ， 在直线 上，点 在直线 上，
， ， ， ，则图中 与 之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】求平行线间的距离
【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的
距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式
即可得到结论．
【详解】解：设 与 之间的距离为 ，
则 ，
， ， ，
34 / 48
学科网（北京）股份有限公司，
设 与 之间的距离为 ，
故答案为： ．
3．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图 ， ， 平分 ， 平分 ，
．
(1)问： 与 平行吗？试说明理由．
(2)过点 作 于点 ，如图 若 ， ， ，求 ， 所在的直线之间
的距离．
【答案】(1)平行，见解析
(2)8
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、求平行线间的距离
【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离：
（1） ，得到 ，角平分线推出 ，进而得到 ，即
可得证；
（2）先证明四边形 是平行四边形，设 ， 所在的直线之间的距离为 ，等积法求出 的值
即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
35 / 48
学科网（北京）股份有限公司，
；
（2） ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
设 ， 所在的直线之间的距离为 ，
，
即 ，
，
即 ， 所在的直线之间的距离为 ．
题型十二 命题的判定与逆命题
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或
“假”）命题．
【答案】假
【知识点】判断命题真假、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线
的性质对命题进行判断即可确定答案．
【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补，
∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题，
故答案为：假．
巩固训练
1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么
它们的平方相等．
【答案】①
【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题
【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键
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学科网（北京）股份有限公司把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，
错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可．
【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个
实数相等，是假命题．
所以，逆命题成立的是① ；
故答案为：①
2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果 ， ，那么 ；②如果 ， ，那么 ；③如果 ， ，那么 ；
④如果 ， ，那么 ．其中假命题的是 ．（填写序号）
【答案】③
【知识点】平行公理的应用、判断命题真假
【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同
一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可．
【详解】①如果 ， ，那么 ，正确，是真命题；
②如果 ， ，那么 ，正确，是真命题；
③如果 ， ，那么 ，错误，应该是 ，故原命题是假命题；
④如果 ， ，那么 ，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
题型十三 生活中的平移及图形的平移
例题：（23-24七年级下·全国·期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千
C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图
形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
根据平移的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意；
37 / 48
学科网（北京）股份有限公司B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意；
C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意；
D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意；
故选：A．
巩固训练
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）下列运动属于平移的是（ ）
A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小，根据平移的
定义，逐一判断，排除错误答案
【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意；
B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移；
C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移，
故选：A．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所
示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【分析】此题考查了平移，关键是熟练掌握平移的性质；根据平移只是改变图形的位置，大小和形状
不会发生变化，利用平移的性质对图形进行分析判断，从而可得结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A，B，C都不能由“基本图案”经过平移得到，D能由“基本图案”经过平移得到；
故选：D．
题型十四 利用平移的性质求解
例题：（2024七年级上·上海·专题练习）如图， 是由 平移得到的，则点 、 、 的对
应点分别是 ，如果 ， ， ，那么 ，
， ．
【答案】 、 、
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查平移，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答．
【详解】解： 是由 平移得到的，
点 、 、 的对应点分别是 、 、 ，
， ， ，，
， ，
故答案为： 、 、 ， ， ， ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ，已
知 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】22
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得 ， ， ，
39 / 48
学科网（北京）股份有限公司推出阴影部分的面积 ，即可求解．
【详解】解：由平移的性质得， ， ， ，
为 和 的公共部分，
阴影部分的面积 ，
， ，
，
，
阴影部分的面积为22．
故答案为：22．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形 中， ，将 沿直线 向
右平移 得到 ，连接 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①③⑤
【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一
个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点
移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的
性质以及平行线的性质对各小题进行解答即可．
【详解】解：由平移的性质可知， ， ， ，
故①、⑤正确；
根据题意得不到 ，
故②错误；
，
∴ ，
∵ ，
40 / 48
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
，
故③正确；
∵ 不一定等于 ，
故证明不出 ，
则 不一定等于 ，
故④错误；
综上所述，正确的有①③⑤；
故答案为：①③⑤．
题型十五 平移作图
例题：（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在网格上，平移 ，并将 的一个顶点A平
移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
(1)请你作出平移后的图形 ；
(2)线段 与 的关系是：______
【答案】(1)见解析；
(2)平行且相等
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即
可；
（2）根据平移的性质进行判断．
【详解】（1）解：如图，△DEF为所作；
41 / 48
学科网（北京）股份有限公司；
（2）解：线段 与 的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
巩固训练
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中） 在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为
1个单位长度，请根据下列提示作图
(1)将 向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到 ， 画出 ．
(2)点A到 的距离为 个单位长度．
【答案】(1)图见详解
(2)2
【知识点】点到直线的距离、平移(作图)
【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质结合网格即可得出答案．
【详解】（1）解： 即为所求：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：点A到 的距离为2个单位长度，
故答案为：2．
2．（21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点
如图所示，现将三角形 平移，使点A平移至点 ．
(1)在网格图中画出平移后的三角形 ；（点 分别是 的对应点），
(2)连接 ，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析， ，
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质：
（1）根据点A和点 的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平
移方式确定 的位置，描出 ，再顺次连接 即可；
（2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：作图如下所示：
由平移的性质可得 ，
故答案为： ， ．
题型十六 平移与平行线的综合问题
例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 沿 方向平移到 的位置．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求平移的距离．
【答案】(1)
(2)3
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
（1）根据平移的性质，得到 ，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由平移的性质得出 ，进而可证 ，即可求解．
【详解】（1）解：由平移可知 ，
∴ ，
∴ ．
（2）由平移可知 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴平移的距离 为3．
巩固训练
1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知 ，点E在直线 之间，连接
．
【感知】如图1，若 ，则 ；
【探究】如图2，猜想 和 之间的数量关系，并说明理由：
【应用】如图3，若 平分 ，将线段 沿 方向平移至 ，若 ， 平分
，求 的度数．
【答案】感知： ；探究： ，理由见解析；应用：
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义：
感知：过点E作 ，由平行线的性质得出 ，证出 ，由平行线的性质得出
，据此可得 ，再代值计算即可；
探究：仿照感知方法求解即可；
应用：由平移的性质得到 ，再由角平分线的定义得到 ，
，根据探究的结论证明
证明 ，再根据 ，可得结论．
【详解】解：感知：如图所示，过点E作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
探究： ，理由如下：
如图所示，过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
应用：由平移的性质可得 ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点 在射线 上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ， ，若 ， ，求 的度数；
(2)在 中，将射线 沿射线 平移得 （如图 ）若 ，探究 与 的关系
（用含 的代数式表示）；
(3)在 中，过点 作 的垂线，与 的平分线交于点 ，（如图 ）若 ，探究
与 的关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质
求解
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅
助线是解决问题的关键．
（1）先根据平行线的性质得到 的度数，再根据直角、周角的定义即可求得 的度数；
（2）如图②，过O点作 ，根据平行线的判定和性质可得 、 的数量关系；
（3）由已知推出 ，得到 ，结合角平分线的定义可推出
，根据（2） ，进而推出
．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ；理由如下：
证明：如图②，过O点作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵由（2）知， ，
∴ ，
∴ ．
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