文档内容
第三章 一元一次方程
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．若 是方程 的解，则a的值是（ ）
A． 1 B．1 C．2 D．—
【答案】A
【分析】将x＝1代入原方程即可计算出a的值．
【详解】解：将x＝1代入ax+2x＝1得：
a+2＝1，
解得a＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的相关知识是解题的关键．
2．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本
框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》
中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，
问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走
100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根
据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的
人的速度 ，走路慢的人的速度 ，再根据题意设未知数，列方程即可
【详解】解：令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度
，走路慢的人的速度 ，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得 ，根据题意可列出的方程是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
3．下列方程，以2为解的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把x=2代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是．
【详解】解：A、将x=2代入原方程．左边=2×2+3=7，右边=5，因为左边≠右边，所以x=2不是原方程的解．
B、将x=2代入原方程．左边=2+2=4，右边=6-2=4，因为左边=右边，所以x=2是原方程的解．
C、将x=2代入原方程．左边=5×2-3=7，右边=6×2=12，因为左边≠右边，所以x=2不是原方程的解．
D、将x=2代入原方程．左边=3×（2+2）-1=11，右边=2，因为左边 右边，所以x=2不是原方程的解．
故选：B．
【点睛】解题的关键是根据方程的解的定义．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
4．（2021·江苏盐城·一模）小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，
则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由月历表数字之间的特点可依次排除选项即可．
【详解】解：由A选项可得： ，∴ ，
解得 ，故不符合题意；
由B选项可得： ，∴ ，
解得 ，故不符合题意；
由C选项得 ，∴ ，
解得 ，故不符合题意；
由D选项得 ，∴ ，解得 ，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
5．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，
得到的正确方程是（ ）．
A．π×（ ）2×x＝π×（ ）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4）
C．π×（ ）2×x＝π×（ ）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4）
【答案】A
【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案．
【详解】依题意得：π×（ ）2×x＝π×（ ）2×（x+4）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
6．若关于x的一元一次方程 的解为 ，则关于y的一元一次方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程 中，有 ，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程 的解为 ，∴关于y的一元一次方程 中，有 ，
∴ ；
即方程 的解为 ；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程 是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·山东泰安·期末）已知 是关于x的一元一次方程 的解，则a的值为______．
【答案】
【分析】把 代入方程 ，解关于 的方程即可得．
【详解】把 代入方程 得：
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了已知方程的解求参数的值，熟练掌握一元一次方程的解是解决本题的关键．
8．如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为 ，则可列出方程
___________．
【答案】
【分析】根据题意可知，第一个乘数可以表示为 ，积可以表示为 ，由此列出方程即可．【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
9．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5，b，4．某同学将刻度尺如图
2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
（1）求数轴上点B所对应的数b为 _____；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数为_____．
【答案】 -2 -3或1##1或-3
【分析】（1）由图1和图2对应的线段成比例可求解
（2）设点P所表示的数为a，分类讨论：①当 时，②当 时，根据P到A的距离是到B的
距离的两倍，可得a的值.
【详解】（1）由图1可得 ，由图2可得 ，
∴
∴ ，
故答案为：-2
（2）设点P所表示的数为a
①当 时，PA=2PB，
则 ，
解得：
②当 时，PA=2PB，
则
解得：
∴点P所表示的数为-3或1
故答案为：-3或1
【点睛】本题考查数轴上数的表示，掌握数轴表示数的方法是解题关键10．关于x的一元一次方程 的解是正整数，整数k的值是____________．
【答案】1或-1
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【详解】解：移项合并得： ，
系数化为1得： ，
∵x为正整数，
∴2-k=1或2-k=3，
解得k=1或-1，
故答案为：1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的
值．
11．代数式 与代数式 k+3的值相等时，k的值为_____．
【答案】8．
【分析】根据题意可列出两个代数式相等时的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得： ＝ k+3，
去分母得：4（2k﹣1）＝3k+36，
去括号得：8k﹣4＝3k+36，
移项合并同类项得：5k＝40，
解得：k＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及解法，解题的关键在于解方程时注意去分母时不要漏掉常数项．
12．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整
列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一
次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，解得 ，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．解下列方程：
（1）﹣ x﹣5＝4； （2） ﹣ ＝1；
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】(1)方程移项，合并同类项，将未知数系数化为1即可；
(2)方程去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1即可．
【详解】（1） ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键．
14．（2021·河南许昌·七年级阶段练习）甲､乙两人分别从A､B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿
同一条路线相向匀速行驶．出发后经 两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了 ，相遇后经 乙到达
A地．问甲､乙行驶的速度分别是多少?
【答案】甲行驶速度为 ，乙行驶的速度为【分析】设甲的速度为 ，可求得乙的速度为 ，根据题意得到乙的速度为甲的3倍，列
方程求解即可．
【详解】解：设甲的速度为 ，则乙每小时比甲多行 ，即乙的速度为 ，
由相遇后经1小时乙到达A地，可知乙的速度为甲的3倍，
则有 ，解得 ， ．
答：甲行驶速度为 ，乙行驶的速度为 ．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．
15．（2021·河南鹤壁·七年级期中）某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：一户每月用
水量如果不超过15立方米，按每立方米1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，
其余仍按每立方米1.8元计算．若某户1月份共支付水费38.5元，求该户1月份的用水量．
【答案】20立方米
【分析】先计算15立方米的费用，判断该用户用水量超过15立方米，设该户1月份用水量为 立方米，
则列方程为： ，解方程后可得答案.
【详解】解： （元），又
用水量超过15立方米，
设该户1月份用水量为 立方米，由题意可得：
解之得 ：
答：该户1月份用水量为20立方米
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解决分段收费问题是解题的关键.
16．当m取什么值时，关于x的方程 与方程 的解相同？
【答案】m=9
【分析】先把方程 的解求出,然后将求得的解代入方程 中即可求出m的值.
【详解】解:由方程 ，解得 .
将 代入 ，得 .
解得 .
【点睛】本题主要考查解一元一次方程的应用,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程.17．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室七年级期末）公园门票价格规定如表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 15元 13元 11元
某校七年级（1）（2）两个班共102人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班
都以班为单位购票，则一共应付1422元．问：
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可比两个班都以班为单位购票省多少元钱？
【答案】（1）（1）班有48人，（2）班有54人；（2）省300元钱
【分析】（1）根据题意设（1）班有x人，则（2）班有（102-x）人，列一元一次方程计算即可．
（2）若两个班为一个团体购票则为100张以上每张票的价格为11元计算，再与1422元作比较即可．
【详解】（1）设（1）班有x人，则（2）班有（102-x）人．
15x+13（102-x）=1422
x=48
102-48=54（人）
答：（1）班有48人，（2）班有54人．
（2）102×11=1122（元）
1422-1122=300（元）
答：省300元钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程方案选择的应用题，主要题型特点：可以用不同的方法来完成同一件事
情，最终通过比较得到最优解，通常需要将每种方案按要求计算出结果，或列不等式进行比较即可．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2019·广西防城港·七年级期末）劳作课上，王老师组织七年级5班的学生用硬纸制作圆柱形笔筒．
七年级5班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，每名学生每小时能剪筒身30个或剪筒底90
个．
（1）七年级5班有男生，女生各多少人；
（2）原计划女生负责剪筒身，男生负责剪筒底，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒
底能配套吗？如果不配套，男生应向女生支援多少人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【答案】（1）七年级5班有男生26人，女生29人；（2）不配套，男生应向女生支援4人，才能使每小
时剪出的筒身与筒底配套．【分析】（1）设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，根据男生人数+女生人数=55列出方程，求
解即可；
（2）分别计算出26名男生和29名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，
根据制作筒底的数量=筒身的数量×2列出方程，求解即可．
【详解】解：(1)设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，由题意得：
x+x+3=55，解得x=26，
女生：26+3=29（人）．
答：七年级5班有男生26人，女生29人；
（2）男生剪筒底的数量：26×90=2340（个），
女生剪筒身的数量：29×30=870（个），
∵一个筒身配两个筒底，2340:870≠2:1，
∴原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不配套．
设男生应向女生支援y人，由题意得：
90×（26﹣y）=（29+y）×30×2，解得y=4．
答：男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方
程．
19．某项工作，甲单独做4天完成，乙单独做8天完成，现在甲先做一天，然后和乙共同完成余下的工作，
问完成这项工作共需多少天？
【答案】完成这项工作共需3天.
【分析】合作的天数减1即可确定乙工作的天数，利用总的工作量为1列出方程即可．
【详解】设完成这项工作共需x天，
根据题意得：
解得x=3，
答：完成这项工作共需3天.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求
解.
20．（2020·山东临沂·七年级期末）如图,已知 两地相距6千米,甲骑自行车从 地出发前往 地,同时乙
从 地出发步行前往 地.(1)已知甲的速度为16千米/小时,乙的速度为4千米/小时,求两人出发几小时后甲追上乙；
(2)甲追上乙后,两人都提高了速度,但甲比乙每小时仍然多行12千米,甲到达 地后立即返回,两人在 两
地的中点处相遇,此时离甲追上乙又经过了2小时.求 两地相距多少千米.
【答案】(1)两人出发 小时后甲追上乙；(2) 两地相距30千米.
【分析】(1)设两人出发t小时后甲追上乙，根据题意就有16t﹣4t＝6，解方程即可求解；
(2)可设速度提高了a千米/小时，BC段长度为x千米，两人在B、C两地的中点处相遇，则甲比乙多走的路
程为BC段，于是可得方程2(16+a)﹣2(4+a)＝x，解方程即可得BC段，于是可求A、C两地距离．
【详解】(1)设两人出发t小时后甲追上乙，根据题意得
16t﹣4t＝6，
得t＝ ，
答：两人出发 小时后甲追上乙；
(2)设两个人的速度提高了a千米/小时，BC段长度为x千米，根据题意有
2(16+a)﹣2(4+a)＝x，
得x＝24，
故BC段距离为24千米，
∴AC＝AB+BC＝6+24＝30，
答：A、C两地相距30千米．
【点睛】本题考查的一元一次方程在行程问题中的应用，学会分析等量关系是重点，根据题意列出方程是
关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程
和 为“美好方程”．
(1)请判断方程 与方程 是否互为“美好方程”；(2)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x方程 与 是“美好方程”，求关于y的方程
的解．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（3）先求出 的解为 ，根据“美好方程”的定义，可得方程 的解为：
，然后把 化为 ，可得 ，即可
求解．
（1）
解：是，理由如下：
由 解得 ；
由 解得： ．
方程 与方程 是“美好方程”．
（2）
解：由 解得 ；
由 解得 ．
方程 与方程 是“美好方程”
，
解得 ．
（3）解：由 解得 ；
方程 与方程 是“美好方程”
方程 的解为： ，
又 可化为
，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解
题的关键．
22．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节
能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型号 20 25
乙型号 35 40
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，
决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价
售出了多少只？
【答案】(1)购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只
(2)10只
【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯 只，则可以购进乙种型号的节能灯 只，根据“购
进100只节能灯的进货款恰好为2600元”列方程，解方程即可求解；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是 只，由两种节能灯共获利380元列方程，解方程即可求解．
（1）
解：设该商店购进甲种型号的节能灯 只，则可以购进乙种型号的节能灯 只，
由题意可得： ，解得： ，
（只 ，
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）
解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是 只，
由题意得 ，
解得： ，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程进行求解．
六、解答题（本大题共12分）
23．对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，
得到点 ，称这样的操作为点 的“m速移”点 称为点 的“m速移”点．
(1)点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且 ．
①若点A向右平移n秒的“5速移”点 与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点 与点B向右平移n秒的“1速移”点 重合，求n；
(2)数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点 ，如果C、M、 三点中有一点是
另外两点连线的中点，求点C表示的数；
(3)数轴上E，F两点间的距高为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点 ，点F向
右平移2秒的“y速移”点为点 ，如果 ，请直接用等式表示x，y的数量关系．
【答案】(1)①4；②20
(2)−11，−2或7
(3)y−x＝3
【分析】（1）①根据非负数的性质求出a，b的值，根据新定义列出方程，解方程即可得出答案；
②求出A′，B′表示的数，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，分三种情况分别计算即可；
（3）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，根据E'F'＝3EF列方程求解即可．
(1)
解：∵|a＋5|≥0， ≥0， ，
∴a＋5＝0，b−15＝0，
∴a＝−5，b＝15．①根据题意得：−5＋5n＝15，
∴n＝4；
②点 表示的数为−5＋2n，点 表示的数为15＋n，
根据题意得−5＋2n＝15＋n，
∴n＝20；
(2)
解：设点C表示的数为c，则点 表示的数为c＋6，
若点 是CM的中点，则c＋1＝2（c＋6），解得c＝−11；
若点M是 的中点，则c＋c＋6＝2，解得c＝−2；
若点C是 的中点，则1＋c＋6＝2c，解得c＝7；
综上所述，点C表示的数为−11，−2或7；
(3)
解：设点E表示的数为e，点F表示的数为f，
则点 表示的数为e＋2x，点 表示的数为f＋2y，f−e＝3，
∵E'F'＝3EF，
∴f＋2y−（e＋2x）＝3×3，
∴y−x＝3．
【点睛】本题考查了数轴，非负性的性质，一元一次方程的应用，新定义，体现了分类讨论的数学思想，
根据题意列出方程是解题的关键．
