文档内容
第二十一章 四边形
单 元 备 课
第21单元 本单元所需课时数 13课时
1.了解四边形及多边形的概念，四边形及多边形的顶点、边、内角、外角与
对角线；探索并掌握四边形内角和与外角和及多边形内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系;
3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对
角线互相平分.
4.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四
课 边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是
标 平行四边形.
要 5.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
求 6.探索并证明三角形的中位线定理.
7.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
8.探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线
相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行
四边形是菱形.
9.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
本章我们在平行线、三角形的基础上进一步研究平行四边形;并通过平行
教
四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认
材
识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延;探索并证明平行四边
分
形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，不断发展学生的合情推理
析
和演绎推理能力.
本章先研究四边形及多边形，然后研究平行四边形，在平行四边形的基
础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形.
第21.1节“四边形及多边形”是在学习了三角形的有关概念和性质的基
础上，进一步学习四边形内角和与外角和及多边形内角和与外角和公式.
第21.2节主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理;在平行四边
主
形概念和性质定理的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念;作为性质定理
要
和判定定理的一个应用，探索并证明三角形中位线定理.
内
第21.3节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，它们分别是有一
容
个角是直角和有一组邻边相等的特殊平行四边形.第21.3.1小节和第21.3.2
小节分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理.在矩形和菱形的基础
上，再研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正
方形.第21.3.3小节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理
和判定定理.
教 1.了解四边形及多边形的概念，四边形及多边形的顶点、边、内角、外角与
学 对角线；探索并掌握四边形内角和与外角和及多边形内角和与外角和公式.2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.
3.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并
能运用它们进行证明和计算.
4.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.
5.探索并证明三角形中位线定理.
目
6.通过经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探索
标
过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理
能力.
7.通过平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理以及相关问
题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力，
8.通过分析平行四边形与矩形、菱形、正方形概念之间的联系与区别，使学
生进一步认识一般与特殊的关系．
课 21.1 四边形及多边形 2课时
时
21.2 平行四边形 5课时
分
配 21.3 特殊的平行四边形 6课时
1.关于平行四边形与特殊平行四边形概念之间属加种差、内涵与外延之
教
间的关系.
与
学 2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.
建
3.注意帮助学生梳理知识内容.
议
4.关注信息技术的应用.21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
课题 四边形及其内角和 课型 新授课
教学内容 教材第46-49页的内容
1.了解四边形的有关概念；
2.探索并证明四边形的内角和及外角和；
教学目标
3.能运用四边形的内角和及外角和解决问题；
4.理解四边形不具有稳定性.
教学重点：四边形的有关概念.
教学重难
教学难点：探索并证明四边形的内角和及外角和.
点
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课
以生活中的实物导
1. 展示图片： 播放包含多种四边形实物图片（如：黑板表
入，感受四边形的
面、窗户框、伸缩门、地砖、书本封面、足球门框等）。
共性.
2. 提问引导：
“这些物体中，都有我们熟悉的一种图形，它是什么？”
（引导学生说出“四边形”或“长方形、正方形、平行四边
形”等具体名称）
“那么，究竟什么样的图形叫作四边形呢？它和我们已经
学过的三角形有什么不同？”
3. 揭示课题： 今天我们就来系统地学习《四边形及其内角
和》。
2.发现探究，学习新知
让学生了解四边形
【问题1】四边形的定义与基本元素
的定义及相关概念.
1.定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次
通过数形结合，带
相接组成的图形叫作四边形。
领学生理解相关概
念.
· 强调关键词：“不在同一直线上”（排除共线情况）、“四条线段”、“首尾顺次相接”（封闭图形）。
· 对比三角形定义，强调边数变化。
（2）边：组成四边形的各条线段。
（3）顶点：每相邻两条线段的公共端点。
· 四边形有4个顶点。通常用大写字母A，B，C，D按顺
序表示顶点，四边形可记作“四边形ABCD”。
（4）对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段。
· 如线段AC，BD。一个四边形共有2条对角线。
（5）内角（角）：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的
内角，简称四边形的角。
· 如∠A，∠B，∠C，∠D。有4个内角。
（6）外角：（结合图形讲解）四边形的角的一边与另一边
的延长线组成的角叫作四边形的外角。
让学生了解凸多边
· 每个顶点处有 2个外角（它们是对顶角，相等）。通
形的概念.
常我们研究在每个顶点处取一个外角，这样四边形有 4个
外角。
追问:你能说出下图中两个四边形的异同点吗?
动手作图，加深学
生对四边形的概念
教师引导学生分析得出，在图（1）中，画出四边形ABCD的 及相关概念的了解.
任何一条边（例如CD)所在的直线，整个四边形都在这条直
线的同一侧；在图(2）中，画出边CD所在直线，整个四边
形不都在这条直线的同一侧. 通过四种不同的方
法探究四边形的内
教师介绍:像图（1）这样的多边形称为凸四边形.
角和，引导学生总
· 活动： 学生在纸上画一个任意四边形 ABCD，标出它的 结四边形的内角和
边、顶点、对角线、内角、外角（任选一个顶点画出一个外 等于360°，培养学
角）。 会的归纳能力.
【问题 2】我们知道，三角形的内角和等于 180°，正方
形、长方形的内角和都等于360°，那么，任意画一个四边
形，它的内角和为多少?你是怎样得到的?你能找到几种方
法?方法1:从一个顶点出发，如图 1，连接AC，四边形的内角
和为:2×180°=360°.
方法2:从边上一个点出发，如图2，在BC上任取一点E，连
接AE，DE，则四边形的内角和为：3×180°-180°=360°.
D
D
A
A
B
B
E
C C
图1 图2
方法3:从四边形内一个点出发，如图 3,在四边形内任取一
点 E ， 连 接 AE ， BE ， CE ， DE, 则 四 边 形 的 内 角 和
为:4×180°-360°=360°.
方法4:从四边形外一个点出发，如图 4,在四边形外任取一
点E，连接AE，BE，CE，DE,则四边形内角和为: 3×180°-
180°=360°.
D D 让学生结合四边形
A A 的内角和，探究四
E E 边形的外角和，提
高学生的学习能力.
B
B
C
图3 图4 C
师生行为:让学生先独立思考再分组讨论，共同归纳总结,对
于每一种方法，都请一名学生代表上台讲解思路,教师适当
引导.
结论：四边形的内角和等于360°。
符号表示： ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
通过动手操作，与
【问题3】四边形的外角和
三角形的稳定性做
在四边形每个顶点处各取一个外角（如∠1， ∠2， ∠3， 类比，理解四边形
∠4），这四个外角的和是多少度？ 具有不稳定性，并
与现实生活结合，
体会其使用价值.
引导学生观察：一个顶点处的内角和外角有什么关系？（互
为邻补角，和为180°）
四个顶点处，所有内角与外角（各一个）的总和是：4 ×
180° = 720°。
因为内角和为 360°，所以外角和 = 720° - 360° =360°。
结论：四边形的外角和等于360°。
【问题4】实验探究，理解不稳定性
1. 实验对比
通过例题帮助学生
巩固、应用新知，
教师出示用木条和钉子钉好的三角形框架和四边形框架。
熟悉本课重点，包
请学生上台分别用手拉动两个框架，观察形状是否改变。
括四边形的概念、
边、角对角线、内
现象： 三角形框架纹丝不动，形状和大小固定。四边形框
角和、外角和等.
架 轻易变形，形状发生改变。
结论： 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
2. 原理分析
解释：三角形三边长度确定后，形状和大小就唯一确定了。
而四边形四边长度确定后，其形状并不唯一，可以改变相邻
边的夹角，从而产生多种形状。
3. 应用举例
不稳定性的缺点： 某些需要固定形状的结构（如桥梁、塔
吊）要尽量避免单独使用四边形结构，常通过添加对角线
（转化为三角形）来增加稳定性。
不稳定性的优点： 利用这种可变形性为人类服务。
展示图片： 伸缩门、折叠椅、升降机、伸缩尺、汽车防护
链等。
讨论： 这些物品是如何利用四边形不稳定性的？
3.学以致用，应用新知
考点1 证明外角和
【例1】如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些
外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少?
通过随堂练习，进
一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
果.
解：∵∠DAB 与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，
∠BCD+∠3=180°，
∠CDA+∠4=180°，
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°，而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
考点2 四边形内角和的应用
【例 2】如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°
，设∠B=∠C=α，则α=（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠ADE
是四边形ABCD的一个外角．若∠B=75°，则∠ADE的度数
为（ ）
A．125° B．105° C．90° D．75°
【答案】D
通过小结，帮助学
（2）在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角之 生梳理本节课所学
比为1∶2∶3∶4，那么∠C= ． 内容，强化记忆，
课后练习巩固，让
【答案】72°
所学知识得以运用.
（3）学校有一块四边形试验田，分割成A，B两块，由图
可知，x−y= °．
【答案】3
（4）已知一个四边形，它的外角和的度数是 ．
【答案】360°
（5）如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标
出的测量结果得所缺损的∠A的度数为 ．【答案】75°
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答
以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.四边形是怎么定义的？
3.四边形的内角和是多少度？四边形的外角和是多少度？
6.布置作业
1.教材P49练习第1-3题；
2.教材P52习题21.1第1,5,8题.
板书设计
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
1.四边形： 例题
2.四边形的相关概念：
3. 四边形的内角和：
4.四边形的外角和： 练习教学反思
本节课主要是概念性学习，在三角形学习的基础上进一
步探究多边形，对多边形的概念、角的学习都是建立在三角
形的基础上的．在教学设计时从学生的角度出发，设计出合
理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定
因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度．21.1.2 多边形及其内角和
课题 多边形及其内角和 课型 新授课
教学内容 教材第49-52页的内容
1.了解多边形的有关概念；
2.探索并证明多边形内角和公式；
教学目标
3.能运用多边形内角和公式及外角和解决问题.
教学重点：多边形的有关概念；多边形外角和公式.
教学重难
教学难点：运用多边形内角和公式及外角和解决问题.
点
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课
我们学习过三角形和四边形的内角和外角，三角形的内角和
等于180°，四边形的内角和等于 360°，那么关于多边形
的内角、外角又有什么样的结论呢？这节课我们就来探讨关
让学生类比三角形
于多边形及其内角和的问题.
及四边形的定义给
多边形下定义，感
2.发现探究，学习新知
悟类比方法的重要
【问题1】你能从图1中想象出几个由一些线段围成的图形
作用.
吗？类比三角形的定义,你能给多边形下定义吗?
图1
学生边看、边议，教师引导学生回忆三角形及四边形的定
义，并仿照三角形及四边形的定义给多边形下定义：在平面
内，由n（n≥3）条线段A A ,A A ,…,A A ,A A 首尾顺次相
1 2 2 3 n-1 n n 1
接，组成的图形叫作多边形.
让学生了解多边形的概念，并通过类
比的方法，了解多
边形的内角、外角.
教师举例说明多边形定义中的“在平面内”的意义.
追问：多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边
形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个
多边形就叫做n边形，你能说出图2是几边形吗？
图2 图3 让学生了解对角线
的概念，通过画出
教师介绍多边形的分类，学生回答图2是五边形.
从一个顶点出发的
追问:在四边形中，我们专门研究了它的内角、外角，类似
六边形的对角线，
地，你能结合图2和图3指出这个五边形的内角、外角吗?
为研究n边形的内
角和作铺垫.
学生答：图2中的∠A，∠B,∠C,∠D,∠E是五边形ABCDE的
5个内角，图3中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.
教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内
角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的
外角.
追问:连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的
对角线.如图4，从五边形ABCDE的一个顶点出发可以得到几
条对角线?过六边形ABCDEF的项点C画出所有的对角线，此
时共有几条对角线？
让学生类比正方形
学习正多边形，提
高学生的学习能力.
图4
教师介绍对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线
段，叫作多边形的对角线.
学生通过画图回答问题.
追问4：正方形的边、角有什么特点？你能给合正多边形下
定义吗？图5中的各个图形分别读作什么？
学生回答，并给正多边形下定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形.
（1）从学生热悉
教师与学生共同分析正多边形的两个条件，并通过反例（如
的、已知的特例出
一般的长方形各个内角都相等，但它不是正方形，一般的菱
发，回顾四边形和
形各边都相等，也不是正方形），说明“各个角都相等、各
三角形之间的联
条边都相等”两个条件缺一不可；
系，为最
学生指出图 5中的图形分别是正三角形、正方形、正五边 一般问题作铺垫；
形、正六边形. (2)通过连接多边形
的对角线，将多边
形分割成多个三角
形，得出四边形内
角等于两个三角形
内角和之和，这个
图5 环节渗透了将复杂
图形化为简单主的
【问题2】我们知道，三角形的内角和等于 180°，四边形
基本单元的化归思
的内角和都等于360°，那么，任意一个多边形的内角和是
想.
否等于360°呢?能证明你的结论吗?
教师引导学生分析问题解决的思路---回顾如何利用三角形
的内角和求出四边形的内角和.只需连接一条对角线，即可
将一个四边形分割为两个三角形(图1). 将研究方法进行迁
移，明确边角、从
一个顶点作出的对
角线条数、分割的
三角形数、五边形
内角和之间的关
系，为进一步探究
图1 图2 图3
六边形内角和奠定
追问1:类比前面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？ 基础.
学生先独立思考，再分组讨论，然后代表汇报，学生类比四
让学生进一步体会
边形内角和的研究过程，得出：从五边形的一个顶点出发可
将六边形分割成几
以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形（如图2）进
个三角形的化归过
而得出五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.
程，明确相关因素
教师进一步启发学生从顶真点或边两个角度解释(从顶点的 (边数对角线条教、
角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少 三角形数）对六边
了两个三角形;从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不 形内角和的影响，
能构成三角形，所以少了两个三角形），进而可以得出五边 为从具体的多边形
形内角和为(5-2)×180°=540°. 抽象到一般的n边
形的内角和的研究
追问2:如图3，从六边形的一个顶点出发，可以作 条
莫定基础.
对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角
和等于180°× .
设计意图:让学生体
学生类比四边形、五边形内角和的研究过程回答追问2. 会从具体到抽象的
研究问题的方法，
【问题3】你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究
感悟化归思想的作
过程获得启发,发现多边形的内角和与边数的关系吗?能证明
用.
你发现的结论吗?
学 生 独 立 思 考 后 ， 回 答 出 n 边 形 的 内 角 和 等 于
（n-2)×180°，然后师生共同分析证明思路.证明过程如下:
如图4，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角
线，它们将n边形分为（n-2)个三角形，这（n-2)个三角形
的内角和就是 n 边形的内角和，所以 n 边形的内角和等于
（n-2)×180°.
通过填写表格，回
顾n边形内角和的
探索思路.
图4 图5
追问:通过前面的探究，填写下面表格:
边数 从某顶点出发的对角线数 三角形数 内角和 探究六边形外角
和，根据外角与内
4
角的关系，由六边
5 形的内角和推外角
和，进而研究n边
6
形的外角和，实现
…… 从特殊到一般的转
化.
n
师生共同填写表格，得出规律:多边形的边数增加 1，内角
和就增加180°.
【问题4】如图5，在六边形的每个顶点处各取一个外角，
这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多
少？
教师引导学生从多边形每个外角与其相邻内角的关系入手开
始探究，进而由内角和推出外角和.求解过程如下： 教师应强调多边形
的外角和恒等于
六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于 180°.
360°，与边数的多
因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等
少没有关系.
于6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于 通过例题帮助学生
总和减去内角和，即外角和等于 巩固、应用新知，
熟悉本课重点，包
6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.
括多边形的内角和
追问：如果将六边形换为n边形（n≥3），可以得到同样结 与多边形的外角和.
果吗？
引导学生按照六边形外角和的方法自助探究 n边形的外角
和.n边形的外角和是n个平角减去多边形的内角和，即
n×180°-(n-2)×180°=360°.
通过随堂练习，进
教师给出结论：多边形的外角和等于360°.
一步巩固课堂所学
3.学以致用，应用新知 内容，检测学习效考点1 多边形的内角和
【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角
有什么关系？
答案：互补
考点2 多边形的外角和
【例2】一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边
形是几边形？
果.
答案：六边形
4.随堂训练，巩固新知
【教材变式1】填空:
（1）十边形的内角和为 .
（2）已知一个多边形的内角和为1080º，则它的边数为
.
通过小结，帮助学
答案：（1）1440 （2）8 生梳理本节课所学
内容，强化记忆，
【教材变式2】一个多边形截去一个角后，形成新多边形的
课后练习巩固，让
内角和为2520°，则原多边形的边数为_____________.
所学知识得以运用.
答案：15，16或17.
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答
以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.n边形的内角和和外角和分别是多少？
6.布置作业
1.教材P52练习第1-2题；
2.教材P52习题第2，3,4,6,7,9题.
板书设计
21.1 四边形及多边形及其内角和
21.1.2 多边形及其内角和
1.多边形及相关概念
2.n边形的内角和：（n-2)×180°.
3.n边形的外角和：360°.
例题 练习教学反思
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再
探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究
先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学
习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在
“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，
在“探究”中创新．充分体现学生学习的自主性：规律让学
生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，
问题让学生自主解决．
21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第 1 课时 平行四边形的性质课题 平行四边形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第55-57页的内容
1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质．
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性
教学目标
质．
3.初步体会几何研究的一般思路与方法．
教学重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质．
教学重难
教学难点：平行四边形性质的运用．
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
通过图片展示，让
前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索
学生真切感受生活
和证明几何图形性质的方法，从本节开始，我们继续研究生
中存在大量平行四
活中的常见图形．
边形的原型，进而
【问题1】观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形 从实际背景中抽象
象？ 出平行四边形，让
学生经历将实物抽
象为图形的过程.
师生活动:学生积极发言，教师用电脑演示从实物中抽象出
平行四边形的过程.
【问题2】你知道什么样的图形叫作平行四边形吗？它有哪
给出定义，强调定
些性质呢？今天我们共同来研究这个问题吧！
义的作用.
师生活动:教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概
念:两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.说明定义的
两方面作用:既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形
的依据.教师画图示范，结合图形介绍平行四边形的符号表
示及对边、对角、对角线等元素.
对 图 形 性 质 的 研
2.概括证明，探究性质 究，重在解决研究
什么和怎么研究的
【问题3】回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路
问题，引导学生通
是什么?
过类比全等三角形
确定平行四边形性
师生活动:学生可能难以回答，此时教师引导学生回顾全等
质的研究目标和研
三角形的学习过程，得出研究的一般过程:先给出定义，再
究思路，
研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究，其实就是对
边、角、对角线等基本要素的研究.【问题4】对于平行四边形，从定义出发，除了“两组对边
分别平行”外，你能得出它的边、角有什么性质?
师生活动:教师出示投影，说明活动步骤，学生以小组为活
动单位，根据活动步骤操作，教师指导.
(1)根据定义画一个平行四边形ABCD;
(2)度量对边 AB与CD的长，BC与DA的长，可得什么结
论?
(3)度量对角∠A与∠C，∠B与∠D的大小，可得什么结论?
教师追问1：观察并思考，平行四边形的对边之间、对角之
间分别有什么关系?由此你能得到什么结论?
猜想:(1)边:对边平行且相等.(2)角:对角相等，邻角互补. 引 导 学 生 证 明 猜
想，体会证明思路
教师追问2:你能证明这些结论吗?
的分析方法和把四
边形问题转化为三
师生活动:一般地，学生会先考虑分别证明这两个结论，利
角形问题的基本想
用平行线的性质证明对角相等，通过添加辅助线，利用全等
法.
证明对边相等.证后会发现用全等可以同时证明这两个结论.
让学生领悟，证明线段相等(或角相等）通常采用证明三角
形全等的方法.而图形中没有三角形，只有四边形，我们需
添加辅助线，构造全等三角形，将四边形问题转化为三角形
问题来解决，突破难点，进而总结提炼出化四边形问题为三
角形问题的基本思路.
已知:如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD，AD=CB.
证明:如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA(ASA).
∴AB=CD，AD=CB，∠B=∠D.
【问题5】已知在 ABCD中，AC，BD
▱
相交于点O，图中有哪些三角形全
等？哪些线段是相等的？请同学们用
多种方法加以验证．
师生活动：学生分组讨论，大胆讲出自己的想法，并交流不
学生自己动手写出
同的验证思路．教师点拨思路：
已 知 、 求 证 、 证
图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD， 明．学生完成后，
△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA.有如下线段 再出示规范的解题
相等：OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝DC.证明中应用到 过程，进行比较纠
“AAS”“ASA”．
师生总结：平行四边形的对角线互相平分．师生共同写出平行四边形对角线性质的证明： 错，这样可以培养
学生的逻辑推理能
已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
▱
力．
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO.
∴△AOD≌△COB(ASA).∴OA＝OC，OB＝OD.
师生活动：学生板书证明过程，教师给予指正． 应用迁移、巩固提
高，培养学生解决
3.学以致用，应用新知
问题的能力.
考点1 平行四边形的概念
【例 1】如图，在 ▱ABCD 中，EF∥AB，
GH∥AD，EF，GH 相交于点 O，图中共
有多少个平行四边形?
答案:9个.
考点2 平行四边形的性质
【例2】 (1)如图1，在 ▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，
则∠ADB的度数是 .
图1 图2
(2)如图 2，在 ▱ABCD 中，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，
AD=6，BE=2，则 ▱ABCD的周长是 .
答案：（1）32° （2）20
【例3】 如图，在 ▱ABCD中，AB
＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，
CD，AC，OA的长，以及 ▱ABCD的
面积．
教师引导分析:先用平行四边形的性质求边长，再用勾股定 通过随堂练习，进
理求平行四边形BC边上的高，最后用公式计算 ▱ABCD的 一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
面积.
果.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10.
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．
根据勾股定理，得AC＝＝＝6.
又OA＝OC，∴OA＝AC＝3，S ＝BC·AC＝8×6＝48.
▱ABCD师生活动：学生独立书写证明过程，老师进行讲解，特别是
证明的步骤．
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，
▱
ABCD的对角线AC，BD相交
于点O，则下列说法一定正确的是( )
A.AO＝OD B．AO⊥OD
C.AO＝OC D．AO⊥AB
答案：C
（2）如图， ▱ABCD 的对角线交于点 O，
且 AB=5，△OCD 的周长为 23，则 ▱ABCD
的两条对角线长的和是 .
答案：36
（3）如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC
▱
面积相等的三角形(不包括自身)有
个.
答案：3
（4）已知在 ▱ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数
是 .
答案：60°
（5）在 ▱ABCD中，若AB＝3 cm，AD＝4 cm，则 ▱ABCD
的周长为 cm.
答案：14
（6）如图，在 ▱ABCD中，BE平分
∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交 通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
BC于F.求证：BE∥DF.
内容，体会数学思
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 想方法.课后练习巩
固，让所学知识得
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC.
以运用.
∵BE平分∠ABC，∴∠2= ∠ABC.
又DF平分∠ADC，∴∠3= ∠ADC，∴∠2=∠3.
∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3，∴BE∥DF.
5.课堂小结，自我完善
1.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的
对角相等；平行四边形的对角线互相平分.2.解题方法:平行四边形的对角线是我们常作的辅助线，它
构造出两个全等的三角形，从而将四边形问题转化为熟悉的
三角形问题.体现了由未知转化为已知，由繁化简的数学思
想.
3.研究一个几何图形的一般思路是:先给出定义，再研究性
质和判定.下一步我们还要继续研究平行四边形的性质与判
定.
6.布置作业
教材P57练习第1-3题；
教材P65习题21.2第1，3，4，10,12题.
板书设计
平行四边形的性质
1.平行四边形的定义：
2.平行四边形的性质：
例题 练习
教学反思
学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并
掌握平行四边形的性质，从中体会亲自动手实践学到知识的
乐趣，获得成功的体验．注意联系三角形全等的知识，通过
类比确定平行四边形的研究思路，培养学生良好的学习习
惯.21.2.1 平行四边形的性质
第 2 课时 平行四边形性质的应用
课题 平行四边形性质的应用 课型 新授课
教学内容 教材第58-59页的内容
1.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简
单的证明题．
教学目标
2.理解平行线之间的距离并能够运用.
3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
教学重点：平行四边形对角线性质的探究与应用．
教学重难
教学难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
点
教 学 过 程 备 注
复习旧知识，为学
1.回顾旧知，引入新课
习新知识及形成完
复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形? 整的知识结构奠定
基础.训练学生的发
(2)前面我们学习过平行四边形的什么性质?
散思维，引导学生
快速进入积极思考
的学习状态.
①具有一般四边形的性质(内角和是360°).
②角:平行四边形的对角相等，邻角互补.
边:平行四边形的对边平行且相等.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
师生活动:教师提问，学生抢答.
对于几何计算或证
2.实践探究，交流新知
明，分析思路和方
例1 已知：如图，在 ABCD中，∠A= 40°，AB = 8cm， 法是根本，通过不
▱
BC = 10cm。求：（1）∠C和∠B的度数；（2）CD和AD的 断鼓励学生思考、
长度。 交流，帮助学生学
会分析、严格地使
用几何语言书写解题步骤，培养逻辑
推理能力．
解： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形，
应用性质进行推
∴∠C = ∠A = 40°（平行四边形对角相等）。
理，体会得到证明
∵AD∥BC， 思路的方法.
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B = 180° - ∠A = 140°。
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，
结合例题的进一步
∴CD = AB = 8cm， AD = BC = 10cm（平行四边形对边相 追问，自然引出平
等）。 行 线 间 距 离 的 概
念，点到即可，不
例2 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，
▱ 必深究.
BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝
CF. 自主探究，让学生
感 受 到 成 功 的 喜
师生活动:师生交流，要证明线段相
悦，激发学生的学
等，我们可以利用全等三角形的性质，
习兴趣．
而全等的条件可由平行四边形的性质得
到.在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行
点评.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝
CB.
又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS).
∴AE＝CF.
教师追问：DE=BF 吗?如图，直线a//b，
A，C为直线a上任意两点，点A到直线b
的距离和点C到直线b的距离相等吗?为什
么?
师生活动:结合前面的分析，可以得出如果两条直线平行，
那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教
师适时介绍两条平行线间距离的概念.
师生总结性质：两条平行线间的距离处处相等．
3.学以致用，应用新知
考点1 平行四边形性质的运用
【例2】如图， ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，EF 过
▱
点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证OE=OF.
证明:在 ▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.又OA=OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
考点2 平行线之间的距离
【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.
求证∠B=∠C.
通过随堂练习，加
深学生对所学知识
的理解运用，在问
题的选择上以基础
为主，灵活运用所
证明:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A，D分别作
学知识解决问题，
AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
巩固新知．
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE=DF.
又AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴∠B=∠C.
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，在 ABCD中，∠ODA＝
▱
90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则
AD的长为 cm.
答案：4
（2）如图， ▱ABCD 的对角线 AC，BD
相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，且
AF=CE.
求证:BE=DF.
利用框架图回顾本
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB. 节课的知识，联系
旧知，更容易使学
又∵AF=CE，∴OE=OF.
生形成知识网络.
{
OB=OD,
在△BEO和△DFO中， ∠BOE=∠DOF，
OE=OF,
∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF.
师生活动：学生当堂检测，教师批阅、点评、讲解．
（3）如图，在 ▱ABCD 中，点 E 在边 AD 上，连接 AC，
BE，EC.求证:S =S .
△ABC △EBC证明:分别过点A，E作AF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
又由作法知 AF 和 EG 的长分别是 AD 上的点 A，E 到直线
BC的距离，∴AF=EG，∴S =S .
△ABC △EBC
5.课堂小结，自我完善
师生共同总结，整理平行四边形的性质.
6.布置作业
教材P59练习第1-3题；
教材P66习题21.2第9，16题.
板书设计
平行四边形性质的应用
1.平行四边形的性质总结：
2.平行线之间的距离：
例题 练习
教学反思
本节课从复习旧知着手，顺利由平行四边形边和角的性质过
渡到平行四边形对角线的性质，并合理地提出猜想，然后通
过学生合作、讨论、猜想、验证，最终得出结论.在教学过
程中可以更多地加入动手操作的成分.21.2.2 平行四边形的判定
第 1 课时 平行四边形的判定（1）
课题 平行四边形的判定（1） 课型 新授课
教学内容 教材第59-60页的内容
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究
图形判定的一般思路.
2.掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的
教学目标
方法，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
3.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发
展学生的逻辑思维能力和推理论证能力．
教学重点：平行四边形的判定方法的探究、运用．
教学重难
教学难点：平行四边形的判定定理的灵活应用．
点
教 学 过 程 备 注
1.复习反思，引入新课
复习回顾(多媒体展示)
【问题1】通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一
通过对已有知识与
些了解，请说说你都知道了哪些?
经验的回顾反思，
师生活动:学生回答学习了平行四边形的概念“两组对边分 引导学生提出研究
别平行的四边形叫做平行四边形”，还有平行四边形的性 平行四边形判定问
质:对边相等，对角相等，对角线互相平分. 题.
教师追问1：根据以往几何学习的经验，接下来我们应该研
究什么呢?
师生活动:学生回答研究平行四边形的判定.
教师追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四
边形.除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方
法呢?
2.经验类比，提出猜想
【问题2】回忆我们的学习经历，如勾股定理的逆定理、等
从对命题的结构分
腰三角形的判定定理、平行线的判定等，我们有过类似的经 析中提出猜想;在对
验吗? 原命题正确，而逆师生活动:在教师的引导下，回忆相关的知识，通过与相应 命题不一定正确的
图形性质定理的对比，得到启发：可以尝试从性质定理的逆 反思中体会证明的
命题出发研究图形的判定. 必要性.
教师追问1:对于平行四边形，我们能否也可以通过研究性质
定理的逆命题获得判定平行四边形的方法呢?
师生活动:教师顺势给出下表，待学生补充完善后形成猜
想，并填入表格.
平行四边形的性质 平行四边形的判定
平行四边形的对边相等 猜想1：
平行四边形的对角相等 猜想2：
平行四边形的对角线互相平分 猜想3：
教师追问2:原命题正确，逆命题一定正确吗?
师生活动:学生回答不一定.教师适时提出得到的猜想是否正
确必须经过逻辑推理才能确定.
帮助学生体会转化
3.理性思考，证明定理
思想，即连接对角
【问题3】如何证明两组对边分别相等的四边形是平行四边 线将平行四边形问
形？ 题转化成三角形问
题．根据学生的认
师生活动:师生共同画图，写出已知、求证、证明.
知水平，学生可能
已 知 : 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， 会在推理论证时遇
AB=CD，AD=BC. 到困难，教师应适
当加以引导分析并
求证:四边形ABCD是平行四边形.
规范书写推理论证
的过程．
证明:连接AC，如图.
∵AB=CD，AD=BC，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴∠2=∠1，∠3=∠4，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
总结:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【问题4】如何证明两组对角分别相等的四边形是平行四边
形？
师生活动:师生共同画图，探讨思路.
如图，在四边形 ABCD 中，如果∠A=∠C，
∠B=∠D，那么四边形 ABCD一定是平行四
边形吗?说说你的理由. 引导学生从定义出
发，证明逆命题为
解：四边形 ABCD 一定是平行四边形.理由
真，理解平行四边
如下:
形的性质（平行四
边形的对角线互相
∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
平分)和判定（对角∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°， 线互相平分的四边
形是平行四边形）
∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
都是从定义出发经
【问题 5】如何证明对角线互相平分的四边形是平行四边 过推理得到的真命
题.
形？
师生活动:教师引导学生画出图形，写出已知、求证.
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且
OA=OC，OB=OD.求证:四边形 ABCD 是平
行四边形.
教师追问:要证明 AB//DC 以及 AD//BC，根据平行线的判
定，需要利用角的关系进行证明，你能得到相应的角的关系
吗?
师生活动:学生回答可利用三角形全等证明内错角相等，从
而得到两条直线平行.教师及时强调化四边形为三角形的思
想.在此基础上师生共同完成证明过程.
小结:通过推理论证的真命题可以成为定理.我们把上述三个
结论称为平行四边形的判定定理.加上平行四边形的定义，
我们一共有四种判定平行四边形的方法.
4.学以致用，应用新知
考点1 利用两组对边分别相等判定四边形是平行四边形
应用迁移、巩固提
【例1】已知四边形的四条边长分别是 a，b，c，d，其中 高，培养学生解决
问题的能力.
a，b为对边，并且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边
形是 ( )
A.任意四边形 B.平行四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
答案：B
考点2利用两组对角分别相等判定四边形是平行四边形
【例 2】如图，AE，CF 分别是 ▱ABCD
的内角∠DAB，∠BCD 的平分线.求证:
四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD.
1 1
又∵∠1=
2
∠DAB，∠2=
2
∠BCD，∴∠1=∠2.
通过随堂练习，进
一步巩固课堂所学
∵AD∥BC，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∴∠3=∠4，
内容，检测学习效
果.
∴∠5=∠6，∴四边形AECF是平行四边形.
考点3利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形【例3】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是
▱
AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形
BFDE是平行四边形．
思路点拨：根据平行四边形的性质可以得
出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得
出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是
平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
又∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形．
5.随堂训练，巩固新知
（1）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD
是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
答案：D
（2）如图，四边形ABCD的对角线相交于点
O，若AB∥CD，请添加一个条件 (写
一个即可)，使四边形ABCD为平行四边形．
答案：AD∥BC（答案不唯一）
（3）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分
别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD.
鼓励学生畅所欲
∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形．
言，总结本节课的
（4）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，
收获和体会，自主
OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求
建构知识体系，锻
证：四边形OPMN是平行四边形．
炼学生的口头表达
证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝ 能力，进一步加深
5， 对所学知识的理解
和记忆．
∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25，
∴OM2＋ON2＝MN2.∴△MON是直角三角形，∠MON＝90°.
∴∠PMO＝∠MON＝90°.
在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x，
由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－
3)2，解得x＝8.∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3.
∴OP＝MN，MP＝ON.∴四边形OPMN是平行四边形．
6.课堂小结，自我完善
（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?这些方
法是从什么角度去考虑的?
（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方
法的?这样的探索过程对你有什么启发?
7.布置作业
教材P60练习第1，2，3题.
板书设计
平行四边形的判定（1）
1．平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线相互平分的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的判定定理(1)的应用
例题 练习
教学反思
复习平行四边形的定义和性质，为引入判定做好铺垫，
引导学生发现性质与判定的关系.本节课中判定的基本依据
是平行四边形的定义.同时利用情景中的探究活动激发学生
的思维.在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对
比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局
限在某一判定方法上．21.2.2 平行四边形的判定
第 2 课时 平行四边形的判定（2）
课题 平行四边形的判定（2） 课型 新授课
教学内容 教材第61-62页的内容
1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法．
2.熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题．
教学目标
3.经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；培养
合情推理能力和严谨的逻辑表达能力，体会数学的应用价值.
教学重点：平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件选择合
教学重难
适的判定方法．
点
教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
教 学 过 程 备 注
1.复习反思，情境引入 温故知新，为突破
本节难点做准备．
【复习回顾】上节课我们学习的平行四边
形的判定方法有哪些?参照右图，你能用 利用操作探究引入
符号表示吗? 新课，使学生经历
从具体问题中抽象
【情境引入】 取两根等长的木条 AB，
出 数 学 问 题 的 过
CD，将它们平行放置，再用两根木条
程，激发学生强烈
BC，AD 加固，得到的四边形 ABCD 是平
的 好 奇 心 和 求 知
行四边形吗？
欲．
由此提出猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形．
2.理性思考，证明定理 注意给予学生充足
的时间进行探究、
【问题】怎样证明上面的猜想？
发现；鼓励学生写
师生活动:教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法. 出“已知”和“求
证”，并思考证明
已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
思路、书写过程，
求证:四边形ABCD是平行四边形. 提高学生解题的规
范性．证明:如图，连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA.
又AB=CD，AC=CA，
利用多种证明方法
∴△BAC≌△DCA，∴BC=DA， 训练学生的发散思
维，使学生体会解
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形
题方法，连接对角
是平行四边形).
线将四边形化为三
角形，然后用证明
教师启发引导:这道题还可以这样证明.
三角形全等的方法
证明:如图，连接AC. 解决四边形问题．
∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA.
又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA，
∴∠BCA=∠DAC，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).
师生活动：教师引导学生进行方法总结.
思考:我们进行证明时都用到哪些辅助线?证明的过程都用到
什么方法呢?
符号语言:在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB=CD， 通过例题，帮助学
生掌握平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形.
的判定方法，并会
综合运用平行四边
教师追问:一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行
形的判定和性质解
四边形吗?
决问题.
师生活动：教师引导学生举出下面的反例即
可，画出图形，如图，AB=CD，AD∥BC.
3.学以致用，应用新知
考点1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形
【例1】如图，在 ABCD中，E，F分
▱
别是AB，CD的中点．求证：DE
BF．
思路点拨：根据E，F分别是AB，CD
的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于
DF.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD.
又∵EB＝AB，FD＝CD，∴EB FD.
∴四边形EBFD是平行四边形．
∴DE BF．【方法总结】 判定平行四边形的基本思路：
(1)若已知一组对边平行，可以证这组对边相等或另一组对
边平行；
(2)若已知一组对边相等，可以证这组对边平行或另一组对
边相等；
(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；
(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．
考点2平行四边形的性质与判定的综合应用
通过随堂训练，及
【例 2】如图，在 ▱ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的 时获知学生对所学
点，且AE=CF，AF与BE交于点G，DF与CE交于点H， 知识的掌握情况，
明确哪些学生需要
连接EF，GH，则EF与GH是否互相平分?为什么?
在课后加强辅导，
解:EF与GH互相平分.理由如下: 达到全面提高的目
的．
在 ▱ABCD中，∵AD BC，AE=CF，
∴AE CF，∴DE BF，
∴四边形AFCE，四边形BEDF都是平行四边形(一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形)，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EGFH是平行四边形(平行四边形的定义)，
∴EF与GH互相平分.
4.随堂训练，巩固新知
（1）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四
边形的是 ( )
A.AB∥CD，AD=BC B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=CD，AD=BC D.AB=AD，CB=CD
答案：C
（2）如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，
还需要补充条件( )
A.AB＝DC B.∠1＝∠2
C.AB＝AD D.AD＝BC
答案：D
（3）如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，
DE∥AB交BC于点E.若AD＝5 cm，
BC＝12 cm，则CD的长是
cm．答案：7
∴四边形ABCD是平行四边形．
（5）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O
是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，
BD＝6.
①求证：四边形ABCD是平行四边
形；
②若AC⊥BD，求 ▱ABCD的面积．
解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
又∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB.∴OD＝OB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵AC⊥BD，∴S ＝S ＋S ＝
▱ABCD △ABD △BCD
BD·OA＋BD·OC＝AC·BD＝24.
5.课堂小结，自我完善
（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?
梳理总结本节及上
节课学到的判定方
法，自主建构知识
体系，进一步加深
对所学知识的理解
和记忆．
（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方
法的?这样的探索过程对你有什么启发?
6.布置作业
教材P62练习第1-3题；
教材P65习题21.2第2，5，7,11，14，15题.
板书设计平行四边形的判定（2）
1．利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形
2．平行四边形的性质与判定的综合应用
例题 练习
教学反思
本节课先复习了前面学过的平行四边形的判定方法，为
进一步探究打下基础.接着，通过观察、分析、类比、猜
想，体验知识的生成过程，通过推理论证，进一步体验几何
证明的严谨性.在授课过程中，关注每一位学生的情感体
验，认真倾听每一位学生的心声，不断改进自己的教学.21.2.3 三角形的中位线
课题 三角形的中位线 课型 新授课
教学内容 教材第63-65页的内容
1.掌握三角形的中位线的概念和三角形中位线定理．
2.经历探索三角形中位线定理的证明过程，灵活运用三角形中位线定
教学目标
理解决有关问题．
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生推理论证的能力.
教学重点：掌握并能运用三角形的中位线定理．
教学重难
教学难点：三角形中位线定理的证明(辅助线的添加方法).
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
创设联系生活实例
如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间
的生活情景，用多
的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外
媒体展示，激发学
选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点
生的学习兴趣，引
D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B两点间
入新课．
的距离了．这是为什么呢？本节课我们就来探究其中的学
问．
2.实践探究，学习新知
【问题1】上述问题中涉及三角形中重要的线段“三角形的
中位线”，什么是三角形的中位线呢？
师生活动：结合图形，教师引出三角形中位线的概念.
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中
位线.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，
AC的中点，所以DE是△ABC的中位线.
教师追问1：一个三角形有几条中位线？你能
通过画图比较，巩
画出来吗？
固学生对三角形中
教师追问 2：画出三角形的中线和中位线，说出它们的不 位线概念的理解，
同． 培养严谨细致的学师生活动：师生共同探究，一个三角形共有三条中位线;三 习习惯.
角形的中位线与中线不一样，区别主要是线段的端点不同.
中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.
【问题 2】准备一张三角形纸片，记作
△ABC，分别取 AB，AC 边的中点 D，E，连
接DE.
(1)用直尺分别测量 DE，BC的长，比较DE，
BC的大小关系，并猜想DE，BC之间存在怎样的数量关系;
通过学生亲自动手
(2)借助量角器测量有关角的大小，并猜想DE，BC之间的
画、量，猜想发现
位置关系.
了三角形中位线定
师生活动：学生动手操作，经历观察、测量，提出猜想：三 理，教师引导，启
角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一 发学生思维，讨论
半. 找到证明中位线定
理的方法.并由学生
教师追问1：怎样证明上面的猜想？
自 己 完 成 证 明 过
师生活动:教师引导学生写出已知、求证，并分析证明方法. 程，充分发挥学生
主动学习、合作学
如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC
习和探究性学习的
功能，培养了学生
的中点，连接DE.求证：DE∥BC，且DE= 发现问题、探究问
BC. 题的能力，以及用
数学语言表述数学
教师启发1：证明直线平行的方法有那些？
问题的能力等良好
师生活动：启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平 的数学品质.
行四边形得出平行等.
教师启发2：证明线段倍分的方法有那些？（截长补短）
师生活动：学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，
师生共同完成推理过程，板书证明过程.强调还有其他证法.
证明：延长中位线DE到F，使
EF=DE，连接CF，DC，AF.
∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF为平行四边.
∴CF∥DA.∴CF∥BD.
∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC.
1 1
又DE= DF，∴DE∥BC，且DE= BC.
2 2
师生总结归纳三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于
三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2
倍或.
3.学以致用，应用新知
考点1 三角形中位线定理的应用 通过例题，帮助学
生掌握三角形中位【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，E，F， 线定理的知识，提
G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点.求证: 高了知识的应用能
四边形EFGH是平行四边形. 力.
分析:因为各边中点，所以可设法应用三角形
的中位线定理找到四边形 EFGH的对边之间的关系.因为四
边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加
辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图
形后得证.
证明:如图，连接AC.
在△DAC中，∵H，G分别是DA，CD的中点，
通过随堂训练，及
∴HG是△ACD的中位线，
时获知学生对所学
1 知识的掌握情况，
∴HG∥AC，HG=
2
AC(三角形的中位线定理).
理解能力和运用程
度，提高学生解决
1
问题的能力．
同理，EF∥AC，EF= AC，∴HG∥EF，且HG=EF，
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
【例2】已知△ABC的各边长度分别为3 cm，4 cm，5
cm，则连接各边中点的三角形周长为( )
A.2 cm B．7 cm C．5 cm D．6 cm
答案：D
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的
中点，则∠DEC的度数为( )
A.150° B．120° C．60° D．30°
答案：B
第（1）题 第（2）题
（2）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的
中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是 ( )
A.28 B.14 C.10 D.7
答案：B
（3）如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是
AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在 梳理总结本节知
图中，你能画出多少个平行四边形？为什 识，总结本节课的
么？ 方法，锻炼学生的解：能画出3个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、四边
形ADEF为平行四边形．
（4）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连接DE.求∠BDE
的度数．
解：如图，延长BD与AC相交于点
F，
∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAF＝40°.
又∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.
口头表达能力，进
∴△ABD∴ AFD(ASA).∴≌B△D＝DF. 一步加深对所学知
识的理解和记忆．
∴∠ABF＝∠AFB＝50°.∴∠BFC＝130°.
又∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．
∴DE∥FC.∴∠BDE＝∠BFC＝130°.
5.课堂小结，自我完善
（1）三角线的中位线的概念以及它与三角形中线的区别；
（2）三角线中位线定理的内容及应用；
（3）证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线。
6.布置作业
教材P65练习第1-3题；
教材P65习题21.2第6，13题.
板书设计
三角形的中位线
1．三角形中位线的定义
2．三角形中位线定理
例题 练习教学反思
在授课过程中创设问题情境，为学生提供自主探索发现
的空间，然后再去证明，从而使推理成为探索活动的自然延
续和必要发展，让学生经历“猜想——探索——发现——推
理”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发
挥的作用，同时注重培养学生合作交流、共同研讨的习惯.21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第 1 课时 矩形的性质
课题 矩形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第68-70页的内容
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系．
2.探索并能证明矩形的性质，会用矩形的性质进行有关证明与计算．
教学目标
3.理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论，
会应用这一结论解决简单的问题.
教学重点：掌握矩形的性质．
教学重难
教学难点：利用矩形的性质进行证明和计算．
点
教 学 过 程 备 注
1.提出问题，引入新课
对一类几何图形的研究，我们常常按照从一般到特殊的思路 借助实物的动态变
进行.比如，研究了一般三角形后，我们研究了把边特殊化 化，让学生直观感
得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形.对于平 知角的变化带来平
行四边形我们也延续这样的思路进行研究. 行四边形的改变，
体会矩形是平行四
【问题1】把平行四边形的一个内角特殊化——变为90°，
边形角特殊化后的
会有什么样的特殊图形产生呢?你能给这种图形下一个定义
产物，自然引出矩
吗?生活中存在这种图形吗?
形的概念.
师生活动:教师展示教具，对平行四边形活动框
架进行动态演示.让学生观察从一般的平行四边
形到矩形的变化过程，得出矩形的定义:有一个
角是直角的平行四边形叫作矩形.
教师追问:矩形在实际生活中大量存在和应用，这是因为此
类图形有一些特殊的性质，你认为矩形有哪些性质?我们如
何研究矩形的性质?
2.探究性质，深化认知
【问题 2】如图，作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质.此外，矩形还有一般
调 动 已 有 学 习 经
平行四边形不具有的特殊性质吗?
验，结合教具进行
演示，使学生在动
教师追问1：对于矩形，我们仍然从边、角和对角线等方面
态中感知，在静态
进行研究.
中思考，类比经验
（1）矩形的边是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? 探究矩形的特殊性
质.
（2）矩形的角是否有不同于一般平行四边形的特殊性质?
（3）矩形的对角线是否有不同于一般平行四边形的特殊性
质?
师生活动:在已有活动教具的基础上，将对角线用橡皮筋连
接，通过动态观察，引导学生体会边长确定时平行四边形的
边、角、对角线的变化特点及制约关系.并在矩形形状时停
留，引导学生类比平行四边形性质的探究过程，从边、角、
对角线的角度进行思考、讨论、交流，得出初步猜想并归纳
整理成文字表述.
猜想1:矩形的四个角都是直角;猜想2:矩形的对角线相等.
教师追问2：你能证明这些猜想吗?
师生活动:性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上
引 导 学 生 证 明 猜
进行口述证明即可.
想，得到定理，再
次体会几何研究的
证明矩形的对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行
“观察—猜想—证
证明，利用三角形全等证明线段相等，利用轴对称构造等腰
明”过程.
三角形三线合一进行证明，等等.充分挖掘，鼓励学生尝试
不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程.对于利用
勾股定理与构造图形转化的证明思路由学生口述完成即可.
已知：AC，BD是矩形ABCD的对角
线．
求证：AC＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°.
∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD.
教师追问3：矩形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称
引导学生用轴对称
轴.
观点探究矩形的性
质.
师生活动:引导学生通过对折实验把矩形性质归结为轴对称
的有关性质:矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.
【问题3】矩形ABCD的对角线AC，BD 理解直角三角形与
相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条 矩形的关系，进一
怎样的特殊线段？它与 AC有怎样的数量 步体会用特殊四边
关系？为什么有这样的数量关系？ 形的性质研究特殊
三角形的策略，得
师生活动:学生分小组讨论，根据平行四
到直角三角形斜边
边形的性质“对角线互相平分”，及矩形的性质“对角线相等”得出AO＝CO＝BD，DO＝BO＝AC. 上中线的性质.
OC为Rt△BCD的中线，从而得到结论:直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半.
教师追问:如图，三位学生正在做投圈游
应用刚得到的结论
戏，他们分别站在一个直角三角形的三个
解释其中的数学道
顶点处，目标物放在斜边的中点处，这样
理，巩固新知，体
的队形对每个人公平吗?请说明理由.
会定理的应用价值.
师生活动:学生积极发言，教师适时点拨.
3.学以致用，应用新知
考点1 矩形性质的应用
【例1】如图，矩形ABCD的对角线 设置例题帮助学生
AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB 掌握矩形的性质，
＝4，求矩形对角线的长． 并会运用矩形的性
质来解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与
BD相等且互相平分．
∴OA＝OB.
又∵∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4.
应用迁移、巩固提
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 高，培养学生解决
问题的能力.
【例 2】两个矩形的位置如图所示，若
∠1=α，则∠2=( )
A.α-90° B.α-45° C.180°-α D.270°-α
答案：C
考点2 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决
通过随堂练习，进
问题
一步巩固课堂所学
【例 3】如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 内容，检测学习效
D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，求CD 果，使每个学生都
的长. 能有所收获、有所
提高.
答案：8
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
以下说法不一定正确的是 ( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=OB D.OA=AD
答案：D
（2）在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是()
A.6 B．4 C．8 D．12
答案：A
（3）在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩
形ABCD的周长为24cm，则AB长为( )
A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm
答案：D
（4）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∠BAE＝3∶1，则∠ABD的度数
为( )
A.60° B．62.5° C．65° D．67.5°
答案：B
（5）如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且
分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形
ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
答案：B
（6）如图，已知四边形ABCD是矩形
(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为
F，求证：DF＝AB.
通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
内容，体会数学思
想方法.课后练习巩
证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE， 固，让所学知识得
以运用.
∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB.
又∠DAF=∠AEB，AD=EA，∴△AFD≌△EBA(AAS).
∴DF＝AB.
5.课堂小结，自我完善
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
（2）矩形性质归纳
边的性质：对边平行且相等.角的性质：四个角都是直角.
对角线的性质：对角线互相平分且相等
对称性：矩形是轴对称图形.
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（4）矩形中的相关计算或证明问题通常转化到直角三角形
或等腰三角形中，需要综合应用三角形和四边形的知识.
6.布置作业
教材P70练习第1，2题；
教材P78习题21.3第3,8题.
板书设计
矩形的性质
1.矩形的定义：
2.矩形的性质：
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：
例题 练习
教学反思
教学中让学生充分经历从实际生活中抽象数学图形到深
入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间
的从属关系和内在联系，注重知识的渗透，在适度的方法训
练中加强知识的灵活运用，教学思路清晰，详略安排得当，
练习合理.21.3.1 矩形
第 2 课时 矩形的判定
课题 矩形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第54-55页的内容
1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法．
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能
力．
教学目标
3.能应用矩形的定义、判定等知识解决简单的证明和计算问题，进一
步培养学生的分析能力．
教学重点：矩形的判定定理及其应用．
教学重难
教学难点：综合运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题．
点
教 学 过 程 备 注
1.复习反思，情境引入 复习矩形的定义和
性质，凸显平行四
【复习反思】（1）什么是矩形？矩形有哪些性质？
边形和矩形之间的
（2）说说矩形与平行四边形之间的联系：有什么共同点？ 联系，为新问题的
不同点？矩形与平行四边形的从属关系是什么？ 提出做好准备.
师生活动：教师出示问题，学生思考，教师点拨分析矩形与
平行四边形及四边形的从属关系．
通过实际问题引发
【情境引入】 小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼 学生思考，让学生
物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木 感受判定矩形的必
条制作，你有什么办法可以检测他做的相框是矩形？看看谁 要性，体会数学在
的方法可行？ 实际生活中的应
用．
师生活动:可布置学生课前用两对长短不一的木条制作简易
矩形框架，用于课堂模拟.
2.实践探究，学习新知
【问题1】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是
不是矩形，采用了一种方法：量一量这个四边形的两条对角
线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道这是为什么吗？
师生活动:教师分析，两组对边相等的四边形是平行四边形.
引导学生继续猜想：对角线相等的平行四边是矩形.
通过探究活动为学
教师追问：如何证明这一猜想?
生提供充分发挥创
造力的空间，调动
师生活动:教师指导学生画出图形，写出已知、求证，学生
学生的积极性．
观察思考后尝试证明;教师巡视指导，辅助学生;展示学生成
果，教师规范板书证明过程.
已知：如图，在 ▱ABCD中，AC＝DB.
求证： ▱ABCD是矩形．
证明：如图，∵四边形ABCD是平行四 边
形，∴AB＝DC.
∵AC＝DB，BC＝CB.
∴△ABC∴ DCB(SSS).∴∠△∴A≌BC＝∠DCB.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
由矩形性质的逆命
∴∠ABC＝90°.∴▱ABCD是矩形．
题成立与否提出猜
矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 想，目标明确，容
易获取结论.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【问题2】我们知道，矩形的四个角都是直角.它的逆命题
成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至
少有几个角是直角的四边形是矩形？
师生活动：学生先独立思考，再讨论交流，得出有三个角是
直角的四边形是矩形.
教师追问：如何证明这个结论？
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝
∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 设置例题帮助学生3.学以致用，应用新知 掌握矩形的判定，
并综合运用矩形的
考点1 判定矩形的条件
性质和判定解决问
【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点 题．
E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能
使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE
C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
答案：D
【方法归纳】判定矩形的基本思路：
①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他
角中有两个是直角；
②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；
③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角
或对角线相等．
【例2】如图，平行四边形ABCD各内角的平分线分别相交
于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH为矩形.
证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
又AF平分∠BAD，DF平分∠ADC，
1 1
∴∠EAB= ∠BAD，∠EBA= ∠ABC ，
2 2
1
∴∠DAF+∠ADF= (∠BAD+∠ADC)=90°，即∠F=90°
2
，
同理∠H=∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠AEB=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
考点2 矩形判定与性质的综合应用
通过随堂练习，进
【例3】如图，在 ▱ABCD中，对角线
一步巩固课堂所学
AC，BD相交于点O，且OA＝OD， 内容，及时获知学
∠OAD＝50°.求∠OAB的度数． 生对所学知识的掌
握情况，使每个学
分析：先证明 ▱ABCD是矩形，再根据矩形
生都能有所收获、
的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数．
有所提高.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.
又∵OA＝OD，∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠DAB＝90°.又∵∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°.
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
①有一个角是直角的四边形是矩形. (×)
②有四个角是直角的四边形是矩形. (√)
③四个角都相等的四边形是矩形. (√)
④对角线相等的四边形是矩形. (×)
⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形. (√)
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形. (×)
⑦一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形.(√)
⑧两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形. (√)
（2）已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点
O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的
面积．
分析：首先根据△AOB 是等边三角形
及平行四边形对角线互相平分的性质判
定出 ABCD 是矩形，再利用勾股定理计
算边长，从而得到面积值．
1 1
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO= AC，BO=
2 2
BD.
∵AO=BO，∴AC=BD．
通过小结，帮助学
∴ ▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 生梳理本节课所学
内容，体会数学思
在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
想方法.
∴BC=
√82 −42 =4√3
（cm）．
课后练习巩固，让
所学知识得以运用.
∴S =AB·BC=4×4√3=16√3（cm2）.
▱ABCD
（3）如图， ▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点
E，F，G，H．
求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠DAB＋∠ABC=180°．
又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
1
∴∠EAB＋∠ABG= ×180°=90°．∴∠AFB=90°．
2
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是
矩形）．
5.课堂小结，自我完善
矩形的三种判定方法．
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；
方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．
6.布置作业
教材P71练习第1-3题；
教材P78习题21.3第1，2题.
板书设计
矩形的判定
1.对角线相等的平行四边形是矩形
2.有三个角是直角的四边形是矩形
3.判定矩形的基本思路
例题 练习
教学反思
以问题的形式展开对矩形的判定方法的探究，师生总结
问题结论后，教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学
以致用..在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给
学生，提高学生学习的积极性与主动性.21.3.2 菱形
第 1 课时 菱形的性质
课题 菱形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第72-74页的内容
1.了解菱形的概念，理解并掌握菱形的性质．
2.经历菱形性质的探究过程，培养动手实验、观察推理的意识，发展
教学目标
形象思维和逻辑推理能力．
3.根据菱形的性质进行简单的证明，培养逻辑推理能力和演绎能力．
教学重点：菱形性质的探究．
教学重难
教学难点：灵活运用菱形的性质解决问题．
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
通过实物模型让学
【问题1】如图，是用四根木条搭成的一个平行四边形框架 生感受由平行四边
A′B′CD，平移木条A′B′至AB，使得AB=AD，这时所得到 形演变成菱形的过
程，体会到菱形也
的平行四边形ABCD有什么特征？说说看，并与同伴交流.
是一种特殊的平行
四边形，在感性认
识的基础上加深理
解.
师生活动：利用教具进行演示.改变平行四边形的边，使之
一组邻边相等，引出菱形的概念.
2.思考探究，获取新知
【问题2】从上述图形与平行四边形关系的角度出发，你能
给出菱形的定义吗?
通过观察，获得菱
师生活动：教师指导学生“仿照平行四边形和矩形的定义来 形的初步感性认识.
定义新图形”.学生尝试给出菱形的定义后，教师修正并板 听过追问，理清平
书菱形的定义. 行四边形与菱形的
关系.
总结:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
教师提醒学生:(1)菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.两者必须同时具备，缺一不可.(2)菱形的定
义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
教师追问1:你能举出生活中的一些菱形的例子吗?
教师追问2:菱形与平行四边形之间有什么关系?
【问题3】如图，将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，
在对折中可以观察
然后打开.
到重合的边与角，
观察图形，思考问题: 学生容易发现菱形
的边、角、对角线
(1)你能看出图中哪些线段或角相等?
的性质.
(2)你能得到哪些特殊三角形?
(3)菱形是轴对称图形吗?若是，它有几条对称轴，分别是什
么，对称轴之间有什么位置关系?
师生活动：教师提醒学生“菱形具有平行四边形的所有性
质”，要求学生指出菱形边、角、对角线的其他性质;学生
操作后思考、交流，并回答问题.教师根据学生的交流结果
展示证明过程并板书菱形的性质.
性质1：菱形的四条边都相等.
符号语言:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA.
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平
分一组对角.
符号语言：如图，∵四边形 ABCD 是菱
形，
∴AC⊥BD ， ∠ ABD=∠CBD ，
∠ ADB=∠CDB ， ∠ BAC=∠DAC ，
∠BCA=∠DCA.
师生活动：教师指出，菱形性质的证明中所涉及的线段和角
相等问题，仍然延续平行四边形和矩形中的方法——将所要
证明的线段和角放在三角形中，综合利用三角形和四边形的
知识来解决.
3.学以致用，应用新知
考点1 菱形的性质
【例1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的
度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．
60°
答案：B
【例2】如图，四边形ABCD是菱形，点
O是两条对角线的交点，AB=5cm，
AO=4cm，求两条对角线AC和BD的长.
经典例题教学，不解：由菱形的性质知：BD⊥AC，AC=2AO＝8cm，BD＝ 仅巩固了菱形的性
2BO. 质，更在问题的解
决过程中，体现了
在 Rt△AOB 中 ， BO ＝ = =3cm. 常规方法的运用.
∴BD=6cm.
故两条对角线AC长为8cm，BD长为6cm.
考点2 菱形的面积
【例3】 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝
60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条
小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小
数点后一位).
分析：要求两条小路的长和花坛的面
积，可以在Rt△ABO中，应用直角三
角形的性质和勾股定理求出OA，OB
的长．
解：∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.
在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10，
BO＝＝＝10.
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)，BD＝2BO＝
针对本课时的主要
20≈34.64(m).
问题，分层次进行
检测，了解学生对
花坛的面积S ＝4×S ＝AC·BD＝200≈ 346.4(m2).
菱形ABCD △OAB
菱形性质的掌握情
方法总结：(1)菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等 况．
腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，
所以菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形综合在
一起.(2)菱形的面积也可以表示为两条对角线乘积的一半.
4.随堂训练，巩固新知
（1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对边相等 B．对角相等
C.对角线互相平分 D．对角线互相垂直
答案：D
（2）已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6
cm，则这个菱形的边长为 cm.
答案：5
（3）如图，在平面直角坐标系中，四边
形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3，
4)，则点C的坐标是 (8 ， 4) ．
（4）如图，在菱形 ABCD 中，BE⊥AD 于点E，BF⊥CD于点F. 求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠A=∠C.
∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°.
{∠BEA=∠BFC,
在△ABE和△CBF中， ∠A=∠C,
BA=BC,
∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴AE=CF.
（5）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6.
①求∠ABC的度数；
②求AC的长．
解：①∵四边形ABCD是菱形，
∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝60°，AB∥CD.
∴∠ABC＝180°－60°＝120°.
通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
②连接BD交AC于点O，则∠AOB＝90°，AO＝CO.
内容.
∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝30°.∴OB＝AB＝3. 课后练习巩固，让
所学知识得以运用.
∴OA＝＝3.∴AC＝6.
5.课堂小结，自我完善
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）菱形的性质：它具有平行四边形的所有性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分
一组对角.
6.布置作业
教材P73练习第1-3题；
教材P78习题21.3第4，10,11，题.
板书设计
菱形的性质
1.菱形的定义
2.菱形的性质
3.菱形的面积
例题 练习教学反思
本课时教学可以用木条、纸片等实物进行演示，教师要
引导学生比较菱形与一般平行四边形的区别在于是否有一组
邻边相等.并鼓励学生分组交流，教师可从中抽出一两个组
的学生，让他们作为代表总结所得出的结论，教师再予以点
评.在整个教学过程中，教师应引导学生采用类比的方法，
以发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.
21.3.2 菱形
第 2 课时 菱形的判定
课题 菱形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第74-75页的内容
1.掌握菱形的判定定理及其证明方法．
2.能利用菱形的判定定理解决一些简单的问题．
教学目标
3.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动
手能力及推理能力．
教学重点：菱形的判定定理及其应用．
教学重难
教学难点：探究菱形的判定条件．
点
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，导入新课
【问题1】（1）矩形的定义、性质和判定定理分别是什
么？
矩形的定义、性质 矩形的判定
回顾矩形的定义、
有一个角是直角的平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是 性质及判定，菱形叫作矩形 矩形
的定义、性质，通
对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 过类比，建立知识
之间的联系，激发
四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形
学生的求知欲，为
（2）回顾菱形的定义及性质，填表：
突破本节课重难点
做准备.
菱形的定义、性质 菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形叫作 一组邻边相等的平行四边形是
菱形 菱形
两条对角线互相垂直，并且每一
？
条对角线平分一组对角
四条边都相等 ？
教师追问：你能通过类比发现菱形的判定定理吗？
师生活动：教师出示问题，学生填写表格，通过类比引起对
菱形判定定理的思考．
2.实践探究，获取新知
【问题2】如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固 引导学生认识菱形
定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮 的判定定理与菱形
筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成 的性质定理是互逆
菱形？ 定理后，让学生独
立思考，逐步锻炼
学生的推理论证能
力．
师生活动：学生猜想， 当两个木棒之间的夹角等于90度
时，得到的图形是菱形.请学生代表利用学具展示说明.
教师追问：你能证明这个猜想吗?
师生活动:学生思考后小组内交流证明思路，教师引导学生
规范的文字题证明，然后学生写出证明过程并简明的点评.
已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 这一探究活动贴近
生活、轻松自然.学
∴OA=OC.
生利用平行四边形
的判定和菱形的定
又∵AC⊥BD，∴BA=BC.∴□ABCD是菱形.
义，演示说明自己
归纳菱形的判定定理：对角线互相垂直度平行四边形是菱 的作品就是菱形，
形. 进一步培养了推理
论证能力，体验了
【问题3】拿出课前准备的两个全等的等腰三角形纸板（不
数学与生活的密切
等边），动手拼一拼，看看可以拼出几种平行四边形.
联系，产生了极大
（1）当两底边重合时拼出的四边形是什么图形？它的四条 的成就感.
边有什么样的数量关系？
（2）你能得到什么结论？师生活动：学生代表展示作品，并利用作品说明结论，最后
得出：四条边相等的四边形是菱形.教师指导学生规范完成
几何论证过程.
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
设置例题帮助学生
证明:∵AD=BC，AB=CD，
掌握菱形的两个判
∴四边形ABCD是平行四边形. 定定理，并综合运
用菱形的判定和性
又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
质来解决问题．
归纳菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形.
数学语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形.
3.学以致用，应用新知
考点1 菱形的判定
【例1】如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与
边AD，BC分别交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO.
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF.
又AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形.
【例 2】如图，在△ABC 中，AB=BC，D，E，F 分别是
BC，AC，AB的中点.求证：四边形BDEF是菱形.
证明：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
1 1 1 1
∴DE= AB，EF= BC，BF= AB，BD= BC.
2 2 2 2又AB=BC，∴DE=EF=BF=BD.∴四边形BDEF是菱形.
通过随堂训练，巩
考点2 菱形判定与性质的综合 固课堂所学内容，
检测学习效果，进
【例3】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交
一步培养根据已知
AC于点D，点E在线段 BD上，点 F在BD的延长线上，
条件和对图形的观
且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF. 察进行合情推理，
选择合适的判定方
(1)求证：四边形AECF是菱形；
法进行推理论证的
(2)若 BF＝BA，AD＝4，DF＝2，求 能力.
BF的长．
解：(1)证明：∵BA＝BC，BD 平分
∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD.
又∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形．
(2)∵DE＝DF＝2，∴EF＝2DF＝4.
设 BE＝x，则 BD＝BE＋DE＝x+2，BA＝BF＝BE＋EF＝
x+4.
在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝BA2，
即42＋(x＋2)2＝(x＋4)2，解得x＝1.
∴BF＝x＋4＝5，即BF的长为5.
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AO=CO，BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形
ABCD是菱形的是 ( )
A.AB=AD B.AC=BD
C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO
答案：B
（2）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形
周长为 ，面积为 ．
答案：20，24
（3）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.
将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB
时，求证：四边形ABMD是菱形．
证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD.
由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB
通过小结，帮助学
＝AD，BM＝DM.
生梳理本节课所学∴∠DAM＝∠AMD.
∴AD＝DM＝AB＝BM.
∴四边形ABMD是菱形．
（4）如图，在 ▱ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB
＝AC＝4，∠ABC＝60°.
①求证： ▱ABCD是菱形；
②求BD的长．
解：①证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC.∴▱ABCD是菱形．
②∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD.
∵AB＝AC＝4，∴AO＝2.∴BO＝2，BD＝2OB＝4.
（5）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝ 内容，体会知识之
5，AO＝4，BO＝3.求证： ▱ABCD是菱形． 间的联系.
课后练习巩固，让
分析：在△AOB中，根据勾股定理的逆
所学知识得以运用.
定理得出∠AOB＝90°，再结合四边形
ABCD是平行四边形即可得证．
证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，
∴AB2＝AO2＋BO2.
∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°.
∴▱ABCD是菱形．
5.课堂小结，自我完善
（1）本节课你学习了几种判定菱形的方法？
（2）你是怎样得到这些判别方法的？
（3）对本节课的学习你有什么感受和想法？
6.布置作业
教材P75练习第1-3题；
教材P78习题21.3第5,10题.
板书设计
菱形的判定
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.四条边相等的四边形是菱形
例题 练习
教学反思
学生获得知识，建立在自己体验和思考的基础上；学生
应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生通过自
主、合作、探究的学习方式，亲身经历观察、实验、猜想、
推理、论证、展示、交流等活动，才能在数学思考、问题解
决、数学素养等方面得到发展.21.3.3 正方形
课题 正方形 课型 新授课
教学内容 教材第75-77页的内容
1.掌握正方形的性质和判定以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之
间的关系．
2.运用正方形的性质及判定进行简单的计算、推理、论证．
教学目标
3.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学
思想方法．
教学重点：探索正方形的性质及判定定理．
教学重难
教学难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及
点
正方形的性质和判定的应用.
教 学 过 程 备 注
欣赏生活中常见的
图形或图片，使学
1.创设情境，引入课题
生经历从现实生活
（1）观察图片：正方形的地板砖、印章、钟表、包装盒 中抽象出数学问题
等． 的过程，激发学生
强烈的好奇心和求
（2）在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和
知欲.
菱形分别有什么关系？
师生活动：教师出示图片和问题，学生回答，四个角都是直
角，四条边都相等的四边形叫正方形．
通过折叠裁剪得出
2.探究性质，深化认知 正方形，观察其图
形特征，明白制作
【问题 1】（1）做一做：用一张长方形的纸片（如图所
原理:邻边相等的矩
示）折出一个正方形．
形是正方形.
师生活动：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正 观察伸缩门在关闭
方形与矩形的关系． 的过程中，四边形
的形状及∠1 的变
（2）做一做：观看电动伸缩门的开合.如图，某一拉门在关
化，找到其中蕴含
闭时，其相应的菱形变成正方形．说说图中∠1 的变化过
的数学原理：一个
程.
角为直角的菱形是
正方形.通过以上问题情境
的创设，使学生经
历从现实生活中抽
师生活动：老师引导学生观察，伸缩门在关闭的过程中，图 象出数学问题的过
中的四边形的形状是如何改变的？∠1的变化的过程如何. 程，激发学生的学
习兴趣和主动学习
教师追问1：通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，
的欲望，营造一个
又是菱形，还是平行四边形，所以平行四边形、矩形、菱
让学生主动思考、
形、正方形之间有怎样的关系？
探索学习的氛围.
师生活动：学生先自主思考，再合作交流，填写关系图.老
师鼓励学生进行小组内部及小组之间的交流与合作，在学生
遇到困难时，及时给与帮助.
体会正方形与平行
教师追问2：如何给出正方形的定义？
四边形、矩形、菱
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四 形的区别与联系．
边形叫做正方形．其定义包括了两层意思：
⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
⑵有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
【问题2】正方形既是矩形又是菱形.所以矩形、菱形有的性
质，正方形都有.正方形的边，角，对角线有哪些性质？是
不是轴对称图形？
平行四边形 菱形 矩形 正方形
边
角
对角线
轴对称图形
对称轴(条数)
师生活动:学生自主完成后，小组内、小组间交流改错.老师
检查，在学生遇到困难时，及时给与帮助.
【问题3】在小组内说一说，证明一下：
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等；
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边都相等，四个角都是直角.
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线
AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，
AC⊥BD.
思考：从上题图可看出:
（1）正方形的一条对角线把正方形分割成什么图形？
（2）正方形的两条对角线把正方形分割成什么图形？
学生自主思考后总结： 正方形的一条对角线把正方形分成
两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形.
老师点拨说明：这是正方形的特殊性质，有关正方形的问题
可以利用对角线转化到直角三角形中解决.从而达到把未知
问题转化为已知问题来解决.
【问题4】在问题1的做一做中，为什么可以折出正方形纸
片？猜想：满足怎样条件的矩形是正方形.
通过自主归纳总
结，不仅回顾了所
请证明：对角线互相垂直的矩形是正方形． 学知识，而且培养
了归纳概括的能
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线
力，学生的发散思
AC⊥DB.
维能力和创新能力
求证：四边形ABCD是正方形． 得到了加强.
【问题5】把能活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这
时菱形框架的形状．量量看是不是正方形．猜想：满足什么
条件的菱形是正方形？
老师引导学生独立
思考，设置例题，
帮助学生掌握正方
形的性质和判定，
进一步培养学生逻
辑思维能力和推理
请证明：对角线相等的菱形是正方形．
论证能力．
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝
DB.
求证：四边形ABCD是正方形．
总结:要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证
明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边
相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定.也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相
等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的两条对角线相
等并且互相垂直.
3.学以致用，应用新知
考点1 正方形性质的应用
【例 1】如图，在边长为 3 的正方形 ABCD
中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF的长是 (
)
应用迁移、巩固提
A.1 B.√2 C.√3 D.2
高，培养学生解决
答案:C 问题的能力.
【例2】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个
全等的等腰直角三角形．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交
于点O．
求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角
形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=OB=OC=OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并 通过随堂练习，进
且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
考点2正方形的判定
果，使每个学生都
【例3】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它 能有所收获、有所
的四条边上，且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是 提高.
正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH=FE=GF=HG，∠AHE=∠BEF；
∵∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
即∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形.
4.随堂训练，巩固新知
（1）正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直
C.对角互补 D.对角线相等
答案:B
（2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，则图中的等腰三角形有(
)
A.4个 B．6个 C．8个 D．10个
答案：C
（3）四边形ABCD的对角线交于点O，下列选项中不能判
定其是正方形的是 ( )
A.AB∥CD，AB=AD，∠BAD=90°
B.AB=BC=CD=AD，∠ABC=90°
C.∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD
D.AO=CO=BO=DO，AC⊥BD
答案：C
（4）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对 通过小结，帮助学
角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD，则OE＝ 生梳理本节课所学
． 内容，体会知识之
间的联系.
答案：2
课后练习巩固，让
所学知识得以运用.
（5）如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上
的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E，F.
①当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF
为矩形?试说明理由;
②在①中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形?为什么?
答案:①AD=2AB，理由略. ②BC的中点，理由略.
（6）如图，等边三角形 AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边
BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形．
5.课堂小结，自我完善
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？运用到了哪
些数学思想方法？说出来与大家分享！还有什么困惑？
（2）展示平行四边形、菱形、矩形、正方形四种图形的包
含关系图,引导学生回顾正方形的定义和性质,并说出这几种
图形之间的联系与区别.
6.布置作业
教材P76练习第1-3题；教材P78练习第1-3题；
教材P78习题21.3第6，7,12,15,16题.
板书设计
正方形
（1）正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互
相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
（2）正方形的判定
例题 练习
教学反思
在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，问题的
提出应引发学生认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积
极探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括
归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达
真实世界的工具、方法和语言，增强认识真实世界、解决真
实问题的能力，树立学好数学的自信心，养成良好的学习习
惯.
在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,
让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教
学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.
