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第二十六章 反比例函数过关测试
题号 一 二 三 总分
得分
练习建议用时：60分钟 满分：100分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．下列两个变量成反比例函数关系的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r之间的关系 B．电压一定时，电流I与电阻R之间的关系
C．速度一定时，路程S与时间t之间的关系 D．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据题意分别写出各个
选项中的函数关系式，根据反比例函数的定义 （k为常数， ）判断．
【详解】解：A、圆的面积 与它的半径 之间的关系： ，不是反比例函数关系，不符合题意；
B、电压一定时，电流I与电阻R之间的关系： ，其中U一定，即U是常数，故该函数为反比例函数
关系，符合题意；
C、速度一定时，路程S与时间t之间的关系： ，不是反比例函数关系，不符合题意；
D、在等腰三角形中，顶角 与底角 之间的关系： ，不是反比例函数关系，不符合题意；
故选：B．
2．一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，先根据一次函数的图象判断
出 的取值，再根据反比例函数的图象判断出 的取值，二者一致即为正确答案，采用数形结合的思想是
解此题的关键．
【详解】解：当 时， 的图象经过二、三、四象限，函数 的图象分布在一、三象限，
当 时， 的图象经过一、二、三象限，函数 的图象分布在二、四象限，
故选：B．
3．在同一平面直角坐标系中，已知两点坐标满足横纵坐标互反，如： 和 （ ）．若一
个函数的图象恰好经过这样的两点，我们称这个函数是在 上的“NY函数”．下列函数是在 上的
“NY函数”的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】本题考查了函数的性质和函数图象的理解．
根据已知“NY函数”的定义解答即可．
【详解】解：对于函数 ，当 时， ；当 时， ，所以这个函数不满足“NY”函数条
件；
对于函数 ，当 时， ；当 时， ，所以这个函数满足“NY”函数条件；
对于函数 ，当 时， ；当 时， ，所以这个函数不满足“NY”函数条件；
对于函数 ，当 时， ；当 时， ，所以这个函数满足“NY”函数条件；
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于点 ，则代数式中 的值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图像的交点以及代数式求值，根据已知代数式的值将所求代数式恒等变形成相应形
式是解决问题的关键．把点 分别代入 与 中，可得 ， ，再将所
求的代数式变形即可求解．
【详解】解：把点 分别代入 与 中，
得 ， ，
即 ， ，
，
故选：B．
5．如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，过点 作 轴，垂足为点 为 轴上
一点，连接 ，若 的面积为 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数求几何图形面积的方法是解题的关
键．
如图所示，过点 作 的延长线于点 ，根据 的面积为 ，设 ，由此即可求
解．
【详解】解：如图所示，过点 作 的延长线于点 ，∵ ， ， 轴，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
故选： ．
6．如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数 的图象上，
且它们的底边都相等．若记 ， ， … 的面积分别为 则
的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，
通过计算得到规律 是解题的关键．
【详解】解：设 ，
过点 ， ， ， 分别作 轴， 轴， 轴， 轴于点 ， ， ， ，
∵ ， ， ， 在抛物线 上，
∴ ， ， ；
， ， ；
， ， ；
；
， ， ，
∴ ；
故选：C．
7．如图，一次函数 的图象与反比例函数 是的图象交于 ， 两点，过点 作
轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 ， ．下列结论正确的是（ ）A．点A和点 关于原点对称 B．当 时，
C．反比例函数中 都随 的增大而减小 D． 的面积等于 的面积
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．利用反比例函数与一次函数的对称性判断①，图象
法判断②，增减性判断③， 值的几何意义，判断④．从图象中有效的获取信息，掌握一次函数和反比例
函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象与反比例函数 是的图象交于 ， 两点，
∴当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴点A和点B关于原点对称错误；故①错误；
由图象可知：当 或 时， ，故②错误；
由图象可知：当在同一象限内时， 随x的增大而减小，故③错误；
把 代入 ，则 ，
∵点 都在反比例函数 的图象上， 轴， 轴
∴ ； 故④正确；
故选：D．
8．在恒温下，气体对汽缸壁的压强 与汽缸内气体体积 的函数关系如图5所示，若压强由加压到 ，则气体体积压缩了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图像中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结
合，将 代入 解方程即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，将 代入 得 ，
，
当 时， ；当 时， ；
若压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ，
故选：C．
9．如图，反比例函数 的图象经过 对角线的交点 ，已知点A，C，D在坐标轴上，
的面积为6，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形
面积相等是解题的关键．
将平行四边形面积转化为矩形 面积，再得到矩形 面积，应用反比例函数比例系数 的意义即
可．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点E，∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 轴，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为对角线交点， 轴，
∴四边形 为矩形面积为3，
即 ，
∴设 点坐标为 ，
，
故选：B．
10．在平面直角坐标系中，P是双曲线 上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转 的对应点
落在直线 上则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作 轴于点Q，过点 作 轴于点 ，由题意可得出 ， ，
．易证 ，即得出 ， ，即可求出 ，进而得出 ，最后将所求式子通分变形为 ，再整体代入求值即可．
【详解】解：如图，过点P作 轴于点Q，过点 作 轴于点 ，
∵ ，且在直线 上，
∴ ， ， ，
∴ ．
由旋转的性质可知 ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵P是双曲线 上的一点，
∴ ，即 ．∴ ．
故选：A．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和
性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关
键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共计18分.
11．如图， 是反比例函数图象上的一点，点 与坐标轴围成的矩形面积为3，则反比例函数的解析式为
．
【答案】
【分析】根据反比例函数 的几何意义，结合反比例函数的图象与性质求解即可得到答案．
【详解】解： 是反比例函数图象上的一点，点 与坐标轴围成的矩形面积为3，如图所示：
，
反比例函数图象在第二、四象限，
，即 ，
反比例函数的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及反比例函数 的几何意义，熟练掌握反比例函数图象与性
质是解决问题的关键．12．已知关于x的方程 有一个正的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，正确理解x的方程 有一个正的实数根
即为函数 与 在第一象限内有一个交点，即可作答．
【详解】解：∵方程 有一个正实数根，
∴函数 与 在第一象限内有一个交点，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．已知反比例函数 上有两点A、B，A点纵坐标是B点纵坐标的3倍，延长 交曲线的另一支
于C、D两点，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，分别过点A、B作x轴的垂线，设 ，则
，根据 即可求解．
【详解】解：如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，设 ，则 ，
则 ．
∴图中阴影部分的面积是：
故答案为：
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y (k＞0，x＞0)的图象上，横
坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，若菱形ABCD的面积为9．则k的值为 ．
【答案】2．
【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵
坐标乘积为k构造方程求k．
【详解】连接AC分别交BD、x轴于点E、F．由已知，A、B横坐标分别为1，4，
∴BE=3．
∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线，
∴S ABCD=4 AE•BE=9，
菱形
∴AE ，设点B的坐标为(4，y)，则A点坐标为(1，y )
∵点A、B同在y 图象上，
∴4y=1•(y )，
∴y ，
∴B点坐标为(4， )，
∴k=2
故答案为：2．
【点睛】此题考查菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系，解题关键在于掌握其性质定
义.
15．如图， 的边 在 轴的正半轴上， ，反比例函数 的图象经过点 ．
为反比例函数图像上一动点，过点 作 轴交 于点 ，交 于点 ，
（1）反比例函数的表达式为 ；
（2）当 点运动到直线 上时，连接 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的值为
．【答案】 /
【分析】（1）将 代入 求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线 的解析式为 ，得出 ，再求出 ，得出 ，根据平
行四边形的性质得出 ， ，证明 ，得出 即可．
【详解】解：（1）将 代入 得： ，
解得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ， ，∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、求一次函数解析式，一次函数与反比例
函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象相交于AB，若
，则k的值为 .
【答案】8
【分析】运用直线与反比例函数的解析式表达A，B两点的坐标，从而证得 ，再根据图象的几何
性质求得k值．
【详解】解：设直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过 作 于E，对于直线 ，令 ，得 ，
令 ，得 ，则 ，
故 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
联立直线 与反比例函数 的解析式，得，
整理得， ，
故 ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，即
∵B在反比例函数 图象上，
∴ ，
故k值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，通过数形结合的方法分析函数图象的特征点，是
解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共计52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知 ，若 与 成正比例， 与 成反比例，当 时， ；当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当 时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本
题的关键；
（1）由题意可设设 ， ，再利用待定系数法求解即可；
（2）把 代入（1）中所求函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ， ，
则
当 时， ；当 时， ．解得：
（2）当 时， ．
18．已知一次函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，且点A的坐标为 ．
(1)求m的值及反比例函数的解析式；
(2)连接 ， ，求 的面积；
(3)观察图象，请直接写出 的解集．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可m的值及反比例函数的解析式；
（2）首先把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出B点坐标，然后利用
代入求解即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解： 点 是直线 与 的交点，
把 ， ，代入 得
．
， ．
（2）解：设一次函数的图象分别与x轴，y轴交于M，N两点
由 得 ， ．
由 与 得B的坐标为
．
（3）解：由图像可得，x的取值范围为 或 时， ．
19．很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生过
重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近
视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 的关系式为 ．
(1)当镜片焦距是 时，近视眼镜的度数是多少度？
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少 ？
(3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦
距调整为 ，则小明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】(1)当镜片焦距是0.1m时，近视眼镜的度数是1000度
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是(3)小明的眼镜度数下降了100度
【分析】本题考查了反比例函数的应用:
（1）把 ，代入 即可得到结论；
（2）把 代入 即可得到结论；
（3）当 时，求得 ，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距 的关系式为y ，
当 时， ，
答：当镜片焦距是 时，近视眼镜的度数是1000度；
（2）解：当 时， ，
答：当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是 ；
（3）解：当 时， ，
∴ （度），
答：小明的眼镜度数下降了100度．
20．如图， 的顶点 在反比例函数 的图象上， 轴， ，点 为 的中点，
已知点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求证：点 在反比例函数的图象上；
(3)点 分别在反比例函数图象的两支上，当四边形 是菱形时，请求出点 的坐标．【答案】(1)
(2)详见解析
(3)点 的坐标为 或
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及了反比例函数解析式的求解、菱形的性质等知识
点，掌握待定系数法求解解析式是解题关键．
（1）根据 轴， 可求出点 ，即可求解；
（2）由点 为 的中点可推出点 与点 关于原点对称，即可求解；
（3）根据菱形对角线互相垂直平分可得直线 为第一、三象限的角平分线，即可求解；
【详解】（1）解： 在 中， 轴， ，点 ，
点 ．
点 在反比例函数 的图象上，
．
反比例函数的解析式为 ；
（2）证明： 四边形 是平行四边形，且 是 的中点，
点 与点 关于原点对称，
由（1）得
当 时， ，
点 在反比例函数的图象上；
（3）解： 四边形 是菱形，与 互相平分．
∵点 ，且 是 的中点，
∴直线 为第二、四象限的角平分线，
直线 为第一、三象限的角平分线，
直线 的解析式为 ．
联立
解得 或
点 的坐标为 或 ．
21．如图，已知点A在正比例函数 图象上，过点A作 轴于点B，四边形 是正方形，
点D是反比例函数 图象上．
(1)若点A的横坐标为 ，求k的值；
(2)若设正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐
标是解题的关键；
（1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论；
（2）由正方形 的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比
例函数即可．
【详解】（1） 点A的横坐标为 ，在正比例函数 图象上，
当 时， ，
A的坐标为： ，
点A作 轴于点B，四边形 是正方形，
，
，
D的坐标为： ，
点D是反比例函数 图象上
，
（2） 正方形 的面积为m，
，
点D和A得纵坐标为 ，
A的坐标为： ，
，
D的坐标为： ，代入 得：
22．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，与 轴交
于点 ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设 为线段 上的一个动点（不包括 ， 两点），过点 作 轴交反比例函数图象于点 ，
当 的面积最大时，求点 的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ；一次函数解析式为 ；
(2)点 坐标为 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用二次函数的性质求三角形面积最值．
（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得 ，利用待定系数法即可求得一次函数解析
式；
（2）设点 为 ，点 为 ，利用三角形面积公式列出 关于 的二次函数，利用二
次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解： 反比例函数 的图象经过点 ，
， ，∴反比例函数解析式为 ，
把点 代入 得 ，
∴点 ，
∵一次函数 的图象经过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：由题意可设点 为 ，点 为 ，且 ，
则 ，
且 ，
∴当 时， 最大，此时点 坐标为 ．
23．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于
，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)求证： ；
(3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连
接 ．当 ，且 的面积为18时，求点E的坐标．
【答案】(1) ，反比例函数解析式为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中求得a，即可求出A点坐标；把点A坐标代入反比例函
数式中求得m，即可求得反比例函数解析式；
（2）由一次函数解析式可求得点C、D的坐标，联立一次函数与反比例函数解析式可求得点B的坐标，分
别计算 即可证明；
（3）由已知及（2）的结论得C点是 的中点，则可求得k的值，进而求得点C的坐标；连接 ，易得
；设点 ，则可求得直线 解析式，求得点P的坐标，由 建立方程即
可求得t的值，最后求得点E的坐标．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数解析式 中，
得： ，
即A点坐标为 ；
把点A坐标代入反比例函数式 中，
得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）证明：在一次函数解析式 中，令 ，得 ；令 ，得 ；
点C、D的坐标为 、 ，
联立一次函数与反比例函数解析式，即 ，消去y整理得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ；
∵ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴C点是 的中点，且C、D为线段 的三等分点，
由A、C、D三点坐标得： ，解得： ，
∴点C的坐标为 ；
如图，连接 ，
∵C、D为线段 的三等分点， ，
∴ ；
设点 ，设直线 解析式为 ，
把A、E两个点坐标分别代入得： ，解得： ，
即直线 解析式为 ，
令 ，得∴点P的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等底等高三
角形面积相等等知识，有一定的综合性．第（3）小题中把 的面积转化为求出 的面积是解此
问的关键．
