文档内容
第二十章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（ ）
1 1 1
A．32、42、52 B． ， ， C．9，12，15 D．❑√3，❑√4，❑√5
3 4 5
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（ ）
A．4 B．16 C．32 D．40
3．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=❑√2，c=❑√3
4．如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半
径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ）
A．❑√5 B．−❑√5 C．2−❑√5 D．❑√5−2
5．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于
点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
6．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时
离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 16海里，“海天”号沿
西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点Q，R处，此时两船的距离是
（ ）A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
7．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S ，S ，S ，若
1 2 3
S +S ﹣S ＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
3 2 1
A．6 B．12 C．10 D．8
8．如图，将一根24cm长的筷子，置于一个底面直径为 15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯
子外面的长度为hcm，则h的值最小为（ ）cm．
A．7 B．8 C．16 D．17
9．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1
所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所
得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，
CD＝2，则长方形的面积为（ ）
A．52 B．104 C．48 D．96
10．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，
点E是BD的中点，则AE的长为（ ）3 5
A． B． C．2 D．3
2 2
11．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D C 的中点M处，它到BB 的中点N的最短路
1 1 1
线是（ ）
A．8 B．2❑√5 C．2❑√10 D．4❑√2
12．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等
的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边
形 ABCD 与四边形 EFGH 均为正方形，H 是 DE 的中点．若 AD 的长为 5，则阴影部分的面积为
（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，则a＝
．
14．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的最高处飞到另一棵
树的最高处，则小鸟至少飞行 米．
15．如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的
面积为 m2．16．如图1，跷跷板是常见的一种游戏．跷跷板一端着地时如图2，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为
握把，且PC⊥AB于C，AC＝40cm，OM＝70cm．跷跷板可以绕点O转动，如图3是跷跷板水平时即
EF∥MN，此时点A、C、D、B对应点分别为点E、G、H、F，恰有AE＝AG．跷跷板AB的长为
cm．
17．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ ，c＝ ．
18．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发
沿射线 BM 以 2cm/s 的速度运动．设运动的时间为 t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为
．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a＝b＝4，求c；
（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．2 √x √1
20．（8分）已知一个三角形ABC的三边长分别为：AB= ❑√9x，BC=6❑ ，AC=2x❑ ．
3 4 x
（1）判断三角形ABC的形状，并求它的周长（要求结果化简）；
（2）求三角形ABC的面积．
21．（8分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方
向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续
多少小时？
22．（8分）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=❑√3，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速
度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C运动，其中一点到达
终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）求AC的长；
（2）P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得△PBQ是直角三角形？若存在，求出此时t的值；
若不存在，请说明理由．24．（10分）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
n2−1 n2−1
（2）当n是大于1的奇数时，若n， ，x是勾股数，且x＞n，x＞ ，求x．（用含n的式子
2 2
表示）
25．（10分）小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，
0），则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），
则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图，在直角坐标系中的任意两点P ，P 其坐标分别为（a，b）
1 2
和（c，d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 P Q＝|a﹣c|，
1
P Q＝|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P P 的长为 ．
2 1 2 ❑√(a−c) 2+(b−d) 2
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（4，5）则线段AB的长为 ；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（4，0），且CD＝5，则点C的坐标是 ；
（3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），请判断△ABC的形状，
并说明理由．
26．（10分）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求
BE的长；
（3）在（2）的条件下求AF的长．
