文档内容
第八章 实数
01 思维导图
02 知识速记
知识点一：平方根和立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有一个正的立方
一个正数有两个平方根，且互 根；
性质 为相反数；零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方
负数没有平方根； 根；
零的立方根是零；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
知识点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
1 / 7
学科网（北京）股份有限公司有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和
无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结
构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2．实数与数轴上的点一 一对应．
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3．实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4．实数的运算：
数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值
是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，
最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5．实数的大小的比较：
2 / 7
学科网（北京）股份有限公司有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
03 题型归纳
题型一 平方根、算术平方根、立方根
例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ；
巩固训练
1．（22-23七年级下·重庆江津·期末） 的平方根是 ， 的立方根是 ．
2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3）
；（4） ．
题型二 非负数的性质:算术平方根
例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且 ，则 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数 ， 满足 ，则 的值是 ．
2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果 和 互为相反数，那么 的平方根是 ．
题型三 利用平方根与立方根的定义解方程
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程
(1) ；
(2) ．
巩固训练
1．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解方程
3 / 7
学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) ．
2．（24-25八年级上·全国·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的 值
(1)
(2)
(3)
(4) ．
题型四 平方根与立方根综合
例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知 的算术平方根是1， 的立方根是 ，
的平方根是 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
巩固训练
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知 的立方根是 ， 算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求 的平方根．
2．（22-23七年级下·广西钦州·阶段练习）已知x的两个平方根是 与 ，且 的算术平方根是
3．
(1)求 的值；
(2)求 的立方根．
3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知 的算术平方根是1， 的立方根是 ， 的平
4 / 7
学科网（北京）股份有限公司方根是 ．
(1)求a，b，c的值：
(2)求 的平方根和立方根．
4．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知 的平方根是 ， 的立方根是2， ．
(1)求a、b、c的值；
(2)求 的算术平方根．
题型五 实数和实数的性质
例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末） 的相反数是 ．
2．（22-23七年级下·北京丰台·期中） 的相反数是 ； 的绝对值是 ．
题型六 无理数
例题：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在下列数中，属于无理数的是 （ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在 （每两个1之间依次多1
个0）这几个数中，无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数 ， ， ， ， ， ， ，
中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数 ， ，0， ， ， ， ，
···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（ ）
5 / 7
学科网（北京）股份有限公司A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型七 实数与数轴
例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无
理数可能是 ．（只填一个）
巩固训练
1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数 对应的可能
是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为 的小正方形能拼成一个面积
为 的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正
方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ．
题型八 实数大小比较
例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ．
6 / 7
学科网（北京）股份有限公司题型九 实数的简单运算
例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1) ；
(2) ；
巩固训练
1．（23-24八年级上·全国·期末）计算：
(1)
(2)
2．（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1) ；
(2)
题型十 新定义下的实数运算
例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有
．例如 ，那么 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数 ， ，新定义一种运算*如下：
那么 ．
2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数 ，定义一种新的运算如下，
如: ，那么 ．
7 / 7
学科网（北京）股份有限公司
