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第十一章 三角形 (B·能力提升)
一．选择题（共12小题）
1．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
2．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
3．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A．1根 B．2根 C．3根 D．4根
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
4．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（ ）
A．以上都可以 B．高 C．中线 D．角平分线
【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．
故选：C．
5．长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．11
【解答】解：8﹣3＜x＜8+3，
5＜x＜11，
只有选项C符合题意．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（ ）
A．90° B．20° C．45° D．70°
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠BAD+∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠B＝20°，
故选：B．
7．如图所示，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝（ ）
A．30° B．150° C．120° D．60°
【解答】解：∵∠1＝∠2＝150°，
∴∠ABC＝∠BAC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠3＝∠ABC+∠BAC＝60°．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝2021，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵AD为中线，
∴DB＝DC，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2021﹣2018＝3，
故选：C．
9．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是12边形．
故选：C．
10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．
{ x+2y=10
11．△ABC的两边是方程组 的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（ ）
4x+3 y=20
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{ x+2y=10 {x=2
【解答】解：方程组 的解为： ，
4x+3 y=20 y=4
{ x+2y=10
∵△ABC的两边是方程组 的解，第三边长为奇数，
4x+3 y=20∴2＜第三边长＜6，1
∴第三边长可以为：3，5．
∴这样的三角形有2个．
故选：B．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC＝（ ）
1
A．∠A+∠D﹣45° B． （∠A+∠D）+45°
2
1 1
C．180°﹣（∠A+∠D） D． ∠A+ ∠D
2 2
【解答】解：∵四边形的内角和＝360°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，
∴2∠EBC＝∠ABC，2∠ECB＝∠BCD，
1 1
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠BCD)= ×[360°−(∠A+∠D)]，
2 2
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
1
＝180°− ×[360°−(∠A+∠D)]
2
1
= (∠A+∠D)，
2
故选：D．
二．填空题（共4小题）
13．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝20°，则∠1＝ 5 0 °．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠1＝∠ABC﹣∠D＝50°﹣20°＝50°．
故答案为：50．
14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝
50°，则∠A＝ 60 ° ．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故答案为60°．
15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落
到点E处，若DE∥AB，则∠AFD的度数为 70 ° ．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
∴∠AFD＝110°﹣40°＝70°，
故答案为：70°．
16．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S ，△CGF的面积为S ，则S +S ＝ 2 ．
1 2 1 2
【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD＝DB，AF＝CF，
∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，
∴设△BDG的面积为S ，△CGF的面积为S ，则S +S ＝四边形ADGF的面积，
1 2 1 2
∵△ABC的面积为6，AG：GE＝2：1，
2 1
∴四边形ADGF的面积= × ×6=2，
3 2
∴S +S ＝2，
1 2
故答案为：2
三．解答题（共9小题）
17．已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？
【解答】解：设这个多边形为n边形，
n边形的内角和为：（n﹣2）×180°，
n边形的外角和为：360°，
根据题意得：
（n﹣2）×180°＝3×360°，
解得：n＝8，
答：这个多边形是八边形．
18．如图，∠ABC＝∠FEC＝∠ADC＝90°．
（1）在△ABC中，BC边上的高是 线段 AB ；
（2）在△AEC中，AE边上的高是 线段 CD ；
（3）若AB＝2.4cm，CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是线段AB；
故答案为线段AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是线段CD；
故答案为线段CD；
1 1
（3）∵S△AEC = ×AE×CD= ×CE×AB，
2 2
AE⋅CD
∴CE= =2.5（cm）．
AB
19．如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，
求（1）∠ACD的度数； （2）∠AEF的度数．
【解答】解：（1）∵DF⊥AB，
∴∠B＝90°﹣∠D＝48°，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝83°；
（2）∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
∴∠AEF＝90°﹣∠A＝55°．
{ 3x−y=5
20．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组 求此等腰三角形的周长．
5x+2y=23
{ 3x−y=5 {x=3
【解答】解：解方程组组 得 ，
5x+2y=23 y=4
所以，等腰三角形的两边长为3，4．
若腰长为3，底边长为4，由3+3＝6＞4知，三角形的周长为10．
若腰长为4，底边长为3，则三角形的周长为11．
所以，这个等腰三角形的周长为10或11．
21．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由．
【解答】解：延长CD交AB于点E，
∵∠BEC是△ACE的一个外角，
∴∠BEC＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，
同理，∠BDC＝∠BEC+∠B＝111°+32°＝143°，
而检验工人量得∠BDC＝149°，
所以零件不合格．
22．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点O处．
（1）∠AOD ＝ ∠BOC；（填“＞”“＜”“＝”）
（2）若将三角尺按图2的位置摆放，∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由；
（3）在图2中，已知∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，当a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项时，求∠BOD
的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD，即∠AOD＝∠BOC．故答案为：＝；
（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°．
故∠AOC和∠BOD在数量上的关系为：∠AOC+∠BOD＝180°；
（3）∵a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项，
{ 6m=n+1
∴ ，
11=2n−11
{m=2
解得 ，
n=11
∵∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，
11﹣2＝9，
2
∴∠BOC＝90°× =20°，
11−2
∴∠BOD＝90°﹣20°＝70°．
故∠BOD的度数是70°．
23．问题1
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ∠ 1 ＝ 2 ∠ A
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ∠ 1+ ∠ 2 ＝ 2 ∠ A
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的
内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 ∠ 1+ ∠ 2 ＝ 2 （∠ A + ∠ B ）﹣ 360 ° ．【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，
∵∠A＝∠A′，
∴∠2＝2∠A+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠A；
（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，
∵∠DNA+∠BMC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，
∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．
24．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：
∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠BAD= ∠BAC＝40°，
2
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠BAD= ∠BAC，
2
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
1 1 1 1
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C）= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C= ∠C−
2 2 2 2
∠B，
1 1
即∠DAE= ∠C− ∠B；
2 2
（3）不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
1
∴∠EAM= （∠ACB﹣∠ABC），
2
1
同理，∠ADN= （∠BCD﹣∠CBD），
2
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
1 1 1
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN= （∠ACB﹣∠ABC）+ （∠BCD﹣∠CBD）=
2 2 2
（∠ACD﹣∠ABD）．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/19 8:05:03；用户：初数；邮箱：18185201275；学号：31583080
