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第十一章 三角形压轴题考点训练
1．如图，在第1个△ABC中，∠B＝30°，AB＝CB；在边AB上任取一点D，延长CA 到A，使AA＝
1 1 1 1 2 1 2
AD，得到第2个△AAD；在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使AA＝AE，得到第3个
1 1 2 2 1 2 3 2 3 2
△AAE，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A 为顶点的底角度数是（ ）
2 3 2020
A．（ ）2020•75° B．（ ）2020•65°
C．（ ）2021•75 D．（ ）2021•65°
【答案】A
【详解】解∶∵∠B=30°，AB=CB，∴∠BAC=∠C，30°+∠BAC+∠C=180°．
1 1 1
∴2∠BAC=150°．∴∠BAC= ×150°=75°．
1 1
∵AA=AD，∴∠DAA=∠ADA．∴∠BAC=∠DAA+∠ADA=2∠DAA．
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
∴∠DAA= ∠BAC= × ×150°．同理可得：∠EAA= ∠DAA= × × ×150°．…
2 1 1 3 2 2 1
以此类推，以An为顶点的内角度数是 ．
∴以A 为顶点的内角度数是 ．
2021
故选 A．
2．如图在 ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长
线交CE于△点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°
+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠1）=90°- ∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°- ∠1）=90°+ ∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD= （∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2= ∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+ ∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
3．如图，在 中， 平分 ， 于点 ． 的角平分线 所在直线与射线 相交
于点 ，若 ，且 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 平分 ， 平分
∴ ，
设
∵
∴可以假设 ，
∴
∵
∴
∴
设 ，则
∴
∴
∵
∴
故答案选：C
4．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上
一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为
（ ）A．50° B．75° C．100° D．125°
【答案】C
【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，
在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，
∵AB∥CD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．
故选：C．
5．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【答案】B
【详解】解：连接AD，在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
6．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若
△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S BDF﹣S AEF等于（ ）
△ △
A．3 B． C． D．6
【答案】A【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ①，
同理，∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ②，
由①-②得： ．
故选：A．
7．如图， 是 的中线，点F在 上，延长 交 于点D．若 ，则 ______．
【答案】
【详解】解：连接ED
是 的中线，，
设 ，
与 是等高三角形，
，故答案为： ．
8．如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，M、N、Q分别在 、 、
的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则 _______．
【答案】52°
【详解】解： 、 分别平分 、 ， ， ，
， ，
即 ， ， ，、 分别平分 、 ， ， ，
，
，∴ ，
∴ ，
、 分别平分 、 ，
， ，
∴ ，
，
故答案为：52°．
9．如图，在 中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足 ， ，过点A的直线
l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点 若 的面积为12，则四边形AEOD的面积为
____________．
【答案】
【详解】如图，连接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ， ，
∵AF∥BC，∴ ，∴ ，∴ ， ，
∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴S AEOD ．
四边形
故答案为： ．
10．如图，在 中， ， 和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线
交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，得 ，则 ________度．
【答案】
【详解】解：∵BA 平分∠ABC，AC平分∠ACD，
1 1
∴∠ACD= ∠ACD，∠ABC= ∠ABC．
1 1
∵∠A=∠ACD-∠ABC，
1 1 1
∴∠A= ∠ACD− ABC= ∠A．
1
同理可证：∠A= ∠A．
2 1
∴∠A= • ∠A= ( )2∠A．
2
以此类推，∠An=( )n∠A．
当n=2022，∠A =( )2022∠A=( )2022•m°=( )°．
2021
故答案为： ．
11．如图，在 中， ，在 边上取点 ，使得 ，连接 ．点 、 分别为
、 边上的点，且 ，将 沿直线 翻折，使点 落在 边上的点 处，若
，则 的度数为_______．【答案】
【详解】 折叠
，
设
，
，
是 的一个外角， ，即 ①
即
即 ②
② -①得
即
故答案为：
12．已知：在 中， 平分 ， 平分 ， 、 交于点 ．
(1)如图1：若 ，求 的度数；
(2)如图2：点 是 延长线上一点，连接 、 ， ，求证： ；
(3)如图3：在（2）的条件下，过点 作 ，交 于点 ，点 在线段 的延长线上，连接
，若 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)64°【解析】(1)证明：∵ 、 分别平分 与
∴ ， ，
在 中， ，
∴
∴
∴
(2)证明：∵ 是 得一个外角，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
(3)解： ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴设 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ， ，
而
∴
∴
∴
13．如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重
合），QE 是∠AQP 的平分线．(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度
数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形
PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见解析
(2) ，理由见解析
【解析】(1)解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴ ， ，
∴ ，故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下： ∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴ ， ，
∴ ；
(2)解： ，理由如下：如图所示，连接 ，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴ ，
∴ ，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
14．阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在 中 ， 是 的高， 是 边上一点， 、分别与直线 ， 垂直，垂足分别为点 、 ．
求证： ．
阳阳发现，连接 ，有 ，即 ．由 ，可得
．
他又画出了当点 在 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时 、
、 之间的数量关系是： ．
请回答：
（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接 ． ________，
________ ________．
， ．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在 中， ， 是 的高． 是 所在平面上一点， 、 、 分别与直
线 、 、 垂直，垂足分别为点 、 、 ．
①如图3，若点 在 的内部，猜想 、 、 、 之间的数量关系并写出推理过程．
②若点 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时 、 、 、 之间的数量关系是：_______．
（直接写出结论即可）
【答案】（1）S APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ−PN．
△
【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S ABC＝S APC−S APB，∴ AC•BD＝ AC•PN− AB•PM．
△ △ △
∵AB＝AC，∴BD＝PN−PM．故答案为：S APB；PN；PM；
△
（2）①BD＝PM＋PN＋PQ； 如图3，连接AP、BP、CP，∵S ABC＝S APC＋S APB＋S BPC，∴ AC•BD＝ AC•PN＋ AB•PM＋ BC•PQ，
△ △ △ △
∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；
②BD＝PM＋PQ−PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S ABC＝S APB＋S BPC−S APC．
△ △ △ △
∴ AC•BD＝ AB•PM＋ BC•PQ− AC•PN，
∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ−PN．
15．如图1，AB与CD相交于点O，若 ， ， 和 的平分线AP和CP相交于
点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1） 的度数；
（2）设 ， ， ， ，其他条件不变，如图2，试问
与 、 之间存在着怎样的数量关系（用 、 表示 ），直接写出结论．【答案】(1)33°；(2) ．
【详解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线
∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
(2) ∠P=
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵ ，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵ ，
∴∠P=
