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第四章 几何图形初步
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面动成体，判断出各个选项旋转得到的立体图，即可得出结论．
【详解】A．旋转一周可得本题的几何体，故选项正确，符合题意；
B．旋转一周为两个圆锥结合体，故选项错误，不符合题意；
C．旋转一周为圆锥和圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
D．旋转一周为两个圆锥和一个圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了面动成体，解题的关键是要有空间想象能力，熟悉并判断出旋转后的立体图形．
2．（2019·河北·石家庄市第四十一中学一模）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，
则剪去的这个图形是（ ）A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据长方体的相对面形状、大小完全相同即可找出剪去的面．
【详解】如图所示：
①与⑤相隔一个面，④与⑤也相隔一个面，
因为④与⑤的形状、大小相同，而①与⑤的形状、大小不同，
所以⑤的相对面只能是④，
故剪去①，剩下的图形可以折叠成一个长方体．
故选A．
【点睛】本题考查的是长方体的表面展开图，根据长方体的表面展开图中相对面的找法即可作出判断．
3．下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】主视图就是从正面看到的视图.
【详解】从正面看，一层三个正方形，左侧由三层正方形.
故选B
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．（2022·四川遂宁·七年级期末）将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一
个正方体，应剪去的两个小正方形可以是（ ）
A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥
【答案】A
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】A. 剪去②③后，恰好能折成一个正方体，符合题意；
B. 剪去①⑥后，不能折成一个正方体，不符合题意；
C. 剪去 ①⑦后，不能折成一个正方体，不符合题意；
D. 剪去 ②⑥后，不能折成一个正方体，不符合题意.
故选:A
【点睛】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，正方体展开图规律：十一种类看仔细，中间
四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；
一条线上不过四，田七和凹要放弃.
5．下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项B中的图形不能折叠出正方体，
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
6．（2019·云南昆明·七年级期末）如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=，则CD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据线段成比例求出DB的长度，即可得到AB的长度，再根据中点平分线段的长度可得AC的长
度，根据 即可求出CD的长度．
【详解】∵
∴
∴
∵点 C 是线段 AB 上的中点
∴
∴
故答案为：D．
【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2020·江苏宿迁·七年级期末） 的补角等于___________ ___________′.
【答案】 143 45
【分析】根据补角定义直接解答．
【详解】 的补角等于：180°− ＝143°45′．
故答案为：143；45．
【点睛】此题属于基础题，较简单，本题考查补角的概念，解决本题的关键是熟记补角的概念．
8．（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是
________．【答案】月
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．
故答案为：月．
【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是
解决本题的关键．
9．（2022·山东烟台·期末）如图，直线 相交于O， 平分 ，若 ，则
的度数为______ ．
【答案】67
【分析】根据角平分线与角度的运算即可求解.
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
．
故答案为：67．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知角度计算.10．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“学”相对面
上所写的字是___.
【答案】素
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
和“学”相对面上所写的字是素；
故答案为：素．
【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手、分析及解答问
题．
11．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以
画_____________________条．
【答案】
【分析】如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条
直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…找到规律：当有n个点不在同
一直线上时，最多可连成 条直线，即可求得点A、B、C在同一条直线上，最多可以画
条直线．
【详解】如果所有点都不在同一直线上，
当仅有两个点时，最多可连成1条直线；
当有3个点时，最多可连成1+2=3条直线；
当有4个点时，最多可连成1+2+3=6条直线；
当有5个点时，最多可连成1+2+3+4=10条直线；
…；可以得到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成 条直线，
已知点A、B、C在同一条直线上，
则点A、B、C任意两点的连线都是同一条直线，
故最多可以画 条直线．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了探究图形类规律以及直线的性质：两点确定一条直线．注意讨论点共线及不共线的情
况，不要漏解．
12．（2022·山东烟台·期中）2：35时，钟面上时针与分针所成的角等于________°．
【答案】
【分析】2：35时，分针指向7，时针指向2和3之间，用2和7之间的度数减去时针走的度数即可．
【详解】解：2：35时，分针指向7，时针指向2和3之间，
．
故答案是： ．
【点睛】本题考查钟面角的求解，解题的关键是掌握钟面角的计算方法．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2021·江西·南昌知行中学七年级阶段练习）已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O， 与
是对顶角．求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】根据同角的补角相等，可得答案．
【详解】证明： 直线AB与直线CD相交于点O，
和 都是平角（平角的定义）．
和 都是 的补角（补角的定义）．
（同角的补角相等）．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，同角的补角相等，解题的关键是掌握同角的补角相等．14．如图，已知 ，OD平分 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】设出 ，根据OD平分 分别表示出 ，然后表示出
，最后根据 列出方程求解即可．
【详解】解：设 ，
∵OD平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了角平分线的概念和利用方程求解角度问题，解题的关键是找到题目中各角度数之间的
等量关系．
15．如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为
OP的中点．
①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；
②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？【答案】①商场在小明家西偏北60°方向，距离2.5cm位置，学校在小明家东偏北45°方向，距离2cm位置，
公园在小明家东偏南30°方向，距离2cm位置，停车场在小明家东偏南30°方向，距离4cm位置；②800m
【分析】①根据方向角定义及图中线段的长度即可得知；
②根据学校距离小明家400m而图中对应线段OA＝2cm可知图中1cm表示200m，再根据OB、OP的长即
可得．
【详解】解：①商场在小明家西偏北60°方向，距离2.5cm位置，
学校在小明家东偏北45°方向，距离2cm位置，
公园在小明家东偏南30°方向，距离2cm位置，
停车场在小明家东偏南30°方向，距离4cm位置；
②∵学校距离小明家400m，且OA＝2cm，
∴图中1cm表示200m，
∴商场距离小明家2.5×200＝500m，
停车场距离小明家4×200＝800m．
【点睛】本题主要考查方向角的概念，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象
所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
16．（2020·山东·高唐县第二实验中学七年级阶段练习）用两个合页将房门的一侧安装在门框上，房门可
以绕门框转动． 将房门另一侧的插销插在门框上，房门就被固定住（如图）．如果把房门看做一个“平
面”，两个合页和插销都看做“点”，那么：
（1）这三个点是否在一条直线上？
（2）从上面的事实可以得到一个结论：【答案】（1）不在；（2）不共线的三点确定一个平面
【分析】（1）根据图形可得结论；
（2）根据点、线、面之间的关系结合图形解答．
【详解】解：（1）根据图形可知：
这三点不在同一条直线上；
（2）由题意可得：
不共线的三点确定一个平面．
【点睛】本题考查了基本几何知识，解题的关键是掌握点、线、面之间的关系，理解生活中的实际情境．
17．已知点 在直线 上， ， ，点 、 分别是 、 的中点，求线段 、
的长
【答案】 ， 或 ，
【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC
的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①当点C在线段AB上时，
AB＝AC＋BC＝10cm＋6cm＝16cm，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC＝ AC＝5cm，CN＝ BC＝3cm，
由线段的和差，得MN＝MC＋CN＝5cm＋3cm＝8cm；
②当点C在线段AB的延长线上时，
AB＝AC−BC＝10cm−6cm＝4cm，由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC＝ AC＝5cm，CN＝ BC＝3cm．
由线段的和差，得MN＝MC−CN＝5cm−3cm＝2cm．
综上所述， ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗
漏．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2019·河南·邓州市张村乡中学七年级期末）如图①,已知线段AB=12 cm,点C为AB上的一个动点,点
D,E分别是AC和BC的中点.
(1)若点C恰好是AB中点,则DE=_____cm.
(2)若AC=4 cm,求DE的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值(不超过12 cm)，DE的长不变；
(4)知识迁移：如图②,已知∠AOB=120°,过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和
∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关.
【答案】（1）DE＝6cm，（2）DE＝6cm，（3）见解析（4）见解析
【分析】（1）由AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE＝ （AC＋BC）＝ AB＝
6cm，
（2）由AC＝4cm，AB＝12cm，即可推出BC＝8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出
AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝4cm，即可推出DE的长度，
（3）设AC＝acm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE＝ （AC＋BC）＝ AB＝
cm，即可推出结论，
（4）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝ （∠AOC＋∠COB）＝
∠AOB＝60°，即可推出∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【详解】（1）∵AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，∴AC＝BC＝6cm，
∴CD＝CE＝3cm，
∴DE＝6cm，
（2）∵AB＝12cm，
∴AC＝4cm，
∴BC＝8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm，
（3）设AC＝acm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE＝CD＋CE＝ （AC＋BC）＝ AB＝6cm，
∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，
（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝ （∠AOC＋∠COB）＝ ∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【点睛】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定
理．
19．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．
【分析】（1）由题意根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余
角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后由
∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入数据计算即可得解．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题
的关键．
20．（2019·广东广州·七年级期末）如图，已知线段a，b，其中a＞b
(1)用圆规和直尺作线段AB，使AB＝2a+b(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如图2，点A、B、C在同一条直线上，AB＝6cm，BC＝2cm，若点D是线段AC的中点，求线段BD的长．
【答案】(1)见解析；(2)DB＝2cm.
【分析】(1)作射线AP，在射线AP上依次截取AM＝MN＝a，NB＝b，据此可得；
(2)先求出线段AC的长，再由中点得出DC的长，依据DB＝DC﹣BC可得．
【详解】解：(1)如图所示，线段AB即为所求．(2)∵AB＝6cm，BC＝2cm，
∴AC＝AB+BC＝8cm，
∵点D是线段AC的中点，
∴DC＝ AC＝4cm，
∴DB＝DC﹣BC＝2cm．
【点睛】考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺规作图和线段的和差计算．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．（2022·山东济南·七年级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且 cm，
cm．
（1）图中共有______条线段？
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且 cm，求BE的长．
【答案】（1）6；（2）5cm；（3）4cm或10cm．
【分析】（1）固定A为端点，数线段，依次类推，最后求和即可；
（2）根据AC=AD-CD=AC-2BC，计算即可；
（3）分点E在点A左边和右边两种情形求解．
【详解】（1）以A为端点的线段为：AC，AB，AD；以C为端点的线段为：CB，CD；
以B为端点的线段为：BD；
共有3+2+1=6（条）；
故答案为：6．
（2）解：∵B为CD中点， cm
∴ cm
∵ cm∴ cm
（3） cm， cm
第一种情况：点E在线段AD上（点E在点A右侧）．
cm
第二种情况：点E在线段DA延长线上（点E在点A左侧）．
cm．
【点睛】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和（差），熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和，
差是解题的关键．
22．如图，直线 、 相交于点 ， 为锐角， ， 平分
（1）图中与 互余的角为__________；
（2）若 ，求 的度数；
（3）图中与锐角 互补角的个数随 的度数变化而变化，直接写出与 互补的角的个数及
对应的 的度数
【答案】（1） 、 ；（2） ；（3）见解析.
【分析】（1）根据余角的定义可解答；
（2）根据补角的定义列方程可解答；
（3）设出∠AOE的度数，依次表达图中的补角，可解．
【详解】（1）由题意可得于∠AOE互余的角为： 、
（2）设 .
∵ ，
∴ ，
.
∵ ，
∴ .
又∵ ，∴ ，即 .
∴ .
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+ ，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+ =135°- ，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+ ，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+ =135°- =∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°- +α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°+ +α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角 时，互补角有2个，为 、 ．
当锐角 时，互补角有3个，为 、 、 ．
当锐角 不等于 和 时，互补角有1个，为 ．
【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握补角的定义是解题关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2020·江苏无锡·七年级期中）如图，一把长度为5个单位的直尺AB放置在如图所示的数轴上（点A
在点B左侧），点A、B、C表示的数分别是a、b、c，若b、c同时满足：
①c﹣b＝3；②（b﹣6） +3＝0是关于x的一元一次方程．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）设直尺以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿
数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；②当t＝1时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的
值．
【答案】（1）-1，4，7；（2）① ；②6或7或7.5或8或9
【分析】（1）根据已知条件和一元一次方程的定义可求b、c，进一步得到a；
（2）①根据B、C两点恰好在同一时刻重合，可得关于x的方程，解方程求出x，再根据B、P、C三点恰好
在同一时刻重合，可得关于m的方程，解方程求出m的值；
②分五种情况进行讨论可求所有满足条件的m的值．
【详解】解：（1）依题意有 ，
解得b＝4，c＝7，
则a＝4﹣5＝﹣1．
故答案为：﹣1，4，7；
（2）①BC＝3，AC＝8，
当B、C重合时，
依题意有2t＝3，
解得t＝ ，
依题意有 m＝8，
解得m＝ ．
②7﹣4﹣2＝1，
当B是P、C中点时，
依题意有5+2﹣m＝1，
解得m＝6；
当B与P重合时，
依题意有m﹣2＝5，解得m＝7；
当P是B、C中点时，
依题意有m﹣ ＝5+2，
解得m＝7.5；
当P与C重合时，
m＝7﹣（﹣1）＝8；
当C是P、B中点时，
依题意有m﹣1＝7﹣（﹣1），
解得m＝9．
综上所述，m＝6或7或7.5或8或9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、数轴、绝对值、一元一次方程的应用，准确理解题意，灵活进
行分类是解题的关键．
