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第四章整式的加减（单元测试培优卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式： ，其中单项式的个数为
（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式是数字与字母的乘积的代数式逐个判断即可求解．
【详解】解：在所给代数式中， ， ， ， 是单项式，共4个，
故选：C．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）关于整式的概念，下列说法正确的是（ ）．
A． 的系数是 B． 的次数是6
C．0是单项式 D． 是五次三项式
【答案】A
【分析】本题考查了单项式与多项式的定义、单项式的系数与次数的概念，熟记各定义是解题关键．根据
单项式的定义、系数与次数的概念、多项式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、 的系数是 ，此项说法错误；
B、 的次数是 ，此项说法错误；
C、0是单项式，此项说法正确；
D、 是三次三项式，此项说法错误；
故选：C．
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 和 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意，
故选：D．
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）用代数式表示“x的3倍与y的平方的差”正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列代数式，x的3倍为 ，y的平方为 ，据此根据题意列出对应的代数式即可．
【详解】解：用代数式表示“x的3倍与y的平方的差”正确的是 ，
故选：C．
5．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列多项式中，减去 等于 的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
根据题意列出算式，去括号，合并同类项即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
故选：D．
6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小明家距离学校 ，小明从家出发骑车 可到学校，若要提前到校（ ），则每小时需行驶（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列代数式， 根据速度等于路程除以时间即可求解．
【详解】解：根据题意，可知实际用了 小时到达，
因此，每小时应走 ．
故选：C．
7．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）如图，要围一个矩形菜园 ，其中一边 是墙，其余的三边
、 、 用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设 的长 米，则 的长度可以表示为
（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
根据图形，可以用含 的代数式表示出 的长度．
【详解】解：由图可得，
的长度可以表示为 米，
故选：C．
8．（2024七年级上·江苏·专题练习）定义一种新运算，规定： ，若 ，请计算
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出 的值；再对
进行运算，转化成关于 的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴ ，
∴ ．
则：
，
故选： ．
9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，
第①个图形中一共有 个小圆点，第②个图形中一共有 个小圆点，第③个图形中一共有 个小圆点， ，
按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形可得第 个图形有 个圆点，据此即可求解，找到图
形的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第①个图形中一共有 个小圆点，
第②个图形中一共有 个小圆点，
第③个图形中一共有 个小圆点，
第④个图形中一共有 个小圆点，
，
∴第 个图形一共有 个小圆点，
∴当 时，第⑩个图形中小圆点的个数是 ，
故选： ．
10．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）依次排列的两个整式 ， 将第1个整式乘2再减去第2
个整式，称为第1次操作，得到第3个整式 ；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操
作，得到第4个整式 ；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式
； ，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）个．
①第6个整式为 ；
②第 个整式中 系数与 系数的和为1；
③若 ，则前 个整式之和为 ．
④第 次与第 次操作后得到的两个整式中 与 所有系数的绝对值之和为 ；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，结合举反例的方法，从而可
得答案．
【详解】解：①第1个整式： ，
第2个整式： ，
第3个整式： ，（第一次操作）
第4个整式： ，（第二次操作）第5个整式： ，（第三次操作）
第6个整式： ，（第四次操作）
第7个整式： ，（第五次操作）
故①错误；
由前面7个等式可得 的系数之和为 ，
∴第 个整式中 系数与 系数的和为 ；故②错误；
∵ ，当 时，前3个整式之和为：
，故③错误；
当 时，第一次操作得 ，第二次操作得 ，
此时所有的系数的绝对值之和为 ，
此时 ，故④错误，
故选A
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，举反例方法的应用，绝对值的含
义，掌握探究的方法是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）单项式 的系数与次数的乘积为 ．
【答案】
【详解】本题考查了单项式的系数与次数，掌握单项式的系数与次数的定义是解题的关键．单项式中的数
字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．分别求出单项式
的系数与次数，再求乘积即可．
【解答】解：∵单项式 的系数为： ，次数为：5，
∴单项式 的系数与次数的乘积为： ．
故答案为： ．12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果 与 是同类项，那么 ．
【答案】9
【分析】本题考查同类项的定义、代数式求值，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字
母的指数也相同的两个单项式叫同类项．据此求得m、n值，再代值求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：9．
13．（24-25七年级上·全国·单元测试）一列火车原有 人，中途有一半人下车，又有若干人上车，
现在车上有 人，则上车的人数是 ．
【答案】 人
【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减化简
计算解答即可．
【详解】解：根据题意，得
，
故答案为： 人．
14．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，数轴上的两点 分别表示有理数 ，化简：
．
【答案】
【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
根据数轴确定出绝对值内式子的符号，然后去绝对值化简即可得．【详解】解：根据数轴上点 的位置可知： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（2024七年级上·全国·专题练习）有一个多项式为 ，按照此规律写下来，这
个多项式的第六项是 ．
【答案】 /
【分析】此题考查的是对多项式的规律．由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最
低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此求解即可．
【详解】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6…
所以第六项为3；
又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负，
所以第6项为 ．
故答案为： ．
16．（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：若 ，则称 与 是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数， 与 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式）
（2）若 ，a与b关于2的平衡数，则 ．（填一个含x的代数式）
【答案】
【分析】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据定义 ，则 ，即可作答．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
【详解】解：（1）设3与 是关于2的平衡数，
，
，
设 与 是关于2的平衡数，，
．
故答案为： ， ；
（2）依题意，
∵ ，a与b关于2的平衡数，
∴
∴
故答案为：
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（24-25七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型
（1）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．（23-24七年级上·全国·单元测试）化简并求值：
(1) ，其中 ．(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，1
(2) ，
【分析】本题考查整式的化简求值．
（1）先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可．
（2）先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当 ，原式 ．
（2）
，
当 时，原式 ．
19．（2024六年级上·上海·专题练习）小亮准备完成题目“化简： ”时，发现
系数“▲”印刷不清楚．
(1)小亮猜“▲”是3，请你化简： ．
(2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数．”那么原题中的
“▲”是几？
【答案】(1) ．
(2)5．
【分析】本题主要考查了整式加减的不含与无关型问题，理解整式的特征是解题的关键．
（1）根据整式减法的运算直接计算即可；
（2）根据结果是常数进行化简整理即可得到结果．【详解】（1）
；
（2）
∵化简结果是一个固定的数
∴ ，解得：
20．（24-25七年级上·全国·课后作业）某款手机后置摄像头模组如图所示．其中，大圆的半径为r，中间
小圆的半径为 ，4个半径为 的高清圆形镜头分布在两圆之间．
(1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当 时，求图中阴影部分的面积（ 取3）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列代数式、整式的加减的几何应用、代数式求值，熟知圆的面积公式是解答的关键．
（1）根据图形，根据大圆面积减去五个圆面积可求解；
（2）将 代入（1）中代数式中求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
答：图中阴影部分的面积为 ；
（2）解：当 时，
，
∴图中阴影部分的面积为 ．
21．（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）已知多项式 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计
算．
（1）将 ， 代入 ，按照整式加减运算法则计算即可；
（2）根据 的值与y的取值无关时，y的系数为0，即可求出x的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
（2）解：由（1）得
因此这五个数之和还是中间数的5倍.
（4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍，，
因为 是小数，
所以十字框中五个数之和不能为2018，
，
因为405是整数，且405在第三列，
所以十字框中五个数之和能为2025．
23．（23-24七年级上·四川遂宁·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手
段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出 的部分 2元
超出 但不超出 的部
4元
分
超出 的部分 8元
注：水费按月结算．
(1)填空：若该户居民2月份用水 ，则应收水费 元；
(2)若该户居民3月份用水 （其中 ），则应收水费多少元？（用 的整式表示并化简）
(3)若该户居民4，5月份共用水 （5月份用水量超过了4月份），设4月份用水 ，求该户居民4，
5月份共交水费多少元？（用 的整式表示并化简）
【答案】(1)8
(2) 元
(3)4，5月份交的水费为 元或 元或36元
【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；
（2）根据a的范围，求出水费即可；（3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于 ，当4月份的用水量少于 时，5月
份用水量超过 ；4月份用水量不低于 ，但不超过 时，5月份用水量不少于 ，但不超过
；4月份用水量超过 ，但少于 时，5月份用水量超过 但少于 三种情况分别求出水
费即可．
【详解】（1）根据题意得： （元）；
（2）根据题意得： （元）；
（3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于 ，
当4月份用水量少于 时，5月份用水量超过 ，
则4，5月份共交水费为 （元）；
当4月份用水量不低于 ，但不超过 时，5月份用水量不少于 ，但不超过 ，
则4，5月份交的水费为 （元）；
当4月份用水量超过 ，但少于 时，5月份用水量超过 但少于 ，
则4，5月份交的水费为 （元）．
综上所述，4，5月份交的水费为 元或 元或36元．
